二维约束点集三角剖分算法研究

１ 二 维 点 集 凸包 的 ＤＴ 剖 分
二维 点集 凸包 的 ＤＴ剖分是 实现 任意平 面 区域 上 点集 Ｄ 剖分 的基 础 ． 于任 意平 面 区域 上点集 Ｔ 对
Ｐ一｛ 一１ ２ … ， ， 凸包 的 ＤＴ剖分算 法 是一个 递推过程 ： 已形 成 的 Ｄ 剖分进行 动 态修 改 ， Ｐ ，ｉ ， ， Ｎ｝其 对 Ｔ 以构成 新 的 Ｄ 剖分． 文算法 由以下几 个步 骤组成 ： Ｔ 本
算法 步骤 中的 （ ） （ ） 同． ３ 、４ 相 算 法实 例如 图 ６ ７ 示． 、所
图 ６ 单孔约束点集 Ｄ Ｔ剖 分实 例
图 ７ 多孔 约 束 点 集 Ｄ 剖 分 实 例 Ｔ
３ 结 论
本 文提 出通过用 约束边 界与 二维点 集 凸包 的 Ｄ 剖分 形 成 的三 角形 集求 交 ， 对交 点 进行 分 类 的 Ｔ 并
二维 Ｄ ｌｕ ａ ｅ ｎ ｙ三角 剖分 （ ａ 简称 二维 Ｄ Ｔ剖 分 ） 二 维点 集较 理 想 的一 种 剖分 方 法［ ］ 剖分 得 到 的 是 １ ， 三 角形满 足最 小 内角之和 最大 的原则 ， 使得 任一 三角形 外接 圆 中均 不包 含点集 中的其它点 ， 各个 三角形
尽 可能接 近 于等边 三角形 ， 避免 了狭 长三角 形 的存在 ， 这样各 离散点 对整 个三 角形 网格 的影响仅 限 于局 部 ． Ｔ剖 分技 术发展 到 现 在 ， 涌 现 了大 量 不 同 的算 法 ， 般 可将 算 法 分 为 以下 三 类 口 ： Ｂ ｗｙ ｒ Ｄ 已 一 ］ 以 ｏ ｅ、 Ｇｒｅ 、 ｉｓ ｎ 为代表 的 Ｖｏｏ ｏ 图方法 、 Ｗａｓｎ为代表 的空外 接 圆法 以及 以 Ｌ ｗｓｎ为 代表 的对 ｅｎ Ｓｂ ｏ ｓ ｒｎ ｉ 以 ｔｏ ａ ｏ
已形成 的三 角剖分 集进行 求交 ， 用交 点动 态地对 二维 点集 凸包 的 Ｄ 剖分 的结果 进行修 改 ， 而将 修 改 Ｔ 从
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后 的三角形 简单地 分为在 区域 内部或 在 区域 外 部两种 情 况 ， 三 角形 以约 束 边界 为 其边 界 ，交 点插 入 且 “ 算法 ” 描述 如下 ：
新 点 ， 在 局 部 对 三 角 剖 分进 行 修 改 ， 可 保 证 整 体 三 角剖 分 符合 Ｄ ｌｕ ａ 并 便 ｅａ ｎ ｙ性 质． 关键 词 ：二 雏 三 角剖 分 ； ｅａ ｎ ｙ三 角剖 分 ；计 算 几 何 ；网格 生成 Ｄ ｌｕ ａ 中 图分 类号 ：Ｔ ３ １ Ｐ ９ 文 献 标 识 码 ：Ａ
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第１ ５卷
第 ６ 期
２０ ０ ３年 １ ２月
海
军
工
程
大
学
学 报
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ ６ １１ ．
Ｄｅ ． ０ ｃ ２０ ３
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＮＡＶＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ ＮＧＩ Ｉ ＯＦ Ｅ ＮＥＥＲＩ ＮＧ
三角 剖分 （ｒ ｎ ｕａｉｎ 是计 算几 何 中的一个 难题 ， ｔｉ ｇ ｌｔ ） ａ ｏ 它在 有 限元 分析 、 Ａ Ｃ Ｄ及 数据 场 的可 视化 等领
域 均有重 要应 用． 意二维 约束点 集 的三角 剖分是 指将 欧几 里德平 面上 的有穷个 离散 点连 成三 角形 ， 任 使
得 任何两 条边 不在 非离散点 处相 交 ， 且定 义 平 面 区域 边 界 的 直线 段 （ 是 直 线段 的边 界 可用 直 线 段代 不 替） 必须 作为 三角形 的边 而存在 ．
（ ｐ ．ｏ ｓｃ Ｃ ｕ ｓ ｓ Ｄｅ ｔ ｆＢａ ｉ ｏ ｒ ｅ ，Ｎａ ａ ｉ ． ｏ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ，Ｗ ｕ ａ ３ ０ ３ ｖ ｌＵｎ ｖ ｆＥ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｈ ｎ ４ ０ ３ ，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｎ ａ ｇ ｉｈｍ ｏ ｏ ｔ ｕ ｔｎ ｌ ｕ ｙ ｔｉ ｎｇ ａ ｉ ｎ ｏ ｒ ｔａ ｉｙ ｓ ａ ｄ ｐ ａ ａ ｍ ａ ｎ ｓ ｓｒ ｃ ： ｌ ｏｒｔ ｆ ｒｃ ｎｓ ｒ ｃ ｉ ｇ Ｄｅ ａ ｎａ ｒａ ｕｌ ｔｏ ｆａ ｂｉｒ ｒｌ ｈ ｐｅ ｌ ｎ ｒｄｏ ｉ ｓｉ ｐｒ ｓ ｎｔ ｄ Ｔ ｈ ｌ ｏｒｔ ｓ ｔ ｅ ｐｒ ｐ ｒ ｉ ｓｔ ｔｏ ｙ ａ ｆ ｗ ｅ ｐ ｎｔ ｒ ｒ ａ ｅ ｎ ｌ ｃ ｌａ ｅ ｅｅ ｅ ． ｅ ａ ｇ ｉｈｍ ｈａ ｈ ｏ ｅ ｔｅ ｈａ ｎｌ ｅ ｎ ｗ ｏｉ ｓ ａ ｅ ｃ ｅ ｔ ｄ ｉ ｏ ａ ｒ ａ，ａ ｄ ｎ ｏ ｙ ｔ ｒａ ｇｕｌｔｏ ｎ ｏ ａ ｒ ａ ｉ ｅ ｄ ｄ ｔ ａ ｈｅｇｌ ｂａ ｒａ ｕｌｔｏ ａ ｃ ｎｇ ｗｉｈ ｔ ｌ ｕ— ｎｌ ｈｅ ｔ ｉｎ ａ ｉ ｎ ｉ ｌ ｃ ｌａ ｅ ｓ ｎ ｅ ｅ ｏ ｍ ｋｅ ｔ ｏ ｌｔｉ ｎｇ ａ ｉ ｎ ｍ ｔ ｈｉ ｔ ｈｅ Ｄｅａ ｎ ｙ ｆ ａ ｕ ｅ ａ ｅ ｔ ｒ ． Ｋｅ ｒ ｓ： ２ ｔ ｉｎｇ ａ ｉ ｎ； ｄ ｌ ｎ ｙ ｔ ｉｎｇｕ ａ ｉ ｙ ｗｏ ｄ Ｄ ｒａ ｕｌ ｔｏ ｅａｕ ａ ｒａ ｌ ｔｏｎ；ｃ ｍ ｐｕ ａ ｉ ｎ ｅ ｍ ｅ ｒ ｏ ｔ ｔｏ ａｌｇ ｏ ｔ ｙ； ｍ ｅ ｈ ｇ ｎ ｒ ｔｏ ｓ ｅ ｅ ａｉｎ
位 于 内环 上 ， 分点 位于 内 、 部 外环 之 间的 区域 中． 当用 二维 点集 凸包 的 ＤＴ剖分算 法对 上述 区域进行 剖分 时 ， 可形成 三类 三角形 ： 之一 为三 角形 在 区 域 内部 ； 之二 为三角 形在 区域外 部 ； 三 为三角形 的一 部分在 区域 内部 ， 之 另一部 分 在区域外 部． 中第一 其
Ｄｅ ａ ｎ ｙ ｔ ｉ ｎｇ ｌ ｔｏ ｆ ａ ｂ ｔ ａ ｉｙ ｓ ａ ｅ ｌ ｎ ｒ ｄ ｍ ａ ｎｓ ｌ ｕ ａ ｒ ａ ｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｒ ｉｒ ｒ ｌ ｈ ｐ ｄ ｐ ａ ａ ｏ ｉ
ＣＵ ＩＨａ — ｕ ｎ ｇ ｏ，ＦＡＮＧ — ，Ｊ ＡＮ ａ － ｕ ＸｉＷＵ Ｉ Ｘｉｎ ｈ ａ
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第６ 期
崔 汉 国 等 ： 维约束 点集 Ｄ ｌｕ ａ 二 ｅａ ｎ ｙ三 角剖 分算法研 究
ｏ
（ 原始数 据 ａ ） （）标准Ｄ 剖分结 果 ｂ Ｔ （） 原始数据 ａ （）标 准Ｄ 剖 分结果 ｂ Ｔ
图 ４ 带有“ 三角形” 虚 的情 况
（ ）如果 Ｎ， ５ ＜ 则转 （ ） 否 则结 束． ２，
图 １ 新 插入 点 位 于 部 分 三 角 形 外 接 圆之 内
图 ２ 新 插 入 点 位 于 已形 成 的 三 角 剖 分 凸包 之 外
算法 实例 如图 ３ 示． 所
图 ３ 二 维 点 集 凸包 的 Ｄ 剖 分 Ｔ
收 稿 日期 ： ０ ３０ － ５ 修 订 日期 ： ０ ３０ － ９ ２０ －２１ ＃ ２ ０ － ３０
作者 简 介 ： 崔汉 国 （９ ４）男 ， 授 ， 士 ． １ ６－ ， 教 博
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海
军 工
程 大 学 学
报
第 ｌ 卷 ５
角形外 接 圆内至 多只能包 含“ 不可见 ” 点 ， 不能包 含“ 顶 而 可见” 点 ， 实上依 据该 准则 完成 的三角 剖分 顶 事
已不再 是通 常意义 上 的 Ｄ 剖分． Ｔ 本文针 对任 意二维 约束 点集提 出新 的算法 ， 于 自动生成平 面上 带约 束条件 点集 的 Ｄ 用 Ｔ剖分 ．
便形 成 了新 的 Ｄ Ｔ剖分 （ 图 １ ， ｉ ＋１ 转 （ ） 见 ） 令 — ， ５ ；
（ ）如果 Ｐ 点 不被任 一个现 有三 角形 的外接 圆所包 含 ， Ｐ 点必 在 已形 成 的 Ｄ 剖分 子集 凸包 之 ４ 则 Ｔ 外 （ 图 ２ ， 时将 Ｐ 点 与原 凸包所 有“ 见 ）这 可见” 的顶点 相连 ， 成新 的 Ｄ 形 Ｔ剖分 ， ｉ ； 令 － ＋１
ｂｅ ｎ ｇｉ
从 Ｅ ｉ 中取 出一条直 线段与 已形成 的三 角形集 求交 ， ｌｔ ｓ 得到交 点 ； 用新 求得 的交点 对三 角剖分 结果进行 动态 修改 ；
ｅ ｄｗ ｈ ｌ ｎ ｉｅ
去 除“ 三角形 ” 到正确 的三角 剖分结果 ． 虚 得
算 法说 明 ：用新 求得 的交点 对三 角剖分结 果进行 动态 修 改” “ 的方 法 与“ 二维 点 集 凸包 的 Ｄ 剖分 ” Ｔ
２ 任 意 二维 约束 点 集 的 ＤＴ 剖分
设有 任意平 面 区域上点 集 Ｐ一 ｛ ，一１ ２ … ， ， Ｐｉｉ ， ， Ｎ｝ 区域边界 多边 形 Ｂ 由一个 外环 及若 干个 内环组 成 ， Ｂ一｛ 。 Ｂ 一， ， 中 Ｂ 为外 环 ， 一， 内环 ， 即 Ｂ ， Ｂ ）其 。 Ｂ Ｂ为 点集 Ｐ 中有部 分 点位 于外 环 上 ， 部分 点
文章 编 号 ：０ ９ ４ ６２ ０ ）６ ０ ９ ３ １０ —３ ８ （０ ３０ —０ ４ —０
二维 约束 点 集 Ｄ ｌｕ ａ ｅａ ｎ ｙ三角 剖分 算 法研 究
崔 汉 国 ，方锡 武 ，简 宪 华
（ 军 工程 大学 基 础 部 ， 北 武 汉 ４ ０ ３ ） 海 湖 ３ ０ ３
摘
要 ：在 已有 算 法基 础 上 ， 出 了任 意 二 维 约 束 点 集 Ｄ ｌｕ ａ 三 角剖 分 的新 算 法 ， 法仅 在 局 部 产 生 少量 提 ｅ ｎｙ ａ 算
类 为符 合要求 的剖 分结果 ； 二类 可设 法标 记 为“ 第 虚三 角形 ” 如 图 ４所示 ， ， 并予 以消除 ； 三类是 不合要 第
求 的剖 分 ， 要特殊 处理 ， 图 ５所示 ． 需 如
本 文提 出“ 交点 插入算 法” 恢复 约束 边界 ， 来 其基 本 思 想是 用 区域 约 束边 界 Ｂ一 ｛ 。 Ｂ ， ， ｝ Ｂ ， 。 … Ｂ 对
（ ）由不在 同一条 直线上 的 ３ 点组 成第 一个三 角形 ， ｉ ； １ 个 令 一４ （ ）在任意 位置插 入一点 Ｐｉ ２ ； （ ）如果 Ｐ 包 含在某 些 （ ３ 至少 一 个） 三角 形 的外接 圆之 内 ， 则将这 些三 角形 删除 ， 只保 留这 些三 角形 的外边 界 ， 成一个 多边形 ． 多边形 包含 新插 入的点 Ｐ ， 新插 入 的点 Ｐ 与 多 边形 的每个 顶 点相 连 ， 形 该 将
角线交换 算 法． 有算法 基本 上都是 以 以上 三类 算法 为原 型并进 一步改 进 的结 果 ， 现 但仍不 能解决 实 际应 用 中遇 到 的复杂情 况 ： 准 的二维 Ｄ 标 Ｔ剖 分假 定剖分 是在 给定 点集 凸包 内进 行 的［ ， １ 即为 不 带约束 条 件 ］ 的三 角剖分 ， 不能用 于任 意平 面 区域 上点集 的三角剖 分 ； 文献 ［ ，］ 出在平 面 区域 约 束边 界 上插 入 新 ２４提 点 ， 二维 三角剖分 的结 果尽 可能满 足边 界约束 条件 的算 法 ， 在约束边 界上 如何 插入 新点 ？插 入 多少 使 但 新点 ？都值 得研究 ， 多插 入 一点 ， 三 角形 的数量 会急 剧增 加 ； 且 则 文献 Ｅ ］ 出“ 正 的外 接 圆” 则 ： ｓ提 修 准 三
图 ５ 标 准 Ｄ 剖 分 出 现错 误 的情 况 Ｔ
将２ Ｄ多边 形 内外 环 的直线段 边界 Ｂ＝｛ ， ”， ） 总 ， 成一个 边的链 表 Ｅ ｉ ； Ｂ。Ｂ Ｂ 汇 形 ｌｔ ｓ 对 给定点集 的 凸包按 上面介 绍的二 维点集 凸包 的 Ｄ Ｔ剖分 算法进 行剖分 ；
Ｗ ｈ ｌ Ｅｌ ｔ 空 ｉ ｅ ｉ 非 ｓ