中考数学压轴题的命题研究和反思

中考数学压轴题的命题研究与反思
一.中考数学压轴题的功能与定位
目前福建省中考数学试卷都是毕业、升学两考合一试卷，兼顾学生的基础性和发展性，考试具有评价、选拨功能。

压轴题的目标是选拔功能,意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力,同时也为初中教学指明方向。

压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。

压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；压轴题突出了对数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理等主要数学思想方法的考查。

因此压轴题是区分度和综合性的集中体现,也渗透了命题者对中考方向的理解。

二.中考数学压轴题的内容与形式
研究近几年全国中考数学压轴题考查的内容,大都可分成以下两类:
1.以几何为载体考查函数或几何.
2.以函数为载体考查函数或几何
其中函数的载体有一次函数、二次函数、反比例函数，其中以二次函数为重点。

函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。

代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标、和解直角三角形（三角函数）等。

几何的载体有三角形、四边形、圆等，其中以三角形、四边形为重点。

几何考查的内容有图形形状的判定、图形的大小（线段的长度、图形的面积的大小或最值等）计算、图形的关系（相似或全等）判定、图形的运动等。

图形就运动对象而言有点动（点在线段或线上运动），线动（直线或线段的平移、旋转）和面动（部分图形的平移、旋转、翻折）等。

几何中考查代数，代数中考查几何，代数与几何融为一体，是数形结合的完美体现，试题具有较强的综合性、灵活性、和开放性。

三．中考数学压轴题的评析与反思
现以笔者所参加的莆田市近几年的中考和质检命题为范例作说明
1．以几何为载体考查几何
例1．（2008年莆田市初三质检第25题）
（1）探究：如图1，E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45，请猜测并写出线段DF 、BE 、DF 之间的等量关系（不必证明）.
（2）变式：如图2，E 、F 分别在四边形ABCD 的边BC 、CD 上，∠B ＋∠D ＝180，
AB ＝AD ，∠EAF ＝12
∠BAD ，则线段BE 、EF 、FD 的等量关系又如何？请加以证明. （3）应用：在条件（2）中，若∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD （如图3），
求此时△CEF 的周长. 1 试题通过先研究简单图形---正方形的线段的等量关系和证明
规律，从而解决了一般图形---四边形的类似问题，最后又在一个隐蔽的背景中考查规律的应用。

需要学生掌握通过观察、实验、归纳、类比等获得的数学猜想正确与否的原理、策略与方法，以及结合演绎推理与合情推理发展推理能力。

本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，解题过程体现了从特殊到一般的数学思想，这有助于学生加深对问题的理解，提高综合解题能力，形成创新意识，体现课改理念，对教学具有积极的导向作用．
[命题反思]几何考查体现出降低严格逻辑证明的要求，不是简单化地降低几何题目的难度，而是按照课程标准的要求，注重探究、重视重要的数学思想方法考查，从加强与代数内容的联系角度合理设计几何题目的难度；加强对实验操作、读图作图、合情推理等能力的要求，强化图形变换的应用，侧重考查数学思想方法以及运用几何知识解决实际问题能力等特点．命题中对几何基本图形进行改编常用的策略有：原题条件的弱化或强化、结论的延伸与拓展、条件与结论的互换；或对图形进行平移、翻折、旋转等操作，使之形成一系列的变式与拓展问题。

2．以几何为载体考查函数
例2．（2008年莆田市中考25题）
阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=900,
点P 在BC 边上，当∠APD=900时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到 CD AB PC BP ⋅=⋅.解答下列问题：
A B C D F
图 3
图 2F
E D C B A G
F E D C B A
（1） 模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，
求证：CD AB PC BP ⋅=⋅；
（2） 拓展应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600，
AO ⊥BC 于点O ，以O 为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段 OC 上一动点（不与端点O 、C 重合）．
① 当∠APD=600时，求点P 的坐标；
② 过点P 作PE ⊥PD ，交y 轴于点E ，设OP=x ，OE=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变
量x 的取值范围．
[试题评析]本题通过“阅读理解—模型探究—拓展应用”实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图再从“一般”（问题（2学生经历了“特殊—一般—特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.
试题在第一环节中提供了 “易证, △ABP ∽△PCD ”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.（以上是2008年福建省中考数学评价组的评析）
[命题反思]本题为代数几何综合题，体现新课改数学是一个整体不可分割
的理念，而且突出模型的探究，抽象,概括与应用，体现了研究一个问题时比较全面的过程：第一，对问题情景分析的基础上先形成猜想；第二，对猜想进行验证（或证明成立，或予以否定），第三，在经过证明肯定了猜想之后，再做进一步的推广．因此，本题的意义就不只在于考查了相应的知识，更在于考查了活动过程，从而也进一步加强了学生对数学活动过程中的方法与策略的认识及运用．这样的考题有着较好的可推广性，它在很大程度上可以检验学生的学习过程和方式，具有很好的教育性。

此题本身含有更多的“创造成份”，形式又新颖，尝试了数学学习的过程性考查，体现了新课改理念。

题目对学生在高中的数学学习有良好的预测效度，作为高中招生考试题，是非常适宜的
例3．（2009年莆田市质检24题）
（1）如图1，△ABC 的周长为l ，面积为s ，其内切圆的圆心为O ，半径为r ，求证：l
s r 2=； （第25 题图）图 2图 1P D C B A P D C B A
（2）如图2，在△ABC 中，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （-3，0）、B(3，0)、C （0，4）．若△
ABC 的内心为D ，求点D 的坐标；
（3）若与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆叫旁心圆，圆心叫旁心．请求出（2）中的
△ABC 位于第一象限的旁心的坐标。

[试题评析]三角形的内心为三角形角平分线的交点,由三角形其内切圆组成的图形是初中几何的基本图形之一.学过三角形的内切圆后,几何每个学生都做过如下的题目:设⊿ABC 的三边分别为a,b,c, 内切圆半径为r,求证:s ＝1／2（a+b+c ）r.此题正是在上述图形和结论的基础上进行了拓展与延伸:首先第⑴小题的变换结论为: l
s r 2 ；,考查了学生的基础知识;接着第（2）小题将第⑴小题的基本图形置于平面直角坐标系中,进行了恰当的拓展,考查学生知识迁移的能力和灵活应用知识的能力;最后第（3）小题又在第（2）小题的基础上进一步延伸,知识的应用也由形内扩展到了形外,而解决问题的方法也呈现出多样性和灵活性,较好地考查了学生的数学思维能力和综合应用知识分析、解决问题的能力。

整个试题的设计以三角形的内切圆为背景，由简单到复杂，由单一到综合，层次分明，梯度合理，拓展适度，延伸自然，符合学生的认知规律，具有较好的效度和区分度。

（以上引自《中国数学教育》2009年第10期中考试题研究张卫东老师的评析）
[命题反思]本题要求学生应用新定义探索解决问题，需要学生阅读题目给出的相对于学生来说是新知识的材料，并在理解的基础上加以运用，以解决新问题．考查了学生自己阅读材料获取新知识，学习理解新知识和应用新知识的能力，考查层次丰富，不同水平的学生可以充分展示自己不同的探究深度，较好地考查了学生综合运用数学知识、思想方法去探索规律、获取新知的能力。

试题在知识迁移的同时方法也可以迁移，而且是一题多解，从而让学生经历学习、探索、问题解决的整个过程。

这里将考试过程与学习过程结合起来，体现了一种较好的理念。

借助问题解决的过程实现对所直接考查知识和技能的再抽象到一般意义下该能力和思想方法的考查，考题显现出新的问题模式策略，对于改进、提高中考的科学有效性、引导课堂教学改革具有积极的作用。

3．以函数为背景考查函数或几何
例1． （2008年莆田市中考26题）
如图，抛物线c 1: y=322--x x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点
C ．点P 为线段BC 上一点，过点P 作 直线l ⊥x 轴于点F ，交抛物线c 1于点E ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）当点P 在线段BC 上运动时，求线段PE 长的最大值；
（3）当PE 取最大值时，把抛物线c 1向右．．
平移得到抛物线c 2，抛物线c 2与线段BE 交于点M ，若直线CM 把△BCE 的面积分为1:2两部分，则抛物线c 1 应向右平移几个单位长度可得到抛物线c 2？
例1图 例2图
例2． （2009年莆田市初三质检第25题. ）
如图，抛物线)0(32
>++=a c ax ax y 与y 轴交于C 点， 与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点的左侧，点B 的坐标为（1，0）,OC=3?OB ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；
（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的
平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

[试题评析]以上两例都是以二次函数为载体展开，突出了利用函数思想进
行科学探究之过程的考查．强调了代数与几何的有机联系，既关注了知识间的纵向联系，在知识块层面和知识链层面上合理设计试题，又关注了知识间的横向联系，加强核心观念和数学思想方法的考查，很好的考查了学生的随机应变能力和审题能力，体现了对学生的发展性要求
两个题目第⑴小题分别通过由解析式求点坐标，由点的坐标求解析式,尝试
了从不同角度考查学生采集“数”与“形”信息，属于基础性的考查。

第（2）小题点的运动使图形的形状发生了改变，其线段长度或图形面积也
就与点的运动时间形成了函数的对应关系．试题通过特殊位置来区分函数的不同变化趋势，综合运用数学知识来解决问题，突出考查了函数思想在动态几何中的
运用，涵盖了方程和函数等知识，确保了试题具有较好的效度和可推广性。

例1中问题（3）表面是抛物线平移，本质是线段分割图形的几何问题，例2中问题（3）也是几何图形的形状问题，由于图形的不确定性都需要讨论。

第（3）小题设计成条件探究题，有利于学生猜想、分析、比较、归纳和推理，又能考查数形结合、分类讨论、方程与函数、转化等思想和方法，以此考查并进而增强学生的探索能力、发现能力和创新能力。

试题开放的形式，探究的过程，都给学生以较大的发挥空间，有利于学生展示在数学中所取得的成就．
[命题反思] 函数是初中数学的核心内容，也是重要的基础知识和重要的数学思想．它是其它所有与数量关系相关问题的思想基础和知识基础，诸如众多的方程问题，不等式问题，几何图形中的几何量的关系问题，特别是与运动相关的几何图形问题，或隐或显地都以函数作为指引，作为依据，作为基础。

函数的自身结构特点和它在数学中的地位决定了：函数不仅与数学其它知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用．因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容．其呈现方式灵活多变，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用．二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要内容。

以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的。

但受所学知识限制，命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 在实际问题或综合问题中，一般首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题,突出考查了函数思想在动态几何中的运用.试题在考查学生思维的灵活性、广阔性方面具有较高的效度。

随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．这类考题与通常的“知识型”题目所反映出的考法的不同之处在于：第一，考查目标和方向的立意不同，其立意或着眼于“猜想”能力的重要价值，或着眼于“数学活动过程”中的知识内涵，特别是思想方法内涵；第二，其载体的选取不同，突出地要求载体既要对学生具有现实性，更要对学生具有新颖性和适度的挑战性，而且要基于核心的知识内容；第三，其呈现方式不同，既要考虑“猜想”得以形成的足够条件，“活动”得以展开的必要导示，又要给学生留有尽可能大的思考空间或活动空间，以更多地发挥学生的自主性和独到见解。

为了实现这一理念，中考压轴题中出现了很多通过让学生经历某种形式的数学活动，在活动过程中发现问题、提出问题，进而解决问题的题目。

这些题目更多地是借助于归纳和类比，即通过创设恰当的情景，导示学生借助于归纳或类比形成猜想，发现与获得新知识．试题较好地考查了学生通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并借助某种方式证明猜想合理
性的数学能力，取得了较好的效果，对于促进课程改革具有积极的推动作用。

试卷应继续加强对问题形成过程的考查，这样做有助于引导课标所倡导的教学方式，加强探索性问题考查有利于引导教学实践中让学生有更多的自主探究的机会，完善教学方式。

因此培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力提高的有效方式和途径．
本文发表在《福建中学数学》2010年第10期。