高考数学一轮总复习 10.6几何概型课件
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答案 1－1π2
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16
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
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17
问题探究 问题 1 几何概型计算公式中的“测度”是怎样确定的？ (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系； (2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域： 若变量在线段上移动，则几何度量是长度； 若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体 积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区 域． (3)当题干是空间问题时，则几何测度往往是体积型．
第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布(理) 概率(文)
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1
第六节 几何概型(理) 第三节 几何概型(文)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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2
高考明方向 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2.了解几何概型的意义．
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3
备考知考情
1.经常与线性规划、不等式的求解、方程的根所在的区间等知 识交汇命题，重点考查几何概型概率的求法．
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问题 2 几何概型与古典概型有什么异同点？ 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共 同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的， 一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点 尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性， 这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域 的位置和形状无关．
答案 C
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知识点二
几何概型的概率公式
2.已知 x 是[－4,4]上的一个随机数，则使 x 满足 x2＋x－2＜0
的概率为( )
1
3
A.2
B.8
5 C.8
D．0
解析 x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1，由几何概型的计算公式可知
选 B.
答案 B
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3．已知在长方形 ABCD 中，AB＝4，BC＝1，M 为 AB 的中
过 10 米就能够回到河岸 AB 的概率是( )
1
1
A.3
B.4
1
1
C.5
D.6
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【思维启迪】 求出抛物线的焦点坐标，确定直线 l 的方程， 画出图形，确定被积函数及积分的上、下限，用定积分表示所求 图形的面积，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．
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听课记录
(1)如图，可设
14
解析 因为在∠DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为 “∠DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是∠DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在∠CAB 内，区域 h 为∠CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 ∠∠DCAABB＝3900°°＝13.
π 面积＝12π×12＝2π，所以所求概率为 P＝24＝8π.
答案 C
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13
4．如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，以 A 为 圆心，1 为半径作四分之一个圆弧 DE，在∠DAB 内任作射线 AP， 则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为________．
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高频考点
考点一
与长度、角度有关的几何概型
【例 1】 (1)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在
该圆周上随机取一点 B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为
________．
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(2)如图所示，一游泳者与河岸 AB 成 60°的方向向河里直线游
了 10 米，然后任意选择一个方向继续直线游下去，则他再游不超
答案
1 3
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5．在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率等于________．
解析 因为正方体的体积为 8，而半球的体积为23×13×π＝23π， 那么点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为8－823π＝1－1π2.
2.多以选择题、填空题的形式出现，属容易题.
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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5
知识梳理
知识点一
几何概型的概念
1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模
型，简称几何概型． 2．特点： (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多
点，则在此长方形内随机取一点 P，P 与 M 的距离小于 1 的概率
为( )
π A.4
B．1－4π
π C.8
D．1－π8
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12
解析 以 M 点为圆心，以 1 为半径在长方形 ABCD 中作半圆， 则该半圆内的任一点与 M 点的距离小于 1.因此只要算出该半圆的 面积占总面积的比例即为所求概率．因为总面积＝4×1＝4，半圆
②相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的；
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③几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等；
④在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
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解析 ①正确，由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正 确．②错误，虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次 的频率，所以结果不一定相等．③正确，由几何概型的定义知， 该说法正确．④正确，由几何概型的定义知，该说法正确．
，根据题意只要点 B 在优弧
MAN 上，劣弧 AB 的长度就小于 1，由于点 B 在圆周上的任意性，
故这个概率是优弧 MAN 的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.
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23
(2)在点 C 处任意选择一个方向继续直线游下去，可在 360°区 域内活动，再游不超过 10 米就能够回到河岸 AB，只能在 60°区域 内活动，故所求的概率为 P＝36600°°＝16.故选 D.
个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 相等 .
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知识点二
几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
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对点自测
知识点一
wk.baidu.com
几何概型的概念
1.以下对于几何概型的几个结论正确的是( ) ①随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率；
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研考点 知规律 通法悟道
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问题探究 问题 1 几何概型计算公式中的“测度”是怎样确定的？ (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系； (2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域： 若变量在线段上移动，则几何度量是长度； 若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体 积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区 域． (3)当题干是空间问题时，则几何测度往往是体积型．
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1.经常与线性规划、不等式的求解、方程的根所在的区间等知 识交汇命题，重点考查几何概型概率的求法．
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问题 2 几何概型与古典概型有什么异同点？ 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共 同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的， 一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点 尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性， 这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域 的位置和形状无关．
答案 C
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知识点二
几何概型的概率公式
2.已知 x 是[－4,4]上的一个随机数，则使 x 满足 x2＋x－2＜0
的概率为( )
1
3
A.2
B.8
5 C.8
D．0
解析 x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1，由几何概型的计算公式可知
选 B.
答案 B
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3．已知在长方形 ABCD 中，AB＝4，BC＝1，M 为 AB 的中
过 10 米就能够回到河岸 AB 的概率是( )
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听课记录
(1)如图，可设
14
解析 因为在∠DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为 “∠DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是∠DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在∠CAB 内，区域 h 为∠CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 ∠∠DCAABB＝3900°°＝13.
π 面积＝12π×12＝2π，所以所求概率为 P＝24＝8π.
答案 C
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4．如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，以 A 为 圆心，1 为半径作四分之一个圆弧 DE，在∠DAB 内任作射线 AP， 则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为________．
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高频考点
考点一
与长度、角度有关的几何概型
【例 1】 (1)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在
该圆周上随机取一点 B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为
________．
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(2)如图所示，一游泳者与河岸 AB 成 60°的方向向河里直线游
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5．在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率等于________．
解析 因为正方体的体积为 8，而半球的体积为23×13×π＝23π， 那么点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为8－823π＝1－1π2.
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理教材 夯基础 厚积薄发
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几何概型的概念
1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模
型，简称几何概型． 2．特点： (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多
点，则在此长方形内随机取一点 P，P 与 M 的距离小于 1 的概率
为( )
π A.4
B．1－4π
π C.8
D．1－π8
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解析 以 M 点为圆心，以 1 为半径在长方形 ABCD 中作半圆， 则该半圆内的任一点与 M 点的距离小于 1.因此只要算出该半圆的 面积占总面积的比例即为所求概率．因为总面积＝4×1＝4，半圆
②相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的；
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③几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等；
④在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
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解析 ①正确，由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正 确．②错误，虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次 的频率，所以结果不一定相等．③正确，由几何概型的定义知， 该说法正确．④正确，由几何概型的定义知，该说法正确．
，根据题意只要点 B 在优弧
MAN 上，劣弧 AB 的长度就小于 1，由于点 B 在圆周上的任意性，
故这个概率是优弧 MAN 的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.
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(2)在点 C 处任意选择一个方向继续直线游下去，可在 360°区 域内活动，再游不超过 10 米就能够回到河岸 AB，只能在 60°区域 内活动，故所求的概率为 P＝36600°°＝16.故选 D.
个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 相等 .
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知识点二
几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
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对点自测
知识点一
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几何概型的概念
1.以下对于几何概型的几个结论正确的是( ) ①随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率；