量子信息与计算的量子体系,量子态表示,密度矩阵, 混合态,量子不可克隆定理, Schmidt分解,量子测量等

对于量子态，结果m发生的几率为
测量后的系统处于
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广义测量
其中测量算符满足完备性条件
可见
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例子
我们有投影算子 M 0 = 0 0 和 满足 从而 同理 测量之后量子态处于
M1 = 1 1
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广义测量是可实现的
任意广义的量子测量均可以通过纠缠该系统与一个辅助系统， 应用一个幺正变换并实施投影测量来实现
特性
a01 a02 a11 a12 = a + a + a 00 11 22 a21 a22
Tr [AB ] = Tr [BA]
Tr [xA + yB] = xTr [A] + yTr [B ]
Tr[ ABC ] = Tr[CAB] Tr [A] = ∑ φi A φi
i
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1 0 1 | 0 〉〈 0 | = 0 0 = 2 (I + σ 3 ) 0 0 1 | 1 〉〈 1 | = 0 1 = 2 (I − σ 3 )
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也即
1 0 − i 1 0 σ2 = σ3 = i 0 0 − 1 , , 0
量子信息物理学 PH35202 量子信息导论 00220201
中国科学技术大学 微尺度国家实验室/近代物理系
陈凯 2013.10
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第一章 量子体系
量子态表示，密度矩阵， 混合态，量子不可克隆定理， Schmidt分解，量子测量等
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Schmidt decomposition
〈 00 | | 00 〉 ρ 00,00 | 01〉 ρ 01,00 ρ= ρ | 10 〉 10,00 | 11〉 ρ11,00
两比特密度矩阵 ρ ∈ HA ⊗ HB 〈 01 | 〈 10 | 〈 11 |
ρ 00,01 ρ 01,01 ρ10,01 ρ11,01 ρ 00,10 ρ 01,10 ρ10,10 ρ11,10 ρ 00,11 ρ 01,11 ρ10,11 ρ11,11
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密度矩阵性质
因此 纯态
Trρ
2
=
∑
i
p 混合程度，最小值？
2 i
混合态
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密度矩阵性质
所有N维Hilbert空间H中的密度矩阵构成一个凸集
ρ (λ ) = λρ1 + (1 − λ ) ρ 2
一般地
仍然为一个密度矩阵
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密度矩阵演化
作用一个幺正变换U在初态 ψ
α +β Φ = 2 0 +1 2 α −β + 2 0 −1 2
2
因此我们有测得
0 +1 2
的几率为
α +β 2
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Von Neumann测量
实际上
0 + 1 α +β Φ = 2 2 0 + 1 α* + β* = Φ 2 2 0 +1 0 + 1 Φ Φ 2 2 0 + 1 = Tr 2
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The geometric picture
1 2 1 Two non-orthogonal vectors Θ
Θ 90o
From Steinberg
The same vectors rotated so their projections onto x-y are orthogonal (The z-axis is “inconclusive”)
，我们有
Uψ
密度矩阵变为
U ψ (U ψ
)
†
=U ψ ψ U
†
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密度矩阵演化
作用一个幺正变换U在一个系综上 {qk , ψ k 们有 {qk ,U ψ k } 密度矩阵变为
t q U ψ ψ U ∑ k k k k
}
，我
† = U ∑ qk ψ k ψ k U k = UρU
沿基矢 几率幅 几率 量子测量
{β i }in=1
ai = β i | φ
| ai |2
进行测量
如对于任意叠加态
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Von Neumann测量
Von Neumann测量是投影测量的一种类型。给定 一组正交基 { ψ k } ，如果我们对于量子态 Φ = α k ψ k { ψ k } 实施沿基矢 ψ k 的 Von Neumann测量，则有
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0 + 1 2
α +β Φ Φ = 2
2
投影测量(Projective measurements)
可观测量M存在一个谱分解 满足
获得结果m的几率为 系统的量子态变为
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投影测量(Projective measurements)
i
* α ∑ j jA j
jB
我们得到
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Trace操作
一个例子
我们得到
量子态纯化Purification
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Trace操作 作用在矩阵上
a00 a 10 a20 a30 a01 a11 a21 a31 a02 a12 a22 a32 a03 a00 Tr a13 Tr2 a10 → a20 a23 Tr a33 a30 a01 a02 Tr a11 a12 a21 a22 Tr a31 a32 a02 + a13 a22 + a33 a03 a13 a23 a33
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参考QCQI §2.5, M.A. Nielsen and I.L. Chuang
密度矩阵矩阵元的表示
0 1 0 I = σ0 = ,σ 1 = 0 1 1
I =| 0〉〈 0 | + | 1〉〈1 | σ 3 =| 0〉〈 0 | − | 1〉〈1 |
1 | 0〉〈 1 |= (σ 1 + iσ 2 ) 2 1 | 1〉〈 0 |= (σ 1 − iσ 2 ) 2
用到
1 | 0 〉〈 0 | = (I + σ 3 ) 2 1 | 1 〉〈 1 | = (I − σ 3 ) 2
v v ( A) (B ) ( A) v (B ) v 3 1 ( A) ( B) ( A) ( B) ρ= I ⊗ I + a ⋅ σ ⊗ I + I ⊗ σ ⋅ b + ∑ rm ,nσ m ⊗ σ n 4 m , n =1
a00 + a11 = a20 + a31
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约化密度矩阵 －练习
| Φ 〉 AB = ∑ aij | ij 〉 AB
ij
Aij = aij ρA = ? ρB = ?
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量子测量
| φ = ∑ ai | β i , ∑ | ai |2 = 1
i =1 i =1 n n
Tr UAU t = Tr [A]
[
]
正交基展开
φi
Trace操作
Tr( ψ ϕ ) = ϕ ψ
*
可分离态情形
ρA ⊗ ρB =
∑
ij
( pi i A i A ) ⊗ ( q i j B
jB )
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Trace操作
纠缠态情形
ρ AB = ψ AB ψ AB
=
∑ α i i A iB
可观测量M存在一个谱分解
0 σ1 = 1 1 0 − i 1 0 σ2 = σ3 = i 0 0 − 1 , 0 ,
σ 1 =| 0〉〈1 | + | 1〉〈 0 | σ 2 = −i | 0〉〈1 | +i | 1〉〈 0 |
量子系统A，测量算符Mm, 辅助系统B 定义 可见 实施投影测量 从而有输出m的几率为
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广义测量是可实现的
任意广义的量子测量均可以通过纠缠该系统与一个辅助系统， 应用一个幺正变换并实施投影测量来实现
量子系统A，测量算符Mm, 辅助系统B 测量之后的联合量子态处于
要测量的系统处于
vs.
H-polarized photon
45o-polarized photon
From Steinberg The view from the laboratory: Use generalized (POVM) quantum measurements. A measurement of a two-state system can only [see,yield e.g., Y. Sun, J. Bergou, and M. Hillery, Phys. two possible results. Rev. A 66, 032315 (2002).] If the measurement isn't guaranteed to succeed, there are three possible results: (1), (2), and ("I don't know"). Therefore, to discriminate between two non-orth. states, we need to use an expanded (3D or more) system. To distinguish 3 states, we need 4D or more.
σ 1 =| 0〉〈1 | + | 1〉〈 0 | σ 2 = −i | 0〉〈1 | +i | 1〉〈 0 |
0 1 1 | 0〉〈 1 | = 0 0 = 2 (σ 1 + iσ 2 ) 0 0 1 | 1〉〈 0 | = 1 0 = 2 (σ 1 − iσ 2 )
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POVM测量
－－Positive Operator-Valued Measure
量子系统A，测量算符Mm,
对于量子态，结果m发生的几率为
定义 我们有
可见集合Em本身就可以决定所有可能的不同测量输出的几率
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How to distinguish non-orthogonal stHale Waihona Puke Baidutes optimally
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†
系综分解
任意系综生成和表示
正交归一基矢下的系综分解
可以证明，两组系综之间存在一个幺正变换关系
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Trace操作
对于混合态
意味着对于各种量子态的测量输出总的概率为1
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Trace操作性质
矩阵对角元求和
a00 Tr a 10 a20
σ 3 =| 0〉〈 0 | − | 1〉〈1 |
更一般地定义可观测量 称为自旋沿着
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轴方向的测量
广义测量
Quantum measurements are described by a collection {Mm} of measurement operators. These are operators acting on the state space of the system being measured. The index m refers to the measurement outcomes that may occur in the experiment.
任意两体纯态
| Φ〉 = ∑∑ aij i ⊗ j
i =1 j =1
n
m
假设 n ≤m
存在一组正交态|µ1〉, |µ2〉, …, |µn〉 以及|ϕ1〉, |ϕ2〉, …, |ϕn〉 使得
| Φ 〉 = ∑ pc µ c ⊗ ϕ c
c =1
n
|ϕ1〉, |ϕ2〉, …, |ϕn〉为 Tr1 Φ Φ 的本征态
∑
= Tr ( ψ k Φ Φ ψ k ) = Tr ( ψ k ψ k Φ Φ
αk = ψ k Φ
2
2
= ψk Φ Φ ψk
)
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Von Neumann测量
例如考虑对于量子态 Φ = (α 0 + β 1 ) 实施相对于基矢 0 + 1 0 − 1 的Von Neumann , 测量 2 2 注意到