平方差公式的变形

2. 公式法

第1课时平方差公式

【测控导航表】

1.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( C )

(A)x2-xy (B)x2+xy

(C)x2-y2(D)x2+y2

解析:x2-xy=x(x-y),x2+xy=x(x+y),故A,B只能用提公因式法分解因式;x2-y2=(x+y)(x-y),故C能用平方差公式分解因式;D不能分解因式.故选C.

2.下列因式分解错误的是( B )

(A)1-16a2=(1+4a)(1-4a)

(B)x3-x=x(x2-1)

(C)a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)

(D)m2-0.01n2=(0.1n+m)(m-0.1n)

解析:x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),

故选B.

3.(2015台州)把多项式2x2-8分解因式,结果正确的是( C )

(A)2(x2-8) (B)2(x-2)2

(C)2(x+2)(x-2) (D)2x(x-)

4.下列多项式能用平方差公式分解因式的有( C )

(1)a2b2-1;(2)4-0.25m2;

(3)1+a2;(4)-a4+1.

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

解析:a2b2-1=(ab)2-12,

4-0.25m2=22-(0.5m)2,

-a4+1=1-(a2)2都能用平方差公式分解因式,故选C.

5.已知m,n互为相反数,且(m+2)2-(n+2)2=4,则m的值为( A )

(A)(B)-(C)(D)-

解析:因为(m+2)2-(n+2)2=4,

所以(m+2+n+2)(m+2-n-2)=4,

即(m+n+4)(m-n)=4,

又因为m+n=0,

所以m-n=1,

由

解得m=,

故选A.

6.因式分解:a2-4b2= (a+2b)(a-2b) .

解析:a2-4b2=a2-(2b)2=(a+2b)(a-2b).

7.(2015安徽模拟)请观察下列各式:

①22-02=4×1;

②42-22=4×3;

③62-42=4×5;

④82-62=4×7;

……

则第n个式子可以表示为(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1) .

解析:这组式子的特点:等式的左边是从2开始的两个连续偶数的平方差,并且是较大偶数的平方减去较小偶数的平方,右边是4的奇数倍,倍数都是连续的奇数.所以第n个式子为

(2n)2-(2n-2)2=(2n+2n-2)(2n-2n+2)=4(2n-1).

8.把下列各式分解因式:(1)3(a+b)2-12c2;

(2)(5m2+3n2)2-(3m2+5n2)2.

解:(1)3(a+b)2-12c2=3[(a+b)2-4c2]

=3(a+b+2c)(a+b-2c).

(2)(5m2+3n2)2-(3m2+5n2)2

=(5m2+3n2+3m2+5n2)(5m2+3n2-3m2-5n2)

=(8m2+8n2)(2m2-2n2)

=16(m2+n2)(m2-n2)

=16(m2+n2)(m-n)(m+n).

9.把下列各式分解因式:

(1)a2(a-b)+b2(b-a);

(2)3(x+y)2-27(x-y)2.

解:(1)a2(a-b)+b2(b-a)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

=(a-b)(a-b)(a+b)

=(a-b)2(a+b).

(2)3(x+y)2-27(x-y)2

=3[(x+y)2-9(x-y)2]

=3[(x+y)-3(x-y)][(x+y)+3(x-y)] =3(-2x+4y)(4x-2y)

=-12(x-2y)(2x-y).

10.已知x+2y=3,x2-4y2=-15,

(1)求x-2y的值;(2)求x和y的值. 解:(1)因为x2-4y2=-15,

即(x+2y)(x-2y)=-15,

所以x-2y=-5,

(2)联立x+2y=3,x-2y=-5,

即

解得

11.(实际应用题)将一条40 cm长的金色彩边剪成两段,恰好可用来镶嵌两张大小不同的正方形壁画的边(不计接头处),已知两张壁画的面积相差40 cm2,问这条彩色边应剪成多长的两段?

解:设大正方形壁画的边长为x cm,较小正方形壁画的边长为y cm. 由题意得

整理得

把②代入①得x-y=4,③

由②+③得x=7.

由②-③得y=3.

所以两段彩色边的长分别为4×7=28 cm,4×3=12 cm.

12.如图所示,某农场修建一座小型水库需要一种空心混凝土(一种由水泥、黄沙、碎石等原料混合而成的建筑材料)管道,它的规格是:内径d=45 cm,外径D=75 cm,长l=300 cm.利用因式分解计算说明浇铸一节这样的管道需要多少立方米的混凝土(π取 3.14,精确到

0.01 m3)

解:由圆柱的体积公式,

得π×()2×300-π×()2×300

=300π×[()2-()2]

=300π×(+)×(-)

=300π×60×15

≈847 800(cm3)

≈0.85(m3).

答:浇铸一节这样的管道大约需要0.85 m3的混凝土.