08-09年度第一学期《自动控制原理》考卷A卷参考答案

安徽大学2008-2009学年第一学期 《自动控制理论》期末试题（A 卷）参考答案

1、解：法一

32112123224413

21413243

241212132411)

]([1)

()

()

()(G G G H G G H G G H G G G G G G G G G G G G G G H

G G H G G G G G s R s C s ＋＋＋＋＋＋ ＝

++++++==

Φ∴

法二：应用梅森增益公式

两条前向通道4123211,G G P G G G P ==

五个单独回路,,,321323221211G G G L H G G L H G G L -=-=-= 415244,G G L H G L -=-=无两不相关回路，则

3

211212322441321411)()

()(G G G H G G H G G H G G G G G G G G s R s C s ＋＋＋＋＋＋＝

=Φ∴

2、解：（1）由图知，系统的的开环传递函数为()40/[(10)(4)]G s K s s s =++，可以

得到系统的特征方程：

32

()1440400D s s s s K =+++= 可以列劳斯表如下：

320140

1440(56040)/14040s s K

s K s K

-

故，要使系统稳定需：560400K ->和400K > 得系统稳定K 的取值范围为：014K <<

（2）要求闭环系统的极点全部位于1s =-垂线之左时，可令11s s =-，并代入原特征方程，得到如下新特征方程：

321111()(1)14(1)40(1)400D s s s s K =-+-+-+=

整理得：

32111111540270s s s K +++-=

可以列劳斯表如下：

3121101115

114027

(19240)/1104027

s s K s K s K ---

故要使闭环系统的极点全部位于1s =-垂线之左，需：192400K ->和40270K ->，得K 的取值范围为：0.675 4.8K <<

3、解：开环传递函数为: 2()(1)(0.51)(1)(2)

K K

G s s s s s s s ==

++++

（1）绘制根轨迹如下。

1) 根轨迹的分支和起点、终点。由开环传递函数可知3,0,3n m n m ==-=，故根

轨迹有三条分支，其起点分别为1230,1,2p p p ==-=-，其终点为无穷远处。 2) 实轴上的根轨迹。分布区为(,2],[1,0]-∞--。 3) 根轨迹的渐近线。

12130a σ--=

=--，,3

a π

ϕπ=± 4) 根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足：

111012

d d d ++=++ 近似求得0.42d =-和 1.58d =-，分离点应位于[1,0]-之间， 1.58d =-可舍去，得0.42d =-。

5) 根轨迹与虚轴的交点。

3

2

()3220D s s s s K =+++=

令s j ω=，代入上式可得：

32()3()2()20j j j K ωωω+++=

得：

32

20

320K ωωω⎧-=⎨-+=⎩

因0ω≠，故可解得：

ω=3K =

做出根轨迹如图所示：

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

（2）由（1）根轨迹可知，03K <<时，系统稳定。

4、解：（1）4

(1)

3()(1)

k s G s s s -+=-，可知12121,0,1,1,0v n n m m =====。 非最小相位系统。

系统起点处的相位()(0)18090270o o o v ϕωϕ+==--⨯=-， 幅值为()(0)A A ω+==∞ 终点处的相位

1122()()1809090[()()]1809018090o o o o o o o v n m n m ϕωϕ=∞=--⨯----=--+=-

终点处的幅值()()0A A ω=∞=

开环频率特性2

22

1468()()()1(1)G j j P jQ ωωωωωωω--=+=+++ 当虚部为0时，23/4,()8x x P ωω==-。

从开环幅相的起点处逆时针补画90o ，构成乃氏曲线，如下图所示。

乃氏曲线包围（-1，j0）点的圈数，1

2()2(1)12

R N N +-=-=-=,

而1P =，故系统是稳定的。

（2）当()P ω>-时，系统不稳定。即

222777

7773333311,

1,,711344744

k k k

k k ωωω->-<<<<∙++，已知＝3/4,所以＝时，则

03/k <<时，系统稳定。 方法2：劳斯判据

)

(1)

()()()(00s G s G s R s C s +==

φ 其中)(0s G 为单位负反馈系统的前向通道增益，即等效单位反馈系统的开环传递函数。有

1

2202212221221222121()()()()()

()1()1()()

()

(1)(1)(1)()1(1)(1)

r r G s G s G s G s s G s s G s G s K K K s s s T s s T s T s K s s s T s T s ϕϕλλλλ+=

=--++

+++=

+-

++

2

1212212212122

1212213212122221(1)()

(1)(1)()

(1)()

()(1)K K T s K s s s T s T s K s s K K T s K s s TT s T T K s K s λλλλλλλλ+++=

++--+++=++-+- 要使复合校正后系统具有Ⅲ型控制精度，必有下式成立

122221010

T T K K λλ+-=-=

1212

221K T T K λλ⎧

=⎪⎪⎨

+⎪=⎪⎩

或者先求出系统的误差传递函数，然后利用输入为单位加速度信号时，系统的稳态误差为0 ，也可以求出系统的参数。 校正后系统的误差传递函数为：

2122212212121232

12

122221212121()()()1()1()()

(1)(1)()

(1)()

()(1)(1)()

r e G s G s s s G s G s s T s T s K s s T s T s s K K TT s T T K s K s T s T s s K K ϕϕλλλλ-=-=

+++-+=

+++++-+-=+++

当3

1()R s s =

且校正后系统为Ⅲ型系统时，则稳态误差为0.

32121221

223

212121212222121212()(1)1lim ()()(1)()

()(1)/(1)()

ss e TT s T T K s K s e sR s s s s T s T s s K K TT s T T K K s T s T s s K K λλϕλλ++-+-==+++++-+-=

+++

必有下式成立

122221010

T T K K λλ+-=-=

1212

221K T T K λλ⎧

=⎪⎪⎨

+⎪=⎪⎩

7、]1[]1)[1(

)(T

T

T

e

z e

K e z z

z z z z K z G -----=====----= (1)16

.20632.0632.0368.1368.0632.00632.0*368.0)368.01()368.0()(0

)(1)(1<<<-<-+-==+-=-+-==+==K K K z K z K z z D z G z D T 时当