镜像法ppt

力来源于导体板上的感应电荷。可以先
求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。
由镜像法，感应电荷的电场可以
用像电荷q‘＝－q 替代。当电荷q 移至 x
0
x q d
时，像电荷q'应位于－x，则有
=∞ -d
q'
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电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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3.8.3 导体球面的镜像 1. 点电荷对接地导体球面的镜像
有效区域
h
l
R
R
电位函数
当z=0时， 满足原问题的边界条件，所得的解正确。
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3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。
对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
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电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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2. 镜像法的原理
方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电 荷的作用 目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题
3. 镜像法的理论基础 —— 解的惟一性定理
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1
d1 q 60° d2 2
1 d1 q
75°
d2 2
可得出什么结论？
1
q
d1
120° d2 2
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如果两导体平面不是相互垂直、而是相交成一定角
度，只要
(n为整数)，就可以用镜像法求解，
镜像电荷数为(2n-1)。
当夹角为60°的两个半无限大接地导体平板之间有一个点电 荷q时，镜像电荷的位置示意图
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3.8.1 镜像法的基本原理 1. 问题的提出
当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出 现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。
几个实例 接地导体板附近有 一个点电荷，如图所 示。
非均匀感应面电荷
q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求 解，可以用等效电荷的电位替代
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4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” ；
等效求解的“有效场域”。
5. 确定镜像电荷的两条原则 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；
像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。
显然，q1 对平面 2 以及q2 对平 面 1 均不能满足边界条件。
只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。
电位函数
q1
d1
d2 R1
d2 R3 q3 d1
1
d1
R
R2 d1
q d2
2
d2 q2
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电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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3.8 镜像法
3.8.1 镜像法的基本原理 3.8.2 接地导体平面的镜像 3.8.3 导体球面的镜像 3.8.4 导体圆柱面的镜像 3.8.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.8.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像
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上半空间( z≥0 ）的电位函数
导体平面上的感应电荷密度为 导体平面上的总感应电荷为
q
h
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导体平面上总感应电荷 等于镜像电荷！
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2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
原问题 镜像线电荷：
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令r＝a，由球面上电位为零，
即 ＝0，得
P
a
R
a
R'
q
q'
此式应在整个球面上都成立。
d' d
条件：若
像电荷的位置
像电荷的电量
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镜像电荷小于原电荷！
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球外的电位函数为
球面上的感应电荷面密度为
导体球面上的总感应电荷为
可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。
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接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q′
q
非均匀感应电荷
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。
结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。
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3.5.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
原问题
计算机模拟的接地导体板附近
z
有一个点电荷时的电场分布图
q
h
x
=∞
由图可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直 导体板，等位线平行导体板。这是点电荷与导体板上的感应 电荷共同作用的结果。
如图所示，点电荷q 位于半径
P
ห้องสมุดไป่ตู้
r
R
a
q
为a 的接地导体球外，距球心为d 。 d
球面上的感应电荷可用镜像电荷
q'来等效。q'应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d'。则有
P
r
R
a
R' q
q'
问题：
d' d
方法：利用导体球面上电位为零确定 和q′。
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由图可知，点电荷q共有5 个像电荷
q
6个电荷两两成对地分别构
成两个平面（包括平面的延伸
部分）的镜像关系，缺一不可
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例3.8.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移
至无穷远处，需要做多少功？
解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场
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显然可将感应电荷的作用用位于－h的像电荷q′＝－q替代。
z
z
P
q
有效区域 q R
h
x
h O
R′ x
=∞
-h
q′ 考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z<0区域，原方 程不变，且有
结论：有效域方程不变且满足边界条件，所得解是原问题的解。