弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程
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力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 ➢ 微分体切向平衡方程
ddrdrr
r d(rd)rd
rrdr r ddrd2 rdrd2 Krddr0
➢ 用r代替r ，简化以后，除以rddr，再略去微量，得
1 r rr2rrK0
2 x y 2
2 y x2
2 xy xy
2 y z2
2 z y 2
2 yz yz
➢ 当六个应变分量
2 z x2
2 x z2
2
2 x yz
x
2 xz
zx yz x
xz y
xy z
(3-7)
满足以上应变协 调方程(3-7)时，
2 2 y zx
y
弹性与塑性力学基础
第三章
平衡微分方程及应变协调方程
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-1 平衡微分方程的概念
3.1.1 平衡微分方程的概念 3.1.2 平衡微分方程的建立
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 3.2.2 平面应变状态
➢ 通过中心C并平行于z轴的直线为矩轴，力矩平衡方程 MC＝0：
xy xxyd x d y1d 2 xxd y y1d 2x
yx y yxd y d x 1d 2 yyd x x 1d 2 y0
将上式除以dxdy，得到ຫໍສະໝຸດ y1 2xyx
dx
=
yx
1 2
yx
x
dy
2020/10/略13 去微量，(亦即dx、dy都趋于零时)，得出
§3-6 塑性变形时的不可压缩条件
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 ➢ 受力的薄板取出一个微小的正平行六面体 ➢ x和y方向尺寸分别为dx和dy，z方向的尺寸取为一个单位长度.
薄板受力图
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
➢ 由微分体力矩平衡方程，将得出r=r ，又一次证明剪应力互等
性。因此，二维极坐标系下的平衡微分方程为：
r 1r r r 1 r r r
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程
➢ 列出力矩的平衡方程FX=0：
x
x
x
dxdydzxdydz yx
yx
y
dydzdx
yxdzdx zx
zx
z
dzdxdy
zxdxdy Kxdxdydz0
x x
yx y
zx z
Kx
0
y y
解：(1) 将各应变分量代入变形协调方程(3-7) 各方程式均能成立，此应变状态是可能存在的。
(2) 将各应变分量代入变形协调方程(3-7)，由于
2 x
y ，2
2ax
2x2，y 2ay
2 xy 0 xy
2020/10/13
将上述各值代入变形协调方程(3-7)，第1个方程式不能满足，
2x
y2
3.3.1 二维极坐标系下的平衡微分方程适用性 ➢ 求解圆形、柱形、楔形、扇形等形状的物体平面问题的需要
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
➢ 极坐标中平面内任一点P的位置用径向坐标r及环向坐标表示 ➢ 考察薄板或柱形体，取出微分体PACB，设厚度等于1 ➢ 径向正应力r
(沿r方向正应力)
微元受力分析
➢ 应力分量是位置坐标x和y的函数
➢ 2020/10/13 各面上所受的应力可以认为是均匀分布，作用在它的体积的中心
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态
➢ 建立平衡方程采用了弹性体变形以前的尺寸
➢ 不用平衡状态下的、变形以后的尺寸
x
x
yx
y
Kx
0
y
y
xy
x
Ky
0
(3-3)
➢ 两个微分方程中实际上包含着三个未知函数x，y，τxy
➢ 决定应力分量的问题是超静定的，必须考虑形变和位移，才能解 决问题．
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
2x2y
2xy
xy
因此该应变状态是不可能存在的。
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-6 塑性变形时的不可压缩条件
➢ 对于塑性变形，三个线应变分量间必须满足体积不变条件的要求。 设变形前物体内某单元体边长为dx、dy及dz 初始体积为V0=dxdydz。 小变形时剪应变引起的边长变化和体积变化作为高阶微量忽略不计
3.2.2 平面应变状态
➢ 对于平面应变问题，一般还有作用于前后两面的正应力z，
但由于它们自成平衡，完全不影响方程(3-2)及(3-3)的建立，所 以上述方程对于两种平面问题都同样适用。
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
二维情况下用应变分量表示的应变协调方程
➢ 应变分量x、y、xy满足变形协调之后就保证了物体在变形后不
2020/10/13 会出现撕裂、套叠等现象，保证了位移解的单值和连续性。
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 类似地可得 三维问题的 应变协调方程
变形 状态 分析
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.1 变形的协调性
➢ 给出应变分量需要求出位移的需要：积分应变位移方程
u x x
y
v y
z
w z
➢ 平面问题有三个这样的方程
➢ 但只有两个位移分量
➢ 如果没有附加条件一般地说是没有单值解的 ➢ 要求应变分量应当满足一定的变形协调条件
两边除以dxdy，得
x
x
yx
y
Kx
0
同样，由平衡方程 Fy 0 ：可得一个相似的微分方程．
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 ➢ 平面问题应力分量与体力分量之间的关系式 ➢ 平面问题中的平衡微分方程(或纳维叶方程平面问题中简化形式)
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
例题1 试确定以下各应变状态能否存在?
(1) x=k(x2+y2)，y=ky2，xy=2kxy，x=yz=zx (2) x=axy2，y=ax2y，z=axy， xy=0，yz=az3 +by2，zx= ax3 +by2
xy
yx
(3-2)
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态
➢ 列出x轴平衡方程 Fx 0 ：
xxxdxd y1xd y1
yx x yx d d y x 1 yd x x 1K xdx 1 d 0 y
2020/10/13
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力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 二维情况变形协调条件即应变协调方程
将x对y, y对x的二阶导数相加得
2x
y2
2x2y
x3uy2
y3xv2
x2yuyxv2xxyy
即
2x
2y
2x2y
2xy
xy
(3-6)
➢ 环向(切向)正应力 (沿方向正应力)
➢ 剪应力r、r
➢ 径向体力分量Kr ➢ 2020/10/13 环向体力分量K
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力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
➢ PB及AC两面的面积分别等于rd及(r+dr)d
2rrrrK Kr00
(3-4)
➢ 这两个平衡微分方程中包含着三个未知函数r、和r=r
➢ 为了求解问题必须考虑形变和位移
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程
➢ 在物体内任意一点P取微小平行六面体
➢ 应力分量是位置坐标的函数可以认为体力均布分布
zy z
xy x
Ky
0
(3-5)
z xz z 2020/10/13 x
yz y
Kz
0
平行六面体微元受力分析
空间问题平衡微分方程(纳维叶方程)
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.1 变形的协调性 ➢ 连续体假设：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性 ➢ 数学观点：要求位移函数u、v、w在其定义域内为单值连续函数 ➢ 可能结果：变形后出现 “撕裂”、“套叠”现象等 ❖ “撕裂”现象后位移函数就出现了间断 ❖ “套叠”后位移函数就不是单值的破坏了物体整体性和连续 性 ❖ 为保持物体的整体性各应变分量之间必须要有一定的关系
所以变形后单元体的体积为
V1=(1+x)dx(1+y)dy(1+z)dz (1+x +y +z)dxdydz
单元体单位体积变化为
V1V0 V0
x
y
z
由于塑性变形时的体积变化与塑性变形相比可以略不计，所以
体积不变条件
=x +y +z=0
➢ (1) 塑性变形时三个正应变之和等于零
(3-8)
2020/10/13 (2) 三个正应变分量不可能全部同号
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.1 二维极坐标系下的平衡微分方程适用性 3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
2020/10/13
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力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程 §3-5 应变协调方程
3.5.1 变形的协调性 3.5.2 应变协调方程
yz x
xz y
xy z
就能保证得到单 值连续的位移函数
2020/10/13
2 2 z yz
x
yz x
xz y
xy z
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 应变分量只确定物体中各点间的相对位置 ➢ 刚体位移不包含在应变分量之中 ➢ 无应变状态下可以产生任一种刚体移动 ➢ 如能正确地求出物体各点的位移函数u、v、w。根据应变位移 方程求出各应变分量，则应变协调方程即可自然满足。 ➢ 因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理 意义来看，如果位移函数是连续的，变形自然也就可以协调。 因而，在以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足， 而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。
➢ 列出力矩的平衡方程Mab=0：
yz
yz
y
dydxddz2yyzdxddz2y
zy
zy
z
dzdxddy2zzydxddy2z0
除以dxdydz，合并相同的项，得
yz1 2 yyzd yzy1 2 zzyd z0
略去微量，得
yz=zy
平行六面体微元受力分析
2同020/样10/1可3 以得出 zx=xz; xy=yx, 又一次证明了剪应力的互等性。
➢ 微分体径向平衡方程（注意：为微量，sin ,cos 1 ）
22 2
r
r
r
d r(rd)rdrd
d drd2
drd2 r
r
d drrdrKrrd dr0
➢ 用r代替r ，简化以后，除以rddr，再略去微量，得
rr1 r rr 2K r0
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§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 ➢ 微分体切向平衡方程
ddrdrr
r d(rd)rd
rrdr r ddrd2 rdrd2 Krddr0
➢ 用r代替r ，简化以后，除以rddr，再略去微量，得
1 r rr2rrK0
2 x y 2
2 y x2
2 xy xy
2 y z2
2 z y 2
2 yz yz
➢ 当六个应变分量
2 z x2
2 x z2
2
2 x yz
x
2 xz
zx yz x
xz y
xy z
(3-7)
满足以上应变协 调方程(3-7)时，
2 2 y zx
y
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第三章
平衡微分方程及应变协调方程
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§3-1 平衡微分方程的概念
3.1.1 平衡微分方程的概念 3.1.2 平衡微分方程的建立
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 3.2.2 平面应变状态
➢ 通过中心C并平行于z轴的直线为矩轴，力矩平衡方程 MC＝0：
xy xxyd x d y1d 2 xxd y y1d 2x
yx y yxd y d x 1d 2 yyd x x 1d 2 y0
将上式除以dxdy，得到ຫໍສະໝຸດ y1 2xyx
dx
=
yx
1 2
yx
x
dy
2020/10/略13 去微量，(亦即dx、dy都趋于零时)，得出
§3-6 塑性变形时的不可压缩条件
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§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 ➢ 受力的薄板取出一个微小的正平行六面体 ➢ x和y方向尺寸分别为dx和dy，z方向的尺寸取为一个单位长度.
薄板受力图
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§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
➢ 由微分体力矩平衡方程，将得出r=r ，又一次证明剪应力互等
性。因此，二维极坐标系下的平衡微分方程为：
r 1r r r 1 r r r
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§3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程
➢ 列出力矩的平衡方程FX=0：
x
x
x
dxdydzxdydz yx
yx
y
dydzdx
yxdzdx zx
zx
z
dzdxdy
zxdxdy Kxdxdydz0
x x
yx y
zx z
Kx
0
y y
解：(1) 将各应变分量代入变形协调方程(3-7) 各方程式均能成立，此应变状态是可能存在的。
(2) 将各应变分量代入变形协调方程(3-7)，由于
2 x
y ，2
2ax
2x2，y 2ay
2 xy 0 xy
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将上述各值代入变形协调方程(3-7)，第1个方程式不能满足，
2x
y2
3.3.1 二维极坐标系下的平衡微分方程适用性 ➢ 求解圆形、柱形、楔形、扇形等形状的物体平面问题的需要
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
➢ 极坐标中平面内任一点P的位置用径向坐标r及环向坐标表示 ➢ 考察薄板或柱形体，取出微分体PACB，设厚度等于1 ➢ 径向正应力r
(沿r方向正应力)
微元受力分析
➢ 应力分量是位置坐标x和y的函数
➢ 2020/10/13 各面上所受的应力可以认为是均匀分布，作用在它的体积的中心
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§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态
➢ 建立平衡方程采用了弹性体变形以前的尺寸
➢ 不用平衡状态下的、变形以后的尺寸
x
x
yx
y
Kx
0
y
y
xy
x
Ky
0
(3-3)
➢ 两个微分方程中实际上包含着三个未知函数x，y，τxy
➢ 决定应力分量的问题是超静定的，必须考虑形变和位移，才能解 决问题．
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§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
2x2y
2xy
xy
因此该应变状态是不可能存在的。
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§3-6 塑性变形时的不可压缩条件
➢ 对于塑性变形，三个线应变分量间必须满足体积不变条件的要求。 设变形前物体内某单元体边长为dx、dy及dz 初始体积为V0=dxdydz。 小变形时剪应变引起的边长变化和体积变化作为高阶微量忽略不计
3.2.2 平面应变状态
➢ 对于平面应变问题，一般还有作用于前后两面的正应力z，
但由于它们自成平衡，完全不影响方程(3-2)及(3-3)的建立，所 以上述方程对于两种平面问题都同样适用。
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§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
二维情况下用应变分量表示的应变协调方程
➢ 应变分量x、y、xy满足变形协调之后就保证了物体在变形后不
2020/10/13 会出现撕裂、套叠等现象，保证了位移解的单值和连续性。
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§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 类似地可得 三维问题的 应变协调方程
变形 状态 分析
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§3-5 应变协调方程
3.5.1 变形的协调性
➢ 给出应变分量需要求出位移的需要：积分应变位移方程
u x x
y
v y
z
w z
➢ 平面问题有三个这样的方程
➢ 但只有两个位移分量
➢ 如果没有附加条件一般地说是没有单值解的 ➢ 要求应变分量应当满足一定的变形协调条件
两边除以dxdy，得
x
x
yx
y
Kx
0
同样，由平衡方程 Fy 0 ：可得一个相似的微分方程．
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§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 ➢ 平面问题应力分量与体力分量之间的关系式 ➢ 平面问题中的平衡微分方程(或纳维叶方程平面问题中简化形式)
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§3-5 应变协调方程
例题1 试确定以下各应变状态能否存在?
(1) x=k(x2+y2)，y=ky2，xy=2kxy，x=yz=zx (2) x=axy2，y=ax2y，z=axy， xy=0，yz=az3 +by2，zx= ax3 +by2
xy
yx
(3-2)
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§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态
➢ 列出x轴平衡方程 Fx 0 ：
xxxdxd y1xd y1
yx x yx d d y x 1 yd x x 1K xdx 1 d 0 y
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§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 二维情况变形协调条件即应变协调方程
将x对y, y对x的二阶导数相加得
2x
y2
2x2y
x3uy2
y3xv2
x2yuyxv2xxyy
即
2x
2y
2x2y
2xy
xy
(3-6)
➢ 环向(切向)正应力 (沿方向正应力)
➢ 剪应力r、r
➢ 径向体力分量Kr ➢ 2020/10/13 环向体力分量K
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3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
➢ PB及AC两面的面积分别等于rd及(r+dr)d
2rrrrK Kr00
(3-4)
➢ 这两个平衡微分方程中包含着三个未知函数r、和r=r
➢ 为了求解问题必须考虑形变和位移
2020/10/13
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§3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程
➢ 在物体内任意一点P取微小平行六面体
➢ 应力分量是位置坐标的函数可以认为体力均布分布
zy z
xy x
Ky
0
(3-5)
z xz z 2020/10/13 x
yz y
Kz
0
平行六面体微元受力分析
空间问题平衡微分方程(纳维叶方程)
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§3-5 应变协调方程
3.5.1 变形的协调性 ➢ 连续体假设：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性 ➢ 数学观点：要求位移函数u、v、w在其定义域内为单值连续函数 ➢ 可能结果：变形后出现 “撕裂”、“套叠”现象等 ❖ “撕裂”现象后位移函数就出现了间断 ❖ “套叠”后位移函数就不是单值的破坏了物体整体性和连续 性 ❖ 为保持物体的整体性各应变分量之间必须要有一定的关系
所以变形后单元体的体积为
V1=(1+x)dx(1+y)dy(1+z)dz (1+x +y +z)dxdydz
单元体单位体积变化为
V1V0 V0
x
y
z
由于塑性变形时的体积变化与塑性变形相比可以略不计，所以
体积不变条件
=x +y +z=0
➢ (1) 塑性变形时三个正应变之和等于零
(3-8)
2020/10/13 (2) 三个正应变分量不可能全部同号
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.1 二维极坐标系下的平衡微分方程适用性 3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
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§3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程 §3-5 应变协调方程
3.5.1 变形的协调性 3.5.2 应变协调方程
yz x
xz y
xy z
就能保证得到单 值连续的位移函数
2020/10/13
2 2 z yz
x
yz x
xz y
xy z
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§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 应变分量只确定物体中各点间的相对位置 ➢ 刚体位移不包含在应变分量之中 ➢ 无应变状态下可以产生任一种刚体移动 ➢ 如能正确地求出物体各点的位移函数u、v、w。根据应变位移 方程求出各应变分量，则应变协调方程即可自然满足。 ➢ 因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理 意义来看，如果位移函数是连续的，变形自然也就可以协调。 因而，在以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足， 而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。
➢ 列出力矩的平衡方程Mab=0：
yz
yz
y
dydxddz2yyzdxddz2y
zy
zy
z
dzdxddy2zzydxddy2z0
除以dxdydz，合并相同的项，得
yz1 2 yyzd yzy1 2 zzyd z0
略去微量，得
yz=zy
平行六面体微元受力分析
2同020/样10/1可3 以得出 zx=xz; xy=yx, 又一次证明了剪应力的互等性。
➢ 微分体径向平衡方程（注意：为微量，sin ,cos 1 ）
22 2
r
r
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d r(rd)rdrd
d drd2
drd2 r
r
d drrdrKrrd dr0
➢ 用r代替r ，简化以后，除以rddr，再略去微量，得
rr1 r rr 2K r0
2020/10/13
弹性与塑性