binomial approach期权定价模型

上升概率是0.5时，我们得到的欧式期权价格与上升概率为0.9 时得到的欧式期权价格相等。
这一点令人惊讶且违备常理。人们很自然假设如果股票价格
上升的概率增加，基于该股票的看涨期极价值也增加，基于 该股票的看跌期权的价值则减少，其实情况并非如此。 该问题的关键是:我们并不是按绝对价值为期权估值。我们只 是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的 概率已经包含在股票的价格中。它说明:当根据股票价格为期 权估值时，我们不需要再考虑股票价格上升和下降的概率。
一般结论
考虑一个价格为S0的股票，基于该股票的某期权的当前
价格为f， 在这样的条件下，我们可将以上所得结论推 广到一般情形： 假设期权在时刻T 到期，并且在期权有效期内，股票价 格 或从S0 向上运动到一个新的水平S0u (其中,u>1) 或从S0 向下运动到新的水平S0d（其中,d < 1) ◊ 当股票价格向上运动时，股票价格增长的比率为u-1 ◊ 当股票价格向下运动时，股票价格减少的比率为1-d。 → 如果股票价格运动到S0u ， 我们假设期权的损益为fu; → 如果股票价格运动到S0d ， 我们假设期权的损益为fd
该式说明，平均来说股票价格以无风险利率增长。因此，假定
上升概率等于p 就是等价于假设股票收益等于无风险利率。
我们把所有人对于风险都是无差异的世界称为风险中性世
界(Risk Neutral World)。在这样的世界中，投资者对风险 不要求补偿，所有证券的预期收益都是无风险利率。公式 (4 )说明:当我们假定上升概率为p 时，我们就在假设一个风 险中性世界。公式(2)说明:期权的价值是其预期收益在风险 中性世界中按无风险利率贴现的值。
而构造该组合的成本是: 因此
即
将公式(1)中的Δ 代入化简得
其中
(2)
(3)
再考虑前面的数值例子, u = 1.1, d = 0.9 , r = 0.12, T =
0.25 ,fu= 1 和fd=0。从式(3)可得:
从式(B) 可得:
股票预期收益的无关性
期权定价公式(2) 没有用到股票上升和下降的概率。例如，当
7 用u 和d 计算波动率
假定股票的预期收益(现实世界中)为μ ，而其波动率为σ (a) 给出了二叉树图中第一步股票价格的变动。该步的长
度为Δ t,，起始股票价格S0 上升到S0u 或下降到S0d，假 定价格上升的概率(现实世界中)为p* 第一个时间步结束之时的预期股票价格为 而树 图中此时的预期股价为
考虑一种有价证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头
和一个股票看涨期权的空头。 我们将计算构造无风险组合时的Δ 值。如果股票价格从 $20 上升到$22时，股票的价值为22 Δ ，期权的价值为 $1 ，所以该证券组合的总价值为22 Δ -1; 如果股票价格从$20 下降到$18 时，股票的价值为18 Δ ， 期权的价值为零，该证券组合的总价值为18 Δ。 如果选取某个Δ 值，以使得该组合的终值对两个股票 价格都是相等的，则该组合就是无风险的。这意味着:
多的时间步。在每一个时间步，就有一个单个二叉树股票 价格变动。30 个时间步意味着最后有31 个终端股票价格， 并且230即大约有10 亿个可能的股票价格路径。 不管有多少时间步，都可以使用公式(13)-公式(16) 决定 相应的二叉树图 假定上图中的例子中有5 个时间步而不是2 个。那么参数 应该是Δ t = 2/5 = 0.4, r =0.05 且σ = 0.3。那么，我 们可以计算出 u e0.3 0.4 =1.2089 , d=1/1.2089 =0.8272 ， a=e0.05*0.4 ，以及p=（1.0202-0.8272）/（1.2089-0.8272） =0.5056
再次考虑美式看跌期权的例子，股价为$50 ，执行价格
为$52 ，无风险利率为5% ，期权的有效期限为2 年， 有两个时间步。此时，Δ t =1假定波动率σ 为30%。根 据公式(13)-公式(16) ，可得:
因此
8 增加树图中的步数
实际应用二叉树图方法时，通常将期权有效期分成30 或更
其中 这是上升的风险中性概率。在图 (b) 中，时间步结束之
时的预期股价为 如公式(4 )所示。股票价格收 益的方差为 pu 2 (1 u)d 2 [ pu (1 p)d ]2 [ert (u d ) ud e2rt ]
代人式(13 )和式(14) 中的u 和d ， 并忽略Δ t2及其

现实世界与风险中性世界
必须强调， p 是在一个风险中性世界中股价上升的概率，而
在现实世界中事实并不一定这样。例子中p = 0.6523 ，当价格 上升的概率为0.6523的时候，股票和期权的预期收益率都等 于无风险利率12%。假设在现实世界中股票的预期收益率为 16% ， p*是股票价格上升的概率。则有
在无套利机会的情况下，无风险证券组合的收益必定为
无风险利率。假设在这种情况下，无风险利率为每年 12%。因此我们知道今天该组合的价值一定是$4.5 的现 值，即:
今天的股票价格己知为$20。假设期权的价格由f来表示。
因此今天该组合的价值为: 20 x 0.25 - f = 5 – f 于是 5 - f= 4.367
(7) (8)

(6) →
(9)
(10)
4 看跌期权的例子
u = 1.2, d = 0,Δ t = 1,r= 0.05 ，根据公式(5) ，风险
中性概率p 的值为:
最后股票的可能价格为$72 、$48 和$32。在这种情况下，
fuu= 0 ，fud= 4, fdd =20 ，利用公式(6) ，有:
而提前执行的价值为$2.0。在这种情况下，提前执行是
不明智的。因此期权的价值为$5.0894 0
6 Delta值
股票期权的delta 是股票期权价格的变化与标的股票价
格的变化之比。 delta 是一个数字，即为了构造一个无风险对冲，对每 一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数量。它与前 面引入的Δ 是相同的。 构造无风险对冲有时就称之为delta 对冲。看涨期权的 delta 是正值，而看跌期权的delta 是负值。
$22 或下降到$18。所考虑的期权是一份执行价格为$21 、 有效期为3 个月的欧式看涨期权。无风险利率是12%。 我们说过，在风险中性世界中，股票价格上升变动的概率是 p 。在这样的世界中，股票的预期收益率一定等于无风险利 率12%。这意味着p 一定满足:
则p 一定为0.6523 。 在3 个月末，看涨期权价值为$1的概率为0.6523 ，价值为 零的概率为0.34770, 因此，看涨期权的期望值为: 0.6523 x 1 + 0.3477 x 0 = $0.6523 风险中性世界中用无风险利率贴现。该期权今天的价值
（12）
一个解为
Байду номын сангаас
（13）
（14） Cox 、Ross 和Robinstein (1 979) 提出的匹配波动率的u 、d 值
利用前面的分析，我们可以将图 (a) 中的树图替换成图
(b)中的树图。新的树图中，上升的慨率为p ， 并假定 是风险中性世界。根据公式(6) 可以计算p 值如下:
高阶项，可知上式等于
说明：当我们从现实世界切换到风险中性世界的时候，
股票的预期收益有变化，但是其波动率保持不变(至少 在Δ t 趋近于零的时候)。 Girsanov 定理一个重要的一般结论。 当我们从具有某种风险偏好集合的世界移到具有另外一 种风险偏好集合的世界的时候，变量的预期增长率会有 变化，但其波动率保持不变。 从一种风险偏好的世界移到另外一种风险偏好的世界， 有时被称为测度变换(change the measure) 。现实世 界测度有时被称为P 测度(P-measure) ，而风险中性世 界测度被称为Q 测度( Q-measure) 。
上图说明了，如果所考虑的期权是美式的而不是欧式的，
会发生什么变化。当然股票价格和它们的概率不会变化。 在最后节点的期权价值也没有变化。在节点B ，公式(5) 给出期权的价值为$1.4147 ，而提前执行期权的损益为 负值(-8) 。很清楚，在节点B 提前执行不是明智的， 在这个节点的期权价值为1.4147 。 在节点C ，公式(5) 给出期权的价值为$9.4636 ，而提前执行期权的损益为 $12。在这种情况下提前执行是最佳的因此期权的价值 为$12 。在初始节点A ，公式(5) 给出的期权价值为:
二叉树模型
1 单步二叉树模型
假设一种股票当前价格为$20 ，我们知道3个月
后的价格将可能为$22 或$18 。 我们打算对3 个 月后以$21 执行价格买人股票的欧式看涨期权进 行估值。3 个月后期权价值是如下两个值之一： 若到时股票价格为$22 ，期权的价值将是$1; 若 股票价格为$18 ，期权的价值将是0。
想像一个证券组合由Δ 股股票多头和一个期权空头来组成。我
们计算了使得该组合为无风险状态时的Δ 值。如果股票价格上升， 期权有效期末该组合的价值为:
如果股票价格下降，组合的价值为: 当二者价值相等时:
即
(1)
在这种情况下，该组合是无风险的，收益一定是无风险
利率。公式(1 )说明，当我们在T 时刻的两个节点之间 运动时，Δ是期权价格变化与股票价格变化之比。 如果无风险利率用r 来表示，该组合的现值一定是:
3 两步二叉树图
两步树图的一般结论。初始股票价格为S0，在每个单步二叉
树中，股票价格或上升到初始值的u 倍，或下降到初始值的 d 倍。期权价值的符号表示在树图中(例如，在两次上升运 动后，衍生证券的价值为fuu)。我们假设无风险利率是r，每 个单步二叉树的时间长度是Δt年。现在，时间单步的长度 为Δt 而不是T，式(2) 和式(3 )变成: (5)
为了匹配树图参数表示的预期股票收益，下式应当成立: 即
（11）
股票价格的波动率σ 应该使σΔt等于较短时间长度Δt内股票价
格收益的标准方差。等价的条件是，收益的方差为σ 2Δt （作 为结论接受） 图(a) 中的树图中，股价收益的方差为
为了匹配树图参数表示的股价波动率，下式应当成立: 式(11)代人式(12) ，得
期权估值中的所谓风险中性估值原理是一个重要的一般原
理，而以上的结果只是这个原理的一个例子。这说明我们 可以完全放心地假设:当为期权估值时，世界是风险中性的。 我们得到的价格不仅仅在风险中性世界中是正确的，在其 它世界中也是正确的。
风险中性估值和无套利理论
回顾前例： 股票现价为$20，3 个月末股票价格可能上涨到
因此，现实世界中期权的预期损益为 不幸的是，现实世界中很难确定能适用于该预期收益的准确
贴现率。持有看涨期权头寸比持有相应股票的头寸风险更大， 所以用来贴现看涨期权损益的贴现率应该高于16% 。不知道 期权价值的情况下，我们也不知道这个贴现率应该比16%高多 少。（因为该期权的准确价值为0.633 ，我们可以推导出准 确的贴现率应该是42.58% 。因为0.633 =0.7041e-0.4258*3/12)
看跌期权的价值是$4.1 923 0 利用公式(1) 并从每个单步
二叉树倒推，也可以得到这个结果。下图 表示了所计算的 期权价格。
5 美式期权
美式期权进行估值。方法是从树末端向起点倒推计算，在
每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的美式期权 价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较前的一 些节点，期权的价值是取如下两者之中较大者: 1.由公式(5) 求出的值 2. 提前执行所得的收益
2 风险中性估值
虽然我们不需要对股票价格上升和下 降的概率做任何假设，就
推导出公式(2) 如果将公式(2) 中的变量p 解释为股票价格上升的概率，于是变 量l-p 就是股票价格下降的概率。表达式:
则是期权的预期收益。按照这种对p 的解释，于是公式(2) 可以
表述为:期权现价是其未来预期值按无风险利率贴现的值。 当上升概率假设为p 时，T 时刻预期的股票价格E(ST) 由下式给 出: 即 将式(3)中的p 代人上式，化简得: (4)