中考专题复习·四边形综合专题

谢湘君中考专题复习·四边形综合专题 1、如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E 和点F ．

（1）求证：△AOE ≌△COF ；

（2）当α=30°时，求线段EF 的长度．

解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，

∴AD ∥BC ，AO=OC ，

∴AECF ＝OEOF ＝AOOC ＝1， ∴AE=CF ，OE=OF ，

在△BCD 是菱形，∠ABC=60°，

∴∠OAD=60°，

∴∠AEO=90°，

在Rt △AOB 中，

sin ∠ABO=AOAB=A △AOE 和△COF 中，

AO ＝COOE ＝OFAE ＝CF ∴△AOE ≌△COF ．

（2）当α=30°时，即∠AOE=30°，

∵四边形A12， ∴AO=1，

在Rt △AEO 中，

cos ∠AOE=cos30°=OEAO=32，

∴OE=32，

∴EF=2OE=3．

2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，BD 是Rt △ABC 的一条角一平分线，点O 、E 、F 分别在BD 、BC 、AC 上，且四边形OECF 是正方形，

（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上；

（2）若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长

【试题分析】

（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL ”

（2）利用全等得到线段AM ＝BE ，AM ＝AF ，利用正方形OECF ，得到四边都相等，从而利用OE 与BE 、AF 及AB 的关系求出OE 的长

解：（1）过点O 作ON ⊥AB 于点M

第22题图M F D O C B A

∴OM＝OE＝OF

∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E ∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°

∵

OM OF

AO AO

=

⎧

⎨

=

⎩

∴Rt△AMO≌Rt△AFO ∴∠MA0＝∠FAO ∴点O在∠BAC的平分线上

（2）方法一：

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13 易证：BE＝BM，AM＝AF

又BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE

故：BE＝12－OE，AF＝5－OE

显然：BM＋AM＝AB

即：BE＋AF＝13

12－OE＋5－OE＝13解得OE＝2

方法二

利用面积法：

S△ABC＝1

2

AC BC

⨯

S△ABC＝111

222

BC OE AC OE BA OE ⨯+⨯+⨯

从而解得。

3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，

∴∠C=∠AED=90°，

∴∠DEB=∠C=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC；

（2）由勾股定理得，AB=10．

由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．

∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，

在Rt△BDE中，由勾股定理得，

DE2+BE2=BD2，

即CD2+42=（8﹣CD）2，

解得：CD=3，

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，

即32+62=AD2，

4、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠A CB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．

（1）求证：AC⊥BD；

（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．

考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形．

分析：（1）根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；

（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE 中求得AO 和AE，从而利用OE=AE﹣AO求解即可．

解答：解：（1）∵∠CAB=∠ACB，

∴AB=CB，

∴▱ABCD是菱形．

∴AC⊥BD；

（2）在Rt△AOB 中，cos∠CAB==，AB=14，

∴AO=14×=，

在Rt△ABE中，cos∠EAB==，AB=14，

∴AE=AB=16，

∴OE=AE﹣AO=16﹣=．

点评：本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识，解题的关键是读懂题意，选择合适的边角关系，难度不大．

5、如图8，在R t△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF.

（1）求证：△ABC≌△ABF

（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明.

【解答过程】

（1）证明：∵E F∥AB ∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E

∵AE=AF ∴∠EFA =∠E ∴∠FAB=∠CAB

∵AC=AF，AB=AB ∴△ABC≌△ABF

（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.

理由：∵E F∥AB ∴∠E=∠CAB=60°

∵AE=AF ∴△AEF是等边三角形∴AE=EF，

∵AE=AD ∴EF=AD

∴四边形ADFE是平行四边形

∵AE=EF ∴平行四边形ADFE为菱形.