Logistic回归分析(LogisticRegressionAnalysis)

• 由于
模型参数的意义
log it( ) ln( ) ln(Odds) 1
Odds e(0X )
模型参数的意义
• 例中
“超重或肥胖”组（X=1）患高血压的优势
为：
Odds1 e(0 1) e(0 )
“正常”组（XO=d0d）s0患高e(血0 压0的) 优e势0为：
两组O的R优势 比o(doddds1s odds0
log it( ) ln( ) ln(Odds) 1
• 这个变换将取值在0-1间的值转换为值域在
（ ， ）的值。
• 建立log it( )与X的线性模型：
• log it( ) 0 X
或
ln( 1
)
0
X
Logistic回归模型
• 求解
•ln( 1
)
0
X
e(0X ) 1
e(0X )
• 当变量Xj的回归系数Βj >0时， Xj增加1个单位后与 增加前相比，事件的优势比ORj >1，表明Xj为危险 因素；
• Βj <0时， Xj增加1个单位后与增加前相比，事件的 优势比ORj <1 ，表明Xj 为保护因素；
• Βj =0 ， Xj增加1个单位后与增加前相比，事件的 优势比， ORj =1,表明Xj对结果变量不起作用。
1 e e(0 1X1P X P )
1 e 1 (0 1X1P X P )
模型参数的意义
• Β0 ：常数项（截距），表示模型中所有自变 量均为0时，log it( ) 的值；
• β1 ， β2 、．．． βP：回归系数 ，表示在控 制其他自变量时，自变量变化一个单位所引
起的
log it( ) 改变量。
Logistic 回归分析 (Logistic Regression Analysis）
Logistic 回归分析
多重线性回归分析的前提条件 • 线性；独立；正态；等方差
医学中还常研究二分类因变量（如患病与 未患病、阳性与阴性等）或多分类因变量 与一组自变量（X1，X2，．．．Xm，）的 关系，线性回归分析方法就无能为力。
0

1X1i
P
X
i p
)
]1Yi
Logistic回归的参数估计
• 对于n个独立个体，给定自变量时，出现当 前观察结果的概率为上述n个概率的乘积
P(Y1,Y2 ,,Yn X 1, X 2 , X n )
n
1 1 Yi
[1 e ] [1 1 e ] i1
(
0
1
X1i
P
X
i p
)
1Yi
(
0
1
X
i 1
P
X
Logistic回归模型
• 例 为探讨超重和肥胖对高血压病的影响， 2004年，某研究者采用整群抽样的方法， 对某地6个镇35周岁以上的常住人口进行高 血压普查，同时收集了身高、体重等相关 信息。整理后资料见下表。
• 目的：建立高血压患病率与体质指数间的 数量关系模型，估计超重与肥胖对高血压 患病的风险。
Logistic 回归分析
Logistic 回归分析可解决: 应变量为: • 二分类; • 无序多分类; • 有序多分类; • 本次教学主要介绍应变量为二分类的
Logistic 回归分析
Logistic 回归分析
按设计， Logistic 回归分析分为：
• 成组：非条件Logistic 回归分析 • 配对：条件Logistic 回归分析
Logistic回归的参数估计
• 假设n例观察对象彼此独立，其自变量为，
Xi
(
X
i 1
,
X
i 2
,...
X
i P
)
• 因变量为Yi（0-1变量），i 1,2,。, n
对于第i个体，给定Ｘi时，出现观察结果Yi
的概率为：
P(Yi
Xi)
[1 e 1 (
0
1X1i
P
X
i p
)
1 Yi
] [1 1 e(
i p
)
Logistic回归的参数估计
• 上式为似然函数(likelihood function)，记为 L。求解β0 ， β1 ， β2 、… βP ，使似然函 数达到极大,或使似然函数的对数达到极大， 这样得到的解记为b1 ， b1 ， b2 、… bP ， 称为参数 的极大似然估计值。
1 e(0X )
1
1 e ( 0
X
)
• 右端在数学上属于Logistic函数，所以称其为 Logistic回归模型 。
Logistic回归模型
• 若自变量扩展到个P个，（X1， X2，．．．XP，），则多个自变量的回归模 型为 log it( ) 0 1 X 1 p X p
( 0 1X1P X P )
Logistic回归的参数估计
• Logistic回归模型中的参数β1 ， β2 、… βP 需要通过样本资料，按照一定方法进行估 计，估计量记为b1 ， b2 、… bP。
• 参数估计方法有多种，极大似然估计 （ MLE）最为常用
Logistic回归的参数估计
• 极大似然估计基本思想 选择能有最大概率获得当前样本的参数值 作为参数的估计值。
不同体质指数组高血压患病率
体质指 数X
正常 X=0
调查人 数
6792
患病 Y=1 1331
未患病 患病率 Y=0 （%）
5461 19.60
超重或 肥胖 X=1
合计
4148 10940
1656 2987
2492 7953
39.92 27.30
Logistic回归模型
• 因变量为二分类变量，不满足线性回归分析条件， 首先对进行数据变换：
ratioe,(eO0R0))为：e
模型参数的意义
• 一般地，根据多个自变量的回归模型，在其 他变量取值不变的情形下，与变量Xj的二个 水平C1与C2（C2>C1）相对应的事件的优 势比为 ：
OR e j (C2C1)
• 当XJ的二个水平相差1个单位时，
ORj e j
模型参数的意义
• Logistic回归分析广泛用于流行病学中前瞻性的队 列研究、回顾性的病例-对照研究以及现况研究。