S3-非线性自治系统

aij
( p1 , p2 )
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
练习：确定下列方程的平衡点及其类型、稳定性。
3 ⑴ u 2au u u 0
⑵
3 u 2au u u 0
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点 非线性系统典型特征之一：多重孤立的平衡点
例：隧道二级管的状态模型为
1 0.5[h( x1 ) x2 ] x 2 0.2[ x1 1.5 x2 1.2] x
h( x1 ) 17.76 x1 103.79 x12 229.62 x13 226.31x14 83.72 x15
问题：如何求解？如何判性？如何判稳？ 计算机程序实现
-0.5
-0.5
-1 -0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-1 -0.2
-0.1
0
0.1
-1 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
3.4 典型分岔类型

鞍结点分岔 − 危险分岔（硬分岔） − 安全分岔（软分岔）

跨临界分岔
3.4 典型分岔类型
1.2
习题：隧道二级管电路
1
1 h( x1 ) x2 C 1 x2 x1 Rx2 L 1 x
以二阶连续线性系统为例：
ax by x cx dy y
a b J c d
x x J y y
x u e y B v B g
3.4 典型分岔类型
1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 ) x
二阶自治系统的特性由其
平衡点和极限环的模式及 稳定性决定。
在无穷小的扰动下系统能否保持其特性？

鞍结点分岔 跨临界分岔 平衡点 平衡点
叉形分岔
Hopf分岔 平衡点 极限环
3.4 典型分岔类型 3.4.1 鞍结点分岔 例：考虑系统

1
1

0
1,2 i
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
例：考虑系统
（3）分岔特征
1 r r 3 , r
1 x12 x 2 x2 x
（1）求解平衡点 （2）稳定性分析
0 ( ,0);( ,0)
2 x1 J 0 0 1
①
( ,0)
1 2 0, 2 1 0
② ( ,0)
1 2 0, 2 1 0
3.4 典型分岔类型 3.4.1 鞍结点分岔
例：考虑系统
1 x12 x 2 x2 x

（3）相图
0.01
1
1
0
1
0.01
0.5
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-0.2
-0.1
0
0.1
-1 0.2 -0.2
-0.1
0
0.1
-1 0.2 -0.4
-0.2
0
0.2
3.4 典型分岔类型 3.4.2 跨临界分岔
1 x1 x12 例：考虑系统 x 2 x2 x
（1）求解平衡点 X1 (0,0); X 2 (,0)
0 （2）稳定性分析 J1 0 1
0 J2 0 1
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型 【自治系统平衡点稳定性判定】
雅可比矩阵特征值有一个正实部，平衡点不稳定。
【自治系统平衡点类型】
中心点：两个特征值为纯虚数
焦点：两个特征值都是复数 结点：两个特征值都是实数，且符号相同 鞍点：两个特征值都是实数，但一个为正，一个为负
3.2 平衡点及稳定性
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点
1 0.5[h( x1 ) x2 ] x 2 0.2[ x1 1.5 x2 1.2] x
0.5h ' ( x1 ) 0.5 J 0.3 0.2
0.063 X 0.758 0.285 (2) X 0.610
非线性系统平衡点附近的特性可通过对该点线性化确定。
1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 ) x
p ( p1 , p2 )
f1 ( p1 , p2 ) 0 f 2 ( p1 , p2 ) 0
平衡点
fi ( x1 , x2 ) x j
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
（1）求解平衡点 (0, 0)
f1 （2）稳定性分析 x J 1 f 2 x 1 f1 2 x2 3x12 x2 f 2 1 2 x1 x2 x2 1 2 x1 x2 2 x12 3x2
(0, 0) ① 0 ( , 0) ( , 0)
② 0 (0, 0)
3.4 典型分岔类型 3.4.3 叉形分岔





超临界叉形分岔
亚临界叉形分岔
安全分岔
危险分岔
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔 例：考虑系统
r

x
y

3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔 例：考虑系统
2 2 2 2 2 1 x1 x ( x x ) ( x x 1 2 1 2 ) x2 2 2 2 2 2 2 x2 x ( x x ) ( x x 1 2 1 2 ) x1
0
1
1
0
0.5
0.5
0
0
-0.5
二阶自治系统可由两个标量微分方程表示：
1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 ) x
若其解为
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t )]T
T
wenku.baidu.com
x2
始于 x0 的轨线
x0
给定初始状态 x0 [ x10 , x20 ]
x1
x1 x2
状态平面（相平面）
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.4 典型分岔类型
分岔是一种普遍的自然现象。力学 上指一种力学状态在临界点发生的 转变、分开或一分为二。 如：一根受力的弹性压杆当压力超 过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。
在P—s 平面上： 当 P<Pc 时，杆的唯一平衡状态是保持直线； 当 P>Pc 时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向 +s 或-s 方向,不同 平衡状态的分岔点为 Pc。
3 2 1 0 -1 -2 -3 -3
0.2
2 1 0 -1 -2 -3 -3 8
6 4 2 0 -2 -4 -6
1.0
5.0
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
-8
-5
0
5
当t趋于无穷大时，极限环邻域内的所有轨线最终都收敛于极限环。
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
x1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
A
1
1.5
B
2
A
B

3.4 典型分岔类型 3.4.3 叉形分岔 例：考虑系统
1 x1 x13 x 2 x2 x 1 x1 x13 x 2 x2 x
① 0 (0, 0)
(0, 0) ② 0 ( , 0) ( , 0)
《非线性系统理论》
Section 1 非线性系统简介
Section 2 非线性离散系统 Section 3 非线性自治系统 Section 4 非线性非自治系统
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.1 相平面分析法
① 0
(0,0)不稳定； ( ,0)稳定 (0,0)稳定； ( ,0)不稳定
② 0
3.4 典型分岔类型 3.4.2 跨临界分岔 例：考虑系统
1 x1 x12 x 2 x2 x

（3）相图
0.1
1
1
0
1
0.1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
所有轨线或解的的曲线称为相图
3.1 相平面分析法
相图的数值构造

画轨线
− 在状态平面内选择一个边界框
x1min x1 x1max , x2min x2 x2max
− 在边界框内选择初始点（初始条件）
− 计算轨线
3.1 相平面分析法
例：无摩擦力时的单摆方程
1 x2 x 2 10sin x1 x
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点 例：考虑有摩擦力的单摆方程
1 x2 x 2 10sin x1 x2 x
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
(a d ) (ad bc) 0
2 T D 0
u u C v v
T T 2 4D 1, 2 2
1u u 2 v v
u (t ) e 1t u0 v(t ) e 2t v0
系统有一个幅度为r的持续振荡，称为谐振器。

线性振荡器振荡的幅值取决于初始条件，非线性振荡器 线性振荡器振荡是结构不稳定的，非线性振荡器是结构
的幅值与初始条件无关；

稳定的。
3.3 极限环
3
经典的范德波尔振子：
1 x2 x 2 x x (1 x 2 1 1 ) x2
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
0
1
2 1.5
0
1 0.5
0.5
0
0 -0.5
-0.5
-1 -1.5
-1 -1
-0.5
0
0.5
1
-2 -2
-1
0
1
2
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔 例：考虑系统
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.3 极限环
当系统具有一个周期解：
x(t T ) x(t ), t 0
在相图中周期解的图形是一条闭合的曲线，即极限环（LCO）
1 a11 ( x1 p1 ) a12 ( x2 p2 ) H.O.T. x 2 a21 ( x1 p1 ) a22 ( x2 p2 ) H.O.T. x
y1 x1 p1; y2 x2 p2
1 a11 y1 a12 y2 y 2 a21 y1 a22 y2 y
(1)
3.592 0.330 1.772 (2) 1,2 0.252
(1) 1,2
稳定结点
不稳定鞍点 稳定结点
X
(3)
0.884 0.210

(3) 1,2
1.341 0.396
u u C v v
f h
u u 1 B JB v v
1 0 C 0 2
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
a c
2
b 0 d