高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)

第讲导数中的恒成立问题

时间：年月日刘满江老师学生签名:

一、兴趣导入

二、学前测试

§ 1.函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义

函数y f(x)在点x o处的导数是曲线y f(x)在P(x。，f(x。))处的切线的斜率 ________________ ，相应的切线方程是______________________________ .

§ 2.几种常见函数的导数

① C'= _____ :②(x n)' _________ ；③(sin x)' _______________ ；④(cosx)' __________ ；

⑤(a x)' ________ ；⑥(e x)' ___________ ；⑦(log a x) _________ :⑧(In x)' __________

§ 3•导数的运算法则

(1)(u v)' ____________ . (2)(uv)' __________ . (3)(-u)' _________ .(v 0)

v

§ 4.复合函数求导法则

复合函数y f(g(x))的导数和函数y f(u),u g(x)的导数间的关系为y x y u u x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

解题步骤：分层一层层求导一作积还原.

§ 5.函数的极值

(1)极值定义：

极值是在X0附近所有的点，都有 f (x) V f(X0)，则f(X0)是函数f (x)的极 _________ 值；

极值是在x0附近所有的点，都有 f (x) > f(X0)，则f(X0)是函数f (x)的极____________ 值.

(2)判别方法：

①如果在X0附近的左侧f'(X) > 0,右侧f'(x) V 0，那么f(x。)是极_____________________ 值；

②如果在X。附近的左侧f'(x) V 0,右侧f'(x) > 0，那么f(x。)是极 ____________________ 值.

三、方法培养

一、单参数放在不等式上型: 【例题1】设函数f (x) 解：令g(x) (1 )若 e x e x .若对所有 f (x) ax ，则 g

(x) f (x) 2，当 x 0时，g (x) e x

0时，g(x) g(0)，即 f (x) 0都有f (x) ax ，求a 的取值范围.

x x e e a ，

x a 2 a 0，故g(x)在(0,)上为增函数, ax . (2 )若

2，方程g (x) 0的正根为x 1 In ——a 一4

， 2 0,故g(x)在该区间为减函数. 0，即f(x) ax ，与题设f(x) ax 相矛盾. ,2]. 此时，若 x (0, X i )，则 g (x) 二 x (0, x i )时，g(x) g(0)

综上，满足条件的a 的取值范围是(

说明：上述方法是不等式放缩法. 【针对练习1】设函数f(x) e x 1 x 解：

ax 2，当x 0时，f(x) 0,求a 的取值范围. •••函数 f (x)在 x 1 及 x : 2取得; 极值，则有 f (1)

0，f (2) 0 .

即6 6a 3b 0

，解得 a 3，b 4 .

24 12a 3b 0

(2)由(1) 可知，f (x) 2x 3 9x 2 12x 8c ， f (x) 6x 2 18x 12 6(x 1)(x 2) 当x (0,1)时，f (x) 0 当x (1,2)时， f (x) 0 ；当 x (2,3)时，f (x) 0 . 3 2

【例题2】设函数f(x) 2x 3ax 3bx 8c 在x 1及x 2时取得极值. (1 )求a 、b 的值；(2)若对于任意的x [0,3]，都有f(x) c 2

成立，求c 的取值范围. 解：(1) f (x) 6x 2 6ax 3b ，

•••当 x 1 时，f (x)取得极大值 f(1) 5 8c ，又 f(0) 8c ，f (3) 9 8c . 则当x [0,3]时，f (x)的最大值为f(3) 9 8c . •••对于任意的x [0,3]，有f(x) c 2恒成立，• 9 8c c 2，解得c 1或c 9， 因此c 的取值范围为(，

1)U (9,).

最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值. 【针对练习2】已知函数f (x) ax 41nx bx 4 c (x 0)在x 1处取得极值 3 c ，其中 a 、b 、c 为常数.

(1)试确定a 、b 的值；(2)讨论函数f (x)的单调区间； (3)若对任意x 0，不等式f (x) 2c 2恒成立，求c 的取值范围.

解:

【针对练习

3 3 211 3】已知函数f(x) ax3 -x2 1 (x R)，其中a 0 •若在区间［—］上,

2 2 2

f(x) 0恒成立，求a的取值范围.解:

【例题3】已知函数f(x) In 2(x 1)

(1)求函数f(x)的单调区间;

1 1 故函数G(x)在(0,1］上的最小值为G(1) 1 .• a 的

最大值为

1 .

ln 2

ln 2

小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：①分离变量；②构造

函数(非变量一方)；③对所构造的函数求最值(一般需要求导数 ，有时还需求两次导数)：④写出变 量的取值范围.

【针对练习4】已知f (x) (x 1)lnx x 1，若xf (x) x 2 ax 1，求a 的取值范围. 解：

(2)若不等式(1 l)n a n

解：(1)函数f (x)的定义域是 2ln(1 x)

e 对任意的n N 都成立(其中e 是自然对数的底数)

，求a 的最大值.

(x) g(x) (1, x 2 2x 1 x (1 x)

2 2(1 x)l n(1

x) x 2

)，

2(1 x)l n(1 x) x 2 2x

(1 x)2

2x .

g(x)

2

2ln(1 x) 2x ，令 h(x) 2In(1 x) 2x ，则 h(x) —

2

1 x

2x 1 x

0时，h(x) 0 , h(x)在(1,0)上为增函数，

)上为减函数.••• h(x)在x 0处取得极大值,

g(x)在(1,)上为减函数. 1 x x 0 时，h (x) 0， h(x)在(0, 而 h(0) 0，• g (x)

0 (x 0)，函数

于是当 1 x 0时，g(x) g(0) 0，当 x 0时，g(x) g(0) 0.

•••当1 x 0时，f (x) 0, f(x)在(1,0)上为增函数.

当x 0时，f (x) 0，f (x)在(0,)上为减函数.

故函数f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0,).

1 (2)不等式(1

-)n n

1 _ 占

n

a ------- ln(1

G(x)

e 等价于不等式(n

n .设 G(x)

1 ln(1 x)

(1 x)ln (1 x)

2

x

1 x

• G(x) 0，x (0,1］，于是 2

由( 1)知,ln (1 x)

a)l n(1

1 知,

(0,1］，则

2

(1 x)ln (1

2 2

x (1 x)ln (1 x)

x) X 2

2 2

0,即(1 x)ln (1 x) x

G(x)在(0,1］上为减函数.