常数与幂函数的导数

切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
当 x0＝－1 时点 P 的坐标为(－1,1)． 切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即 y＝－2x－1.
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1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导． 2．导数公式表中(ax)′＝axln a 与(logax)′＝xln1 a 较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的 差异去记忆． 3．直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的公共 点，切线的斜率是曲线对应的函数在切点处的导数．
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提示：y′＝nxn－1.
问题 2：当 n＝12时，(x12)′＝12x－12(x>0)成立吗？
提
示Leabharlann Baidu
：
由
Δy Δx
＝
x＋Δx－ Δx
x＝
Δx x＋Δx＋
＝ xΔx
1 x＋Δx＋
，得 y′＝lim
x
Δx→0
ΔΔxy＝2
1
x＝12x－12.所以(
x
1 2
)′
＝12
x

1 2
成立．
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基本初等函数的导数公式表
y′＝ex y′＝xln1 a
y′＝1x
y′＝cos x
y′＝－sin x
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1．对于基本初等函数导数公式，只要求能够记忆并 会利用它们求简单函数的导数即可．
2．注意区分幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1(n∈Q)， 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a.
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[例 1] 求下列函数的导数． (1)y＝5x；(2)y＝x13；(3)y＝4 x3；(4)y＝lg x. [思路点拨] 先将解析式化为基本初等函数的形式， 再利用公式求导．
y＝f(x) y＝C y＝xn(n为自然数) y＝xμ (x>0，μ≠0，μ为有理数)
y′＝f′(x) y′＝0
y′＝nxn－1
y′＝μxμ－1
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y＝f(x) y＝ax(a>0，a≠1)
y＝ex y＝logax (a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y＝sin x
y＝cos x
y′＝f′(x) y′＝axln a
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[一点通] 求曲线的切线方程一般有下列两种情况： 一是求曲线在点P处的切线方程，这时P点在曲线上，且P 一定为切点．二是求过点P与曲线相切的直线方程，这时P 点不一定在曲线上，不一定为切点．做题时，一定要仔细 读懂题意，分清所求切线方程为哪种情况，以便于找准正 确的解题思路．
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3．设曲线 y＝cos x 在点 A(π6， 23)处的切线倾斜角为 θ， 求 tan θ 的值． 解：∵y＝cos x，∴y′＝－sin x. ∴在点 A 处切线斜率为 k＝－sinπ6＝－12. ∴tan θ＝－12.
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1．若 f(x)＝3 x，则 f′(1)等于
()
A．0
B．－13
C．3
D.13
解析：∵f′(x)＝(x13)′＝13x－23＝13·12＝ x3 3
1， 3 x2
∴f′(1)＝13. 答案：D
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2．求下列函数的导数． (1)y＝x6；(2)y＝cos x； (3)y＝x2 x；(4)y＝2sinx2cosx2. 解：(1)y′＝(x6)′＝6x5； (2)y′＝(cos x)′＝－sin x； (3)y′＝(x2 x)′＝(x2·x12)′＝(x52)′＝52x32； (4)∵y＝sin x，∴y′＝cos x.
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[例 2] 求曲线 y＝cos x 在(π4，22)处的切线方程． [思路点拨] 解答本题可先应用导数公式求出函数
在 x＝π4 处的导数，即切线的斜率，然后根据直线方程
的点斜式公式，写出切线方程．
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[精解详析] y′＝－sin x，y′|x＝π4＝－ 22， ∴切线方程为 y－ 22＝－ 22(x－π4)， 即 2x＋2y－ 2－ 42π＝0.
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[精解详析] (1)y′＝(5x)′＝5xln 5； (2)y′＝(x13)′＝(x－3)′＝－3x－4；
(3)y′＝(4 x3)′＝(x34)′＝34x－14＝
3 4
；
4x
(4)y′＝(lg x)′＝xln110.
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[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降 低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的 结构进行调整，再选择合适的求导公式．
第
3.2
三
章 3.2.1&
3.2.2
导
数 及
常数与 幂函数 的导数
其
应 导数公
用
式表
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二
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3．2.1&3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
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利用导数的定义可得x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2.
问题1：当n∈N＋时，y＝xn的导数公式是什么？
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4．过点A(0，－1)作抛物线y＝x2的切线．求切点P的坐标
和切线方程． 解：设点 P(x0，x20)，则 y′|x＝x0＝2x0. 切线方程为 y－x20＝2x0(x－x0)． 又 A(0，－1)在切线上，
∴－1－x20＝－2x20，x20＝1.
当 x0＝1 时，点 P 的坐标为(1,1)．