广东财经大学807-高等代数2018--2020年考研真题汇编

广东财经大学硕士研究生入学考试试卷

考试年度：2018年 考试科目代码及名称：807-高等代数(自命题) 适用专业：071400 统计学［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］

一、填空题（10题，每题3分，共30分）

1．设除所得的商和余式分别为和，为任意非零)0)()((≠x g x g )(x f )(x q )(x r )(x h 多项式，则除所得的商和余式分别为 ；

)()(x h x g )()(x h x f 2．中，的系数是 ；x

x x x x

x f 111123

111212)(-=3x 3．设矩阵，则＝ ；

n n ⨯)(ij a A =in kn i k i k A a A a A a +++ 22114．若向量组可经向量组线性表出，且线性s ααα,,,21 t βββ,,,21 s ααα,,,21 无关，则和的关系是 ；

s t 5. 在线性空间中，多项式在基下的坐标是 ；

4][x R 3791x x +-32,,,1x x x 6. 设是阶方阵的一个特征值，则属于特征值的特征向量的个数为 ；

0λn A 0λ7. 在通常定义下，中向量（4,2,-4,4）与（1,2,1,-1）的夹角为 ；

4R =αβ8．复数集C 作为数域R 上的线性空间，其维数等于 ；

9．设是一个正整数，在全部级排列中，有60个偶排列，则= ；

n n n 10．设元齐次线性方程组有非零解，且其系数矩阵的秩为，则它的基础解系所n r 含解的个数为 。

二、计算题（6题，每题10分，共60分）

1．设，在复数域上求的所有根。

14156)(23-+-=x x x x f )(x f 2．计算行列式x x x x D ----=

11111111

1111

1

111

3．解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-33771334342431

3

21431

4321x x x x x x x x x x x x x 4．已知行列式，求，其中是元素的代

13311172

1731

41151D --=--12223242A A A A +++ij A ij a 数余子式。

5．在中，,,，4R )1,3,1,2(1-=e )1,3,1,1(2--=e )1,3,5,4(3-=e ，求由生成的子空间的维数和一组基。

)1,3,5,1(4-=e 4321,,,e e e e 6．设=，，求。

A ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-321011330B A AB 2+=B 三、应用题（3题，每题15分，共45分）

1．取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷

λ1231231

23(1)0

(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ⎧+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎩多解？并在有解时写出解。

2．在复数域上，线性变换在一组基下的矩阵，问可对

σ321,,a a a ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=001010100A σ角化吗？如果能，试写出基变换的过渡矩阵。

3．设实二次型，当

3231232221222x tx x x x x x f ++++=t 是何整数时二次型正定？

f 四、证明题（1题，每题15分，共15分）

1．证明：如果实对称矩阵正定，则也正定（为正整数）。

n n ⨯A m A m

广东财经大学硕士研究生入学考试试卷

考试年度：2019年 考试科目代码及名称：807-高等代数(自命题) 适用专业：071400 统计学［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］

一、填空题（10题，每题3分，共30分）

1．把表示成的多项式是 ；

5)(4-=x x f 1-x 2．设，则 ；

41220

1112

1113101----=A =+++44342414A A A A 3．5阶行列式的项取“负”号，则k = ，l = ；

D 53431212a a a a a l k 4．= ；0100

0020

............

(0001)

000

n n - 5. 设为3阶方阵，且，则 ；

A 1)(=A r *()r A =6. 设为阶方阵的伴随矩阵，则= ；

*A n A A A *7. 设f 是一个n 元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________；

8．A ，B 为n 阶可逆矩阵，C=，则C ＝________；⎪⎭

⎫ ⎝⎛O B A O 1-9．A 为n 阶矩阵，=，则=_______；A 12

1*(3)A A --10．设n 阶矩阵A 满足A =A ，则A 的特征根是___________。

2二、计算题（6题，每题10分，共60分）

1．计算行列式。1111

11111111

1111x x D y y

+-=+-

2．已知，其中，，求矩阵。

B AX X +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=350211B X 3．求矩阵A= 的特征值与特征向量。

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---1132061154．已知A= ，求A 及(A )。

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--1222122211-*1-5．把二次型f( x ,x ,x )=x x +4x x -6x 通过非退化线性替换化成平方和。

1231213236．在 P 中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。

4i α =（2，0，1，2） =（-1，1，0，3）

1αα2=（0，2，1，8） =（5，-1，2，1）

3α4α三、应用题（3题，每题15分，共45分）

1．为何值时，齐次线性若方程组有非零解，并求出它的一般

k ⎪⎩

⎪⎨⎧=+--=-+=++0300321321321x x x x kx x x x kx 解。

2．已知二次型，通过正交变换化为

322322213212332),,(x ax x x x x x x f +++=)0(>a 标准型，求参数，并判断该二次型是否为正定二次型。

23222152y y y f ++=a 3．设，在复数域上求的所有根。

14156)(23-+-=x x x x f )(x f 四、证明题（1题，每题15分，共15分）

1．设A 为n 阶矩阵，A =2E, 证明B=A -2A+2E 可逆，并求 B 。

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