创新设计高考数学北师大理科一轮复习练习：第8章 立体几何 第4讲 含答案

基础巩固题组

(建议用时：45分钟)

一、选择题

1.给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两条直线相互平行；

②垂直于同一平面的两个平面相互平行；

③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；由直线与平面垂直的定义知④正确，而③错. 答案 B

2.下列命题中错误的是()

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的.

答案 D

3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB

的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()

A.P A＝PB>PC

B.P A＝PB

C.P A＝PB＝PC

D.P A≠PB≠PC

解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，

又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，

故P A＝PB＝PC.

答案 C

4.(2016·延安一模)设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：

①若m∥α，m∥β，则α∥β；

②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；

③若m∥α，m∥n，则n∥α；

④若m⊥α，α∥β，则m⊥β.

其中的正确命题序号是()

A.③④

B.①②

C.②④

D.①③

解析①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；②若m⊥α，m∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故②正确；③若m∥α，m∥n，则n∥α或nα，故③错误；④若m⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确.故选C.

答案 C

5.(2016·九江模拟)如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD

＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()

A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.

答案 C

二、填空题

6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△P AC

的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂

直的直线有________.

解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；

∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，∴与AP垂直的直线是AB.

答案AB，BC，AC AB

7.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________.

解析如图，∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；

又∵DE∥AC，

DE平面PDE，AC平面PDE，

∴AC∥平面PDE.故①②正确.

答案①②

8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一

点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；

④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________.

解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.

又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，

∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.

∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确.

答案①②③

三、解答题

9.(2016·郑州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分

别为棱PC，AC，AB的中点.已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，

DF＝5.

求证：(1)直线P A∥平面DEF；

(2)平面BDE⊥平面ABC.

证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.

又因为P A平面DEF，DE平面DEF，

所以直线P A∥平面DEF.

(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，P A＝6，BC＝8，所以DE∥P A，

EF∥BC，且DE＝1

2P A＝3，EF＝

1

2BC＝4.又因为DF＝5，故DF

2＝DE2＋EF2，

所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.

又P A⊥AC，DE∥P A，所以DE⊥AC.

因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，

所以DE⊥平面ABC.

又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.

10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB ∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，