第五章 线性系统频率分析法(常用0)

2019年12月28日
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第5章第12页
5.1.2 频率特性
1、基本概念
对系统的频率响应作进一步的分析，稳态输出与输入的幅值比A
与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率ω有关。在 系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与相位差仅是ω的函数， 可以分别表示为A（ω）与（ω）。因此，频率特性可定义为：
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5.1.1 频率响应
频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正 弦输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常 系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与 输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是 输入正弦信号频率的函数。
下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概 念：
因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法 需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简 化求解过程。
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对于上例所举的一阶电路，
其幅频特性和相频特性的表达
式分别为：
1
ui(t)
A（ω）= 1+T 2ω2
（ω）= -arctanTω
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
与正实轴之间的夹角为 (ω)，并
规定逆时针方向为正，即相角超前； 规定顺时针方向为负，即相角滞后。
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= K1 + K2 + ...+ Kn + Kc + K-c
s + p1 s + p2
(s + pn ) (s + jω) (s - jω)
对输出求拉氏反变换可得
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c(t) (K1e p1t K 2e p2t K ne pnt ) (K ce jt K ce jt )
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控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号 作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出 输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标 直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优 点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法 求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困 难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分 析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定 该如何调整系统的结构或参数。
在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即
ui(t)=Uisin t Ui与分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域
法求电路的输出。
输出的拉氏变换为：
Uo(s)=
1 Ts +1
Uiω s2 + ω2
对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：
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lim
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2、频率特性的复数表示方法
对于线性定常系统，当输入一个正弦信号
r（t）=Rsinωt时，则系统的稳态输出必为
Css（t）= A(ω)Rsin（ωt+（ω））
由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为 复数形式，则输入输出之比为
A()Rej ()
式。 (ω)是系统的输出与输入幅值比，为系统的相频特性表
达式。系统的频率特性为
G（jω）= G（s）|s=jω= A(ω)·ej
重要
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第5章第23页
Rsinωt
线性定常系统，传递函数为G（s） A(ω)·R·sin[ωt+ (ω)]
G（jω ）= G（s）|s=jω = A(ω )·ej
G(s) N(s)
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
C(s) =
N(s)

Rω
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
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在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的全 部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出 系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种 简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与 频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元 件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系 统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快 速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也 是经典控制理论的核心内容。
t
uo

t


Uim 1+T 2ω2
sin t
arctan T
Uo
sin(t
)
稳态输出与输入幅值比为：
A
1
1+T 2ω2
输出与输入相位差为：
输入信号为
ui(t)=Uisin t
= -arctanTω
二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数
有关。
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系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应 特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形 式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为 负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此， 系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号。
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设n阶系统的传递函数为
I () A()sin()
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以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
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系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并 且强调频率ω是一个变量。
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R
对于上例所举的一阶电路，
其幅频特性和相频特性的表达 ui(t) 式分别为：
1 A（ω）= 1+T 2ω2
i(t) C u0(t)
RC网络
（ω）= -arctanTω
G(s)=
U 0(s)= 1 Ui(s) Ts+1
第5章 频率特性法
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5.1 频率特性的基本概念 5.2 幅相频率特性及其绘制 5.3 对数频率特性及其绘制 5.4 奈奎斯特稳定判据 5.5 控制系统的相对稳定性 5.6 利用开环频率特性分析系统的性能 5.7 闭环系统频率特性
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线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率
ω在0→∞的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比
与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。
频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，在 频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
A(ω)是幅频特性， 是相频特性
可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数 G（s）将jω代替其中的s而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量s =σ+jω。当σ=0时，s = jω。所以G（jω）就是σ=0时的G（s）。即当传递 函数的复变量s用jω代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率 特性的解析法。
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第5章第13页
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相
频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位
上是超前（＞0º）还是滞后（＜0º）。
④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且 可以拓展应用到某些非线性系统中。
本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对 数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的 相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。
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5.1频率特性的基本概念
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频率特性分析法的特点
频率特性分析法 ，又称为频域分析法，是一种图解 的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不 需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：
①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性 能和稳态性能, 得到定性和定量的结论，可以简单迅速地 判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进 系统的方法。
R i(t)
C u0(t)
RC网络
G( j) 1 jT 1
G(s)=
U 0(s)= 1 Ui(s) Ts+1
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频率特性的物理意义
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
css(t)= A(ω)·R·sin[ωt+ (ω)]
A(ω)= | G（s）| s=jω =| G（jω）|
(ω)=∠G（jω）
输入信号为
r(t)=Rsinωt
A(ω)是系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达
第5章第19页
三、频率特性的实验求取方法
向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号
r（t）=Rsinωt
在0→∞的范围内不断改变ω的取值，并测量与每一个ω 值对应的系统的稳态输出
Css（t）= A(ω)Rsin（ωt+（ω））
测量并记录相应的稳态输出输入幅值比与相角差。 根据所得数据绘制出幅值比与相角差随ω的变化曲线，并
②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特 性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控 制系统的分析与设计。
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③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频 率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性， 建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理 论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。
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示例：
如图所示一阶RC网络，ui(t)与uo(t)分别为输入与输出信 号，其传递函数为
R
G(s)= U 0(s)= 1
ui(t)
Ui(s) Ts+1
i(t) C u0(t)
RC网络
其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。
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据此求出元件或系统的幅频特性A(ω)与相频特性（ω）
的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。
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5.1.3由传递函数求取频率特性 （重要）
实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性为描述 系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统 的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换 类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简 单的转换得到，这种求取方法称为解析法。
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第5章第17页
另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即 G（jω）=R（ω）+jI（ω）
R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函 数理论可知：
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
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第5章第11页
实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定 的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号
r（t）=sint 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必
为
Css（t）=Asin（ωt+），如图所示。
sint
线性定常 系统
Asin（ωt+）
r（t） Css（t）
t

线性系统及频率响应示意图
Re j0

A() e j ()
G( j)
可见，输出输入的复数比恰好表示了系统的频率特性， 其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。
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若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法