二项式定理复习课件和练习题
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r n
xr ,
n
∴x3的系数是23 C 3n ，x2的系数是22 C 2 .
3 2 ∴8 C 4 C4 n n ,
n1n 2 n n1 ,解得n=8. 即n 2 321 21
答案：8
考向 2
二项式系数和或各项系数和
2 x
【典例2】(1)(2013·景德镇模拟)若(x- 1 )n的展开式中第3 项的二项式系数为15，则展开式中所有项的系数之和为( (A) 1
答案：-240
考向 1
求二项展开式中的项或项的系数
x
【典例1】(1)(2012·天津高考)在( 2 x 2 1 )5的二项展开式中， x的系数为( (A)10 ) (C)40
1 x
2
(B)-10
(D)-40 -1)5的展开式的常数项是 ( )
(2)(2012·安徽高考)(x2+2)(
(A)-3
第三节 二项式定理
1.二项式定理
0 n 1 n 1 2 n 2 2 aC a b C ab (a+b)n= C n n n r n rr nn C ab C b (n∈N+) n n
二项式定理 二项式通项 二项式系数
r+1 Tr+1= Crn a nr br,它表示第____项
=(-1)r·C 5r 25-rx10-3r，
令10-3r=1,则r=3，
∴T4=- C 35 ·22x=-40x,
∴x的系数为-40. (2)选D.第一个因式取x2，第二个因式取 1× C 15 (-1)4=5； 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得： 2×(-1)5 =-2，∴展开式的常数项是5+(-2)=3.
2.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( (A)-20 (B)-15
6
)
(C)15
(D)20
6k k k 2 x x 【解析】选C.Tk＋1＝ C 2 2 k x ＝ 1 2 C 6 k 1 23 k
，k＝4时，12-3k＝0，
故第5项是常数项，T5＝(-1)4 C 64 ＝15.
(组)求取值范围.
【提醒】二项展开式某一项的系数是指该项中字母前面的常数 值(包括正负符号)，它与a,b的取值有关，而二项式系数与a,b 的取值无关.
【变式备选】(2013·西安模拟)(1+2x)n的展开式中x3的系数
等于x2的系数的4倍，则n等于__________.
【解析】∵Tr+1= C rn (2x)r=2r C
3.(x+1)8的展开式中x3 的系数是________(用数字作答).
【解析】(x+1)8的展开式中x3的系数是 C
5 8
=56.
答案:56
4.在(1+x)3+(1+ x )3+(1+ (用数字作答). 【解析】由条件易知(1+x)3+(1+ x )3+(1+ 3 x )3展开式中x的
1 2 3 系数分别是 C ，即所求系数是3+3+1=7. ， C ， C 3 3 3
3
3 x ) 的展开式中，x的系数为_____
答案：7
5.在(x-y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 _________.
【解析】Tr＋1＝(-1)r Cr x10r yr，所以有 10
3 7 3 C C 2 C 2 4 0 . 1 0 1 0 1 0
k n
，显然它与a,b无关.
(4)正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部
分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数 .
答案:(1)×
(2)√
(3)√
(4)√
1.(2＋x)9展开式的二项式系数之和为( (A)29 (B)39 (C)1 (D)210
)
【解析】选A.因为(a＋b)n展开式的二项式系数之和为2n，所 以(2＋x)9展开式的二项式系数之和为29.
(B)-2
(C)2
(D)3
【思路点拨】(1)可利用二项展开式的通项，求x的系数. (2)先将(x2+2)( 1 2 -1)5看作是两个因式相乘的形式，根据展
x
开式中的每一项是由每个因式各取一项相乘得到的进行分类讨
论.
【规范解答】(1)选D.Tr+1=(-1)r· C
r 5
(2x2)5-r·x-r
【拓展提升】求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数 分别为零和整数.解决这类问题时，先要合并通项式中同一字 母的指数，再根据上述特征进行分析 . (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，
一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
nk k (1) Ck a b 是二项展开式的第k项.( n nk k 中的a与b不能互换.( (2)通项 Ck a b n
) ) )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(
(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，
与该项的二项式系数不同.( )
nk k 应 【解析】(1)错误.由二项展开式通项的定义可知：Ck b na
是二项展开式的第k+1项.
n nk k (2)正确.通项 Ck 中的 a 与 b 如果互换，则它将成为 (b+a) a b n
的第k+1项. (3)正确.因为二项式(a+b)n的展开式中第k+1项的二项式系数 为C
1 x
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu得：
【互动探究】在本例题(1)中，x的整式项有几项？分别是第几
项？ 【解析】由本例题(1)的解析可知：Tr+1=(-1)r· C 5r ·(2x2)5-r ·x-r=(-1)r·C 5r 25-rx10-3r. 又因为r=0,1,2,3,4,5，所以当r=0,1,2,3时，分别是x的整式 项，共有4项.它们分别是第一项、第二项、第三项和第四项 .
二项展开式中各项的系数为
r C ( r 0 , 1 , 2 , , n ) n
2.二项式系数的性质 性质 对称性
m n m 即C n C n
性质描述 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
和的性质
2n， (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于__
0 1 2 n n 即C . C C n nC n n 2
xr ,
n
∴x3的系数是23 C 3n ，x2的系数是22 C 2 .
3 2 ∴8 C 4 C4 n n ,
n1n 2 n n1 ,解得n=8. 即n 2 321 21
答案：8
考向 2
二项式系数和或各项系数和
2 x
【典例2】(1)(2013·景德镇模拟)若(x- 1 )n的展开式中第3 项的二项式系数为15，则展开式中所有项的系数之和为( (A) 1
答案：-240
考向 1
求二项展开式中的项或项的系数
x
【典例1】(1)(2012·天津高考)在( 2 x 2 1 )5的二项展开式中， x的系数为( (A)10 ) (C)40
1 x
2
(B)-10
(D)-40 -1)5的展开式的常数项是 ( )
(2)(2012·安徽高考)(x2+2)(
(A)-3
第三节 二项式定理
1.二项式定理
0 n 1 n 1 2 n 2 2 aC a b C ab (a+b)n= C n n n r n rr nn C ab C b (n∈N+) n n
二项式定理 二项式通项 二项式系数
r+1 Tr+1= Crn a nr br,它表示第____项
=(-1)r·C 5r 25-rx10-3r，
令10-3r=1,则r=3，
∴T4=- C 35 ·22x=-40x,
∴x的系数为-40. (2)选D.第一个因式取x2，第二个因式取 1× C 15 (-1)4=5； 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得： 2×(-1)5 =-2，∴展开式的常数项是5+(-2)=3.
2.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( (A)-20 (B)-15
6
)
(C)15
(D)20
6k k k 2 x x 【解析】选C.Tk＋1＝ C 2 2 k x ＝ 1 2 C 6 k 1 23 k
，k＝4时，12-3k＝0，
故第5项是常数项，T5＝(-1)4 C 64 ＝15.
(组)求取值范围.
【提醒】二项展开式某一项的系数是指该项中字母前面的常数 值(包括正负符号)，它与a,b的取值有关，而二项式系数与a,b 的取值无关.
【变式备选】(2013·西安模拟)(1+2x)n的展开式中x3的系数
等于x2的系数的4倍，则n等于__________.
【解析】∵Tr+1= C rn (2x)r=2r C
3.(x+1)8的展开式中x3 的系数是________(用数字作答).
【解析】(x+1)8的展开式中x3的系数是 C
5 8
=56.
答案:56
4.在(1+x)3+(1+ x )3+(1+ (用数字作答). 【解析】由条件易知(1+x)3+(1+ x )3+(1+ 3 x )3展开式中x的
1 2 3 系数分别是 C ，即所求系数是3+3+1=7. ， C ， C 3 3 3
3
3 x ) 的展开式中，x的系数为_____
答案：7
5.在(x-y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 _________.
【解析】Tr＋1＝(-1)r Cr x10r yr，所以有 10
3 7 3 C C 2 C 2 4 0 . 1 0 1 0 1 0
k n
，显然它与a,b无关.
(4)正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部
分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数 .
答案:(1)×
(2)√
(3)√
(4)√
1.(2＋x)9展开式的二项式系数之和为( (A)29 (B)39 (C)1 (D)210
)
【解析】选A.因为(a＋b)n展开式的二项式系数之和为2n，所 以(2＋x)9展开式的二项式系数之和为29.
(B)-2
(C)2
(D)3
【思路点拨】(1)可利用二项展开式的通项，求x的系数. (2)先将(x2+2)( 1 2 -1)5看作是两个因式相乘的形式，根据展
x
开式中的每一项是由每个因式各取一项相乘得到的进行分类讨
论.
【规范解答】(1)选D.Tr+1=(-1)r· C
r 5
(2x2)5-r·x-r
【拓展提升】求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数 分别为零和整数.解决这类问题时，先要合并通项式中同一字 母的指数，再根据上述特征进行分析 . (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，
一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
nk k (1) Ck a b 是二项展开式的第k项.( n nk k 中的a与b不能互换.( (2)通项 Ck a b n
) ) )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(
(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，
与该项的二项式系数不同.( )
nk k 应 【解析】(1)错误.由二项展开式通项的定义可知：Ck b na
是二项展开式的第k+1项.
n nk k (2)正确.通项 Ck 中的 a 与 b 如果互换，则它将成为 (b+a) a b n
的第k+1项. (3)正确.因为二项式(a+b)n的展开式中第k+1项的二项式系数 为C
1 x
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu得：
【互动探究】在本例题(1)中，x的整式项有几项？分别是第几
项？ 【解析】由本例题(1)的解析可知：Tr+1=(-1)r· C 5r ·(2x2)5-r ·x-r=(-1)r·C 5r 25-rx10-3r. 又因为r=0,1,2,3,4,5，所以当r=0,1,2,3时，分别是x的整式 项，共有4项.它们分别是第一项、第二项、第三项和第四项 .
二项展开式中各项的系数为
r C ( r 0 , 1 , 2 , , n ) n
2.二项式系数的性质 性质 对称性
m n m 即C n C n
性质描述 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
和的性质
2n， (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于__
0 1 2 n n 即C . C C n nC n n 2