第5章交流等效电路分析

相应的，瞬态消失后，变换器电压和电流分别等于相 应的稳态值加上小的交流变量：
i(t) I iˆ(t) Ts
v(t) v vˆ(t) Ts
ig (t) Ts I g iˆg (t)
小信号假设
如果交流变量在幅值上远小于各自的稳态值，
vˆg (t) Vg dˆ(t) D iˆ(t) I vˆ(t) V iˆg (t) I g
电感电压和电容电流：
vL (t)
L
di(t) dt
v g (t)
vg (t)
iC
(t)
C
dv(t) dt
i(t)
v(t) R
+
it
LC R
v(t)
_
小扰动近似原理：用低频平均值代替波形值
vL (t)
L
di(t) dt
vg (t)
Ts
iC (t)
C
dv(t) dt
i(t) Ts
v(t) TS R
5.1.1平均电感波形
t
注意：电感伏秒平衡和电容 电荷平衡时，在稳定平衡点 下：
vL (t) Ts 0 ic (t) Ts 0
电力电子技术基础
第5章交流等效电路分析
非线性平均方程
通常，平均电压,电流是变换器占空比，电压，电流 的非线性函数。
d L
iL (t) Ts dt
vL (t) Ts
d C
vc (t) Ts dt
0
L
L
d
vg t Ts
d
vt Ts
L
dTs
i(Ts )
Ts
t
5.1.3 平均电容器波形
电容电流平均值：
vL t
vg t Ts
iC (t) Ts d (t)
v(t) R
Ts
d (t)
i(t) Ts
vL (t) Ts R
0
dTs
Ts
t
将上式代入电感的特
vt
Ts
性方程，整理可得：
v(t)
d v(t)
v(t)
C
Ts d(t) i(t)
Ts
dtHale Waihona Puke Baidu
Ts
R
ig (t) Ts d (t) i(t) Ts
因为存在时间变量 d(t) 和其他时间变量如 i(t),v(t) 乘 积，所以方程组是非线性的。
构建小信号模型：静态工作点的线性化
假设变换器在稳态或静态时，输入信号为:
d(t) D
vg (t) Ts Vg
d C
v(t) Ts dt
d(t) i(t) Ts
v(t) Ts R
0
dTs
Ts
t
v(dTs )
vt Ts
v(0)
vt
Ts
RC
vt it
Ts
Ts
RC
C
v(Ts )
电容电压和电流波形
5.1.4 输入电流平均值
第3在章我们发现，为了导出一个完 ig t 整的直流等效电路模型，有时有必要 写出变换器输入电流平均值的等式， 同样，交流电路模型也有必要。
低频平均值为：
vL t
vg t Ts
1
xL (t) Ts Ts
tTs x( )d
t
电感电压低频平均值：
vL t Ts
d
vg t Ts
d
vt Ts
0
dTs
Ts
t
vL (t)
1 Ts
t Ts
vL ( )d
t
d (t)
vg (t)
Ts
d(t)
v(t)
Ts
vt Ts
电感电压波形
将该式带入(5.2)式：
dˆ t vˆg t Dvˆg t 当 dˆ t D 时
iˆ(t) I vˆ(t) V iˆg (t) I g
因此，直流分量可忽略，另 外，直流分量在每个等式中都 是相等的。
电感扰动方程
忽略二阶分量，去掉直流分量（等于0）后，等式为：
C dvˆ(t) Diˆ(t) vˆ(t) dˆ(t)I
buck-boost变换器输入电
0
流波形方程：
i(t)
ig
(t)
0
Ts
平均值：
开关位于1位置 开关位于2位置
ig (t) Ts d(t) i(t) Ts
it Ts
ig t Ts
0
dTs
Ts
t
变换器输入电流波形
5.2 扰动和线性化
变换器平均值方程：
d i(t) L dt Ts d (t) vg (t) Ts d (t) v(t) Ts
tTs di
1
t
L
t Ts
vL ( )d
t
方程左边是电感电流的净增量，方程右边可用 vL (t) Ts 来 表示：
1 i(t Ts ) i(t) L Ts vL (t) Ts
因此，电感电流在一个完整开关周期内的净增量等 于开关周期 Ts 乘以平均斜率 vL (t) Ts / L 。
平均电感电压可准确预测 iL(t)的平均斜率
非线性的。
忽略二阶分量
L
dI dt
diˆ(t) dt
DVg DV
直流分量
Dvˆg (t) Dvˆ(t) dˆ(t) Vg V
一阶交流分量
dˆ(t) vˆg(t)vˆ(t)
二阶交流分量
（线性）
（非线性）
假设：
vˆg (t) Vg dˆ(t) D
二阶分量远小于一阶分量， 例如：
•忽略开关纹波的影响 •忽略复杂的开关谐波和边带 方法： •通过平均一个开关周期中的波形来消除谐波。
波形平均消除开关波形
在一个开关周期中求平 均值消除开关谐波：
d L
iL (t) TS dt
vL (t) Ts
d C
vc (t) TS dt
ic (t)
TS
xL (t )
Ts
1 Ts
tTs x( )d
根据第二章的分析，瞬态消退后，电感电流 i(t) ，电 TS
容电压
v(t)
，输入电流
TS
ig (t)
TS
达到相应的稳定值 I ,V ,I g
，
由稳态分析可知：
V
D D Vg
I V DR
I g DI
扰动
假设输入电压和占空比分别等于直流稳态值加上一个 幅值很小的交流变量：
vg (t) Ts Vg vˆg (t) d (t) D dˆ(t)
it i0
0
vg t
vt
L
L
d
vg t Ts d
vt Ts
L
dTs
平均波形
i(Ts )
Ts
t
电感电流在一个完整开关周期内的净增量 等于开关周期 Ts 乘以平均斜率 。 vL (t) Ts / L
d i(t) TS dt
i(t Ts ) i(t)
1 L Ts
vL (t)
Ts
改写为：
L i(t Ts ) i(t) Ts
忽略开关纹波
假设对占空比进行正弦 调制：
d (t) D Dm cos wmt
其中，D 和 Dm是常数 ， Dm D ，调制频率wm
远小于变换器开关频率
ws 2fs
晶体管栅极驱动信号和变换器输出电 压因此产生的变化
(a) 门极 驱动
(b)
实际波形
平均波形
变换器的交流变量
占空比正弦调制时输出电压范围
采用buck变换器的简单DC-DC稳压系统
输入电源
开关变换器
负载
• vg (t) •R 存在不确定因素的分量： •各元件值 • Vg •R
Vg t
晶体管 门极驱动
t
t
脉冲 发生器
vc t
比较器
vc Gc s
vt R
反馈
v Vref 参考电压
dTs Ts t
t 控制器
第二部分目标
变换器控制系统建模，分析，设计的开发 需要变换器动态模型：
此时，非线性方程组可线性化。
电感方程的扰动
将扰动方程组代入电感微分方程中：
L d(I iˆ(t)) dt
D dˆ(t)
Vg
vˆg (t)
D dˆ(t) V
vˆ(t)
注意，占空比d (t ) 可表示为：
d(t) 1 d(t) 1 (D dˆ(t)) D dˆ(t)
D' 1 D
第二部分：电源变换动态特性
5.交流等效电路分析 6.电源变换器传递函数 7.控制器设计
第5章：交流等效电路模型
5.1 交流等效模型 5.2 扰动与线性化 5.3 小信号等效电路模型 5.4 举例—非理想Flyback变换器 5.5 标准电路模型 5.6 脉宽调制器的建模
介绍
目标： 维持v(t) 等于常数 V 存在扰动的分量：
vL (t) Ts
i(t) 的倒数定义为（欧拉公式）： Ts
d i(t) Ts i(t Ts ) i(t)
dt
Ts
因此： L d
i(t) Ts dt
vL (t) Ts
计算电感电流在一个周期里的变化
采用纹波近似线性 化，来计算电感电 流实际波形
i(t)
i dTS
i(0)
vg TS
v TS
L
L
消除 i(dTs )，用i(0) 的函 数式直接表达 i(Ts )：
i(Ts )
i(0)
Ts L
d(t
) vg
(t)
d Ts
(t)
v(t)Ts
vL (t) Ts
省略计算 i(dTs ) 的中间
步骤
it
vg t
vt
平均波形
终值 i(dTs ) 等于初值 i(0) 加上开关周期 Ts 与平
i0
均斜率 vL (t) TS / L的乘积。
0
电感电流中会有一个净增量。
vg t Ts
vL t Ts
d
vg t Ts
d
vt Ts
dTs
Ts
t
vt Ts
vg Ts L
i(dTs )
v Ts L
i(Ts )
dTs
Ts
t
电感电压和电流波形
电感电压平均值可准确预测电感电流净增量
电感方程:
L
di(t) dt
vL (t)
方程两边除以L，并在一个周期内积分：
整理可得：
L
dI dt
diˆ(t dt
)
DVg DV
直流分量
Dvˆg (t) D vˆ(t) dˆ(t) Vg V
一阶交流分量
dˆ(t) vˆg(t) vˆ(t)
二阶交流分量
（线性）
（非线性）
电感扰动方程
L
dI dt
diˆ(t dt
)
DVg DV
直流分量
Dvˆg (t) Dvˆ(t) dˆ(t) Vg V
v(t) 调制频率及其谐波 开关频率和边带
开关谐波
{ { {
m
包含频率的分量：
调制频率及其谐波 开关频率及其谐波 开关频率的边带
s
开关纹波很小时，高频谐波分量
（开关谐波和边带）很小。
如果纹波可被忽略，那仅剩低频
分量（调制频率和谐波）。
交流变换器建模的目的
•预测占空比低频分量如何变化将使变换器电压电流的 低频发生变化
V
实际非线性
举例：在静态工作 点 D 0.5 线性化
平均交流小信号建模结果
小信号等效电路模型
1:D
L vg vdˆ t D :1
*
*
vˆg t
ldˆ t
*
ldˆ t
*
+
uˆ t R
_
buck-boost变换器举例
基本交流建模方法
buck-boost变换器举例
vg (t)
1
2
i(t) C
一阶交流分量
dˆ(t) vˆg(t)vˆ(t)
二阶交流分量
（线性）
（非线性）
直流电流 I 是常数，其微分值为0. 等式右端包含三种分量：
•直流分量：仅含有直流量。
•一阶交流分量：仅含有一个交流变量，通常再乘以一个 常系数，
如直流量，这些都是交流变量的线性函数。
•二阶交流分量：所含交流是交流变量的乘积项，因此二阶分量是
ic (t) Ts
因此，平均方程组构成了一个非线性微分方程系统， 为使其线性化，必须构建一个小信号变换器模型。
BJT小信号模型
非线性Ebers-Moll模型
B iB
F iB R iB
线性的小信号模型， 有源区
C
F iB
B
iB rE
变换器：非线性静态控制-输出特性
0
0.5
1D
0
静态工作点
Vg
线性函数
交流变量 Vg t, R,d t 如何影响输出电压？ 什么是变换器的小信号传递函数？ •将第二、三章变换器稳态模型知识扩展到连续导通模式下 的变换器动态特性（第5章） •构造变换器小信号传递函数（第6章） •设计变换器控制系统（第7章）
5.1 交流等效模型
•用数学方式表示的物理现象 •系统模型主导的现象，忽略其他不重要的因素 •简化的模型能表达出物理实质，帮助工程师以某种特定 方式设计系统 •近似忽略小而复杂的因素 •物理实质获得后，模型进而可以细化去解释之前被忽略 的因素（这些因素值得花费精力去做）
该式描述的是电感电流
d i(t) L dt Ts d(t) vg (t) Ts d (t) v(t) Ts
的低频元件特性如何随 时间变化的关系
5.1.2 平均近似原理的讨论
•一个开关周期里，忽略开关纹波，电 vL t
感电压平均值决定电感电流的净增量 •在稳定状态下，根据伏秒平衡原理， 0 电感电压平均值为0，因此，电感电流 波形具有周期性：i(t Ts) i(t) ，在一个 开关周期里，电感电流没有净增量。 •当系统处于瞬态或交流变化过程时， 通常，电感电压平均值不为0，这时，
L
+
R
V(t)
_
开关位于1位置
电感电压和电容电流：
vL (t)
L
di(t) dt
vg (t)
iC
(t)
C
dv(t) dt
v(t) R
it
L
C
+
v(t) R
_
小扰动近似原理：用低频平均值代替波形值
vL (t)
L
di(t) dt
vg (t)
Ts
iC (t)
C
dv(t) dt
v(t) TS R
开关位于2位置
开关位于 1位置：
开关位于 2位置：
0
dTs
i(dTs ) i(0) (dTs )
终值 初值 作用时间
vg
(t )
Ts
L
平均斜率
i{ (Ts ) i{ (dTs ) ({ dTs )
终值
初值
作用时间
v(t)
1
4
L 2
Ts
43
平均斜率
i TS
Ts
t
电感电流在一个开关周期内的净增量