中考数学压轴题的命题研究和反思

中考数学压轴题的命题研究与反思

一.中考数学压轴题的功能与定位

目前福建省中考数学试卷都是毕业、升学两考合一试卷，兼顾学生的基础性和发展性，考试具有评价、选拨功能。压轴题的目标是选拔功能,意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力,同时也为初中教学指明方向。压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；压轴题突出了对数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理等主要数学思想方法的考查。因此压轴题是区分度和综合性的集中体现,也渗透了命题者对中考方向的理解。

二.中考数学压轴题的内容与形式

研究近几年全国中考数学压轴题考查的内容,大都可分成以下两类:

1.以几何为载体考查函数或几何.

2.以函数为载体考查函数或几何

其中函数的载体有一次函数、二次函数、反比例函数，其中以二次函数为重点。函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标、和解直角三角形（三角函数）等。

几何的载体有三角形、四边形、圆等，其中以三角形、四边形为重点。几何考查的内容有图形形状的判定、图形的大小（线段的长度、图形的面积的大小或最值等）计算、图形的关系（相似或全等）判定、图形的运动等。图形就运动对象而言有点动（点在线段或线上运动），线动（直线或线段的平移、旋转）和面动（部分图形的平移、旋转、翻折）等。

几何中考查代数，代数中考查几何，代数与几何融为一体，是数形结合的完美体现，试题具有较强的综合性、灵活性、和开放性。

三．中考数学压轴题的评析与反思

现以笔者所参加的莆田市近几年的中考和质检命题为范例作说明

1．以几何为载体考查几何

例1．（2008年莆田市初三质检第25题）

（1）探究：如图1，E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45，请猜测并写出线段DF 、BE 、DF 之间的等量关系（不必证明）.

（2）变式：如图2，E 、F 分别在四边形ABCD 的边BC 、CD 上，∠B ＋∠D ＝180，

AB ＝AD ，∠EAF ＝12

∠BAD ，则线段BE 、EF 、FD 的等量关系又如何？请加以证明. （3）应用：在条件（2）中，若∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD （如图3），

求此时△CEF 的周长. 1 试题通过先研究简单图形---正方形的线段的等量关系和证明

规律，从而解决了一般图形---四边形的类似问题，最后又在一个隐蔽的背景中考查规律的应用。需要学生掌握通过观察、实验、归纳、类比等获得的数学猜想正确与否的原理、策略与方法，以及结合演绎推理与合情推理发展推理能力。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，解题过程体现了从特殊到一般的数学思想，这有助于学生加深对问题的理解，提高综合解题能力，形成创新意识，体现课改理念，对教学具有积极的导向作用．

[命题反思]几何考查体现出降低严格逻辑证明的要求，不是简单化地降低几何题目的难度，而是按照课程标准的要求，注重探究、重视重要的数学思想方法考查，从加强与代数内容的联系角度合理设计几何题目的难度；加强对实验操作、读图作图、合情推理等能力的要求，强化图形变换的应用，侧重考查数学思想方法以及运用几何知识解决实际问题能力等特点．命题中对几何基本图形进行改编常用的策略有：原题条件的弱化或强化、结论的延伸与拓展、条件与结论的互换；或对图形进行平移、翻折、旋转等操作，使之形成一系列的变式与拓展问题。

2．以几何为载体考查函数

例2．（2008年莆田市中考25题）

阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=900,

点P 在BC 边上，当∠APD=900时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到 CD AB PC BP ⋅=⋅.解答下列问题：

A B C D F

图 3

图 2F

E D C B A G

F E D C B A

（1） 模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，

求证：CD AB PC BP ⋅=⋅；

（2） 拓展应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600，

AO ⊥BC 于点O ，以O 为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段 OC 上一动点（不与端点O 、C 重合）．

① 当∠APD=600时，求点P 的坐标；

② 过点P 作PE ⊥PD ，交y 轴于点E ，设OP=x ，OE=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变

量x 的取值范围．

[试题评析]本题通过“阅读理解—模型探究—拓展应用”实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图再从“一般”（问题（2学生经历了“特殊—一般—特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.

试题在第一环节中提供了 “易证, △ABP ∽△PCD ”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.（以上是2008年福建省中考数学评价组的评析）

[命题反思]本题为代数几何综合题，体现新课改数学是一个整体不可分割

的理念，而且突出模型的探究，抽象,概括与应用，体现了研究一个问题时比较全面的过程：第一，对问题情景分析的基础上先形成猜想；第二，对猜想进行验证（或证明成立，或予以否定），第三，在经过证明肯定了猜想之后，再做进一步的推广．因此，本题的意义就不只在于考查了相应的知识，更在于考查了活动过程，从而也进一步加强了学生对数学活动过程中的方法与策略的认识及运用．这样的考题有着较好的可推广性，它在很大程度上可以检验学生的学习过程和方式，具有很好的教育性。此题本身含有更多的“创造成份”，形式又新颖，尝试了数学学习的过程性考查，体现了新课改理念。题目对学生在高中的数学学习有良好的预测效度，作为高中招生考试题，是非常适宜的

例3．（2009年莆田市质检24题）

（1）如图1，△ABC 的周长为l ，面积为s ，其内切圆的圆心为O ，半径为r ，求证：l

s r 2=； （第25 题图）图 2图 1P D C B A P D C B A