现代谱估计

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求信号 x(t ) sin(2f1t ) 2 sin(2f 2 t ) w(t ) 的功率谱。其中f1=50Hz，f2=120Hz，w(t)为白噪声，采样频 率Fs=1000Hz。（1）信号长度N=256；（2）信号长度N=1024。
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(2)、经典谱估计的改进
和K后，根据N＝KL确定信号的总点数N
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求信号 x(t ) sin(2f1t ) 2 sin(2f 2 t ) w(t ) 的功率谱。其中f1=50Hz,f2=120Hz,w(t)为白噪声，采样频率 Fs=1000Hz。信号长度N=1024。
clf;Fs=1000; %数据采样点数 %运用信号不重叠分段估计功率谱 N=1024;Nsec=256;n=0:N-1;t=n/Fs; %数据点数，分段间隔，时 间序列 randn('state',0); %设置产生随机数的初始状态 xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t)+randn(1,N); %带噪声的 原始信号 pxx1=abs(fft(xn(1:256),Nsec).^2)/Nsec; %第一段功率谱 pxx2=abs(fft(xn(257:512),Nsec).^2)/Nsec; %第二段功率谱 pxx3=abs(fft(xn(515:768),Nsec).^2)/Nsec; %第三段功率谱 pxx4=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec; %第四段功率谱 Pxx=10*log10((pxx1+pxx2+pxx3+pxx4)/4); %平均得到整个序 列功率谱 f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx); %给出功率谱对应的频率 subplot(2,1,1),plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2)); %绘制功率谱 曲线 xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱 /dB'); title('平均周期图(无重叠) N=4*256'); grid on
因Rx(m)有界，当N时，信号自相关函数的估 计方差趋向于零 结论：信号自相关函数估计是渐近无偏的一致 估计

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考察经典频谱估计的性能
两种经典频谱估计方法所得结果是一致的，有：
ˆ E[S x (e )]
j m ( N 1)

N 1
ˆ E[ Rx (m)]e
jm

N | m | jm Rx (m) 1) e N m ( N

1 、经典频谱估计

经典频谱估计是用有限长信号进行的线性估计 基础是信号的傅里叶变换 有两种算法：相关函数法和周期图法
(1)、经典谱估计的基本算法

相关函数法: 先估计信号的相关函数，再根据维纳－辛
钦定理，由信号相关函数的傅里叶变换得到信号的功率谱 密度函数 周期图法: 从信号幅频特性的平方来得到信号的功率谱密 度函数

K越大，频谱估计的方差越小

当K时，频谱估计的方差趋向于零。因此，此频谱估计
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是渐近无偏的一致估计
平均法 L（点数）和K（分段数）的选取

实际上，L和K要根据信号的先验知识合理地选取，
L大，估计偏差小；K大，估计方差小，谱线平滑

为满足谱估计分辨率要求，要选取足够大的L；同时
为满足频谱估计方差要求，要选取足够大的K。得到L
被动式声纳谱峰的位置可给出鱼雷的方向； 功率谱密度的峰值和波形显示心率、呼吸频率和
高血压对动脉壁的影响；
3
基于WELCH法的脉搏波功率谱密度估计
A点对应呼吸率；
B点对应脉率(
心率)；C、D、 E、F对应的频
率分别是B点频
率的整数倍(2～ 5倍)，因此可以
认为是脉率的谐
波。
4
功率谱估计的生理意义举例
现代谱估计
内容与要求
了解 掌握:
功率谱估计的物理意义和应用
非参数化功率谱估计 平稳ARMA过程 ARMA参数功率谱估计 MATLAB与功率谱估计
2
学习现代谱估计的意义
利用给定的一组样本数据估计一个平稳随机信号
的功率谱密度称为功率谱估计
在许多工程应用中，功率谱的分析与估计是十分
重要的，因为它能给出被分析对象的能量随频率 分布的情况，应用范围广泛，如：

两种方法所得的结果是一致的
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A、相关函数法
基本步骤：先计算长度为N的随机信号x(n)自相 关函数的估计值

ˆ (m) 1 Rx N
N 1|m| n 0
x(n) x(n m)
| m | N 1
再计算信号自相关函数的傅里叶变换，从而得到 信号功率谱密度函数的估计值
ˆ S x (e j )
8
估计方法分类

两大类信号频谱估计方法： 经典频谱估计和现代频谱估计 经典频谱估计属线性估计，成熟于20世纪70年代前， 计算简单，但存在着频率分辨率低和频谱旁瓣泄漏 严重的缺点 现代频谱估计是非线性估计，在20世纪70年代后发 展起来，具有较高的频率分辨率 本章主要介绍这两类方法的基本原理
9



结论：信号自相关函数的估计是有偏的,但是

N
ˆ lim E[ Rx (m)] R(m)

所以该估计又是渐近无偏的
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ˆ Rx (m) 的方差
ˆ ˆ E Rx (m) E ( Rx (m))
2

2

若x(n)是零均值的高斯随机信号，可以推出
1 N 1|m| |m||l | 2 2 |m|)[1 N ][Rx (l ) Rx (l m) Rx (l m)] N l ( N 1
1 2
MATLAB周期图估计

% Create signal. Fs = 1000; t = 0:1/Fs:.3; rand('state',0); x = cos(2*pi*t*200)+randn(size(t)); % A cosine of 200Hz plus noise % Instantiate spectrum object and call its PSD method. h = spectrum.periodogram('rectangular','UserDefined'); hopts = psdopts(h,x); % Default options set(hopts,'Fs',Fs,'SpectrumType','twosided'); psd(h,x,hopts)
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接上页
%运用信号重叠分段估计功率谱 pxx1=abs(fft(xn(1:256),Nsec).^2)/Nsec; %第一段功率谱 pxx2=abs(fft(xn(129:384),Nsec).^2)/Nsec; %第二段功率谱 pxx3=abs(fft(xn(257:512),Nsec).^2)/Nsec; %第三段功率谱 pxx4=abs(fft(xn(385:640),Nsec).^2)/Nsec; %第四段功率谱 pxx5=abs(fft(xn(513:768),Nsec).^2)/Nsec; %第五段功率谱 pxx6=abs(fft(xn(641:896),Nsec).^2)/Nsec; %第六段功率谱 pxx7=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec; %第七段功率 谱 Pxx=10*log10((pxx1+pxx2+pxx3+pxx4+pxx5+pxx6+pxx7)/ 7); %功率谱平均并转化为dB f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx); %频率序列 subplot(2,1,2),plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2)); %绘制功 率谱曲线 xlabel('频率/Hz'); ylabel('功率谱/dB'); title('平均周期图(重叠一半) N=1024');
令1=2=
sin N 2 [1 ( ) ] N sin
2 4 x
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当N时，频谱估计方差2不趋向于零，而趋 向于 x4 ，因此经典频谱估计不是一致估计
经典谱估计的方差

若取1= 2k/N，2=2l/N，k、l是整数，则有：
Baidu Nhomakorabea
sin(k l ) 2 sin(k l ) 2 4 ˆ ˆ Cov[ S x (e j1 ), S x (e j2 )] x N sin(k l ) / N N sin(k l ) / N
计算机自动识别足底压力信号功率谱： 帕金森病患者与对照组的步态分析
6
功率谱估计的作用

频谱是信号在频率域上的重要特征，反映
了信号的频率成分以及分布情况

信号的频谱估计是信号分析的重要手段，
也是信号综合的前提
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第一节 经典功率谱估计
Classical Methods for Power Spectral Estimation
n 0 N 1
再取其绝对值平方，除以N，得到信号功率谱密度 函数的估计值
ˆ (e j ) 1 | X (e j ) |2 S N
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考察信号自相关函数估计的性能

信号自相关函数估计值的均值为：
1 N 1|m| ˆ E[Rx (m)] E[ x(n) x(n m)] N n 0 N | m | Rx (m) | m | N 1 N
其中w(m)的傅里叶变换W(ej)为：
1 W (e ) N
j
sin( N / 2) sin( / 2)
2
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经典频谱估计的性能

结论：谱估计的均值为信号真实频谱和W(ej)
的卷积，因此是有偏的

但当N时，W(ej)趋向于冲激函数，因冲 激函数和任意函数的卷积仍为该函数本身， 因此该估计又是渐近无偏的
1 K ˆ L j ˆ S x (e j ) S i (e ) K i 1
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平均法的性能

概率论知识：对K个相同均值和方差的独立随机变量x1，x2，
，xK线性组合，所得新随机变量的均值不变，方差减小到 原来的1/K

对每段信号功率谱密度函数的估计值作平均，若各段信号互
相独立，则平均法所得的频谱估计均值相当于L点信号的频 谱估计均值，而所得的频谱估计方差却变为L点信号频谱估 计方差的1/K
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经典谱估计的方差

先定义两个函数x和y的协方差
Cov( x, y) E{[ x E( x)][y E( y)]} E( xy) E( x) E( y)
2 x ，则有 若x(n)是零均值的高斯白噪声，方差为
N (1 2 ) 2 N (1 2 ) 2 sin sin 4 2 2 ˆ ˆ Cov[ S x (e j1 ), S x (e j 2 )] x 1 2 1 2 N sin N sin 2 2

m ( N 1)
Rx (m)e jm ˆ
N 1
2N-1点信号自相关函数的离散傅里叶变换，可用 快速傅里叶变换来实现 11
B、周期图法（PERIODOGRAM SPECTRUM）

基本步骤：先计算长度N的信号x(n)的傅里叶变换
X (e j ) x(n)e jn
N 1
令w(m)为三角窗

( N | m |) / N , | m | N 1 w(m) 0, else
m
ˆ E[ S x (e j )]
[ Rx (m) w(m)]e jm


ˆ (e j )] 1 S (e j ) W (e j ) E[ S x x 2
ˆ 当kl时， [S x (e j ), S x (e j )] 等于零 Cov ˆ 即：在估计的频谱上相隔2/N整数点的各点，其估 计值是互不相关的 N越大，2/N越小，各点靠得越近，估计的频谱起伏 程度就越严重 上述方差分析的结论虽然是从零均值的高斯白噪声 中推出的，但是对其他信号情况同样有指导意义 19
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信号长度对频谱估计的影响

因信号谱估计均值是信号真实频谱和W(ej)的卷积，
要在信号频谱中分辨出宽度为B rad/s 的峰，必须 使W(ej)的主瓣宽度小于B
2 j)归一化的主瓣宽度为 2 W(e N
，若信号的采样
fs N 4 B
频率为fs，则有：
4 fs B N

结论：要使频谱分辨率越高，信号点数N应该越大

经典谱估计不是一致估计，当信号长度N变大 时，谱线起伏加剧，而N取小时，频谱估计的 分辨率差

需要研究经典频谱估计的改进方法 主要有两种方法：平均法和平滑法
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A、平均法

基本步骤：将N点信号x(n)分为K段，每段长度为
L=N/K，则第i(1iK)段信号为 xi(n)= x[n+(i-1)L]，0nL-1 先用周期图法求每段信号的功率谱密度函数，再作平均得 到信号的频谱估计