中考几何两解题综述215006苏州市第一中学刘祖希.doc

本文发表于《中学数学杂志》2003年第1期

中考几何“两解”题综述

215006 苏州市第一中学刘祖希

数学教学的一个重要M的在于培养学生的思维品质，而思维品质的一个重要方面就是思维的深刻性（周密性）.几何“两解”题，在考察分类讨论思想应用的同时，锻炼了学生的思维品质，其开放性乂培养了学生的创造能力，因此受到中考命题者的青睐.

本文以近年中考题为例，以几何各单元知识为主线，详细总结产生两解的不同原因，帮助初三毕业班老师同学复习备考.

1叙述对象不明确

当涉及到两类对象时，题目往往语言上没有具体指明哪一类，因此要分类讨论，出现两解.

1. 1未指明三角形中“一边”是底边还是腰、“左腰”还是“右腰”、斜边还是直角边

例1 （黑龙江省，2000）等腰直角三角形的一边长为2cm,则它的周长为.

［解题要点］若腰:长2cm,则底边长（斜边）2y/2cm ,周长为（4 + 2V^）cm；

若底边长2c/n,则腰长扼皿，周长为（2 + 2很）cm.

例2 （贵州遵义，2000）一个等腰三角形的周长为14cm,且一辿长是4cm,则它的腰长是.

例3（湖北孝感，2000）直角三角形三边之长为5、4、m,则此三角形斜边上的高为.

例4 （湖北荆门,1998）等腰三角形底边长为8cm,腰长5cm, 一动点P在底边上从点B 向点C以0. 25cm/秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为秒.

1. 2未指明矩形的一边是长还是宽

例5 （沈阳市，2001 ）矩形A8C。中，AB=3, AD=2,则以该矩形的一边为轴旋转一周所

得的圆柱表面积为

x + — x = 12

; ，解得y + — x = 9• 2 尤=6或y = 9

［解题要点］若以AB为她、AD为底，贝IJ圆柱体表面积为（2勿x2）x3 + 2x（;rx22） = 20;r；

若以AD为轴、AB为底，则圆柱体表面积为（2"3）x2 + 2x（;rx32） = 3（）7r・例 6 （江西省，2000）用一•张边长分别为10cm、8cm的矩形纸片做圆柱的侧面，所得圆柱的底面半径为.（结果可带勿）

例7 （哈尔滨，2002）将两辿长分别为4c、〃z和6cm的矩形以其一边所在直线为轴线旋转-•周，所得圆柱体的表面积为cm2 .

例8 （黑龙江省，2002）如果矩形纸片两条相邻的边长分别为18m和30s,将其围成一

个圆柱的侧面，那么这个圆柱的质面半径是cm（结果保留〃）・

1. 3一条直线把图形分为两部分，未指明哪一部分

例9 （常州市，2000）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，

则腰长为，底边长为.

x + —x = 9

魇物要点7设腰长x,底边长y,则有2，或

y + —x = 12

「2

fx = 8

，即腰长6或8,底边长9或5.

［）’ =5

例10（贵阳市，1999）等腰三角形的一个底角平分线，把周长分为63和36两部分，求它的腰长.

例11 （辽宁省，2002）圆内两条弦A8和CD相交于F点，曲长为7,人8把CD分成两部分的线段的长为2和6,那么AP=.

1. 4未指明相似图形的对应边、对应角

例12（黄冈市，1997）在AABC 中，AB=9,*C = 12,

2

BC = 18,D 为 AC上一点，OC = — AC,在AB上取一E，

3

与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似.

得到\ADE.若图中两个三角形相似,则DE 的长是・

［解题要点心洛图,,贝UDE = 6,

AC CB 12

18 5 AD DE 4 DE _ n

若——=——，一=——，贝ljDE = 8 .

AB BC 9 18

例13 （云南玉溪，2000）要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边

长分别为4、5、6,另一•个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似，三角形框

架的另两条边长可以是

例14 （桂林市，2002）如图，正方形ABCD 的边长为2,

MN = \・线段MN 的两端在Q3、CD 上滑动，当

1. 5圆的一条弦对应两个圆周角（两角互补）、两条弧（一条优弧、一条劣弧）、两个弦切角

（两角互补）、两个弓形

例15 （黄冈市，2001 ）已知是M8C 的外接圆，OZXLBC 于D,且ZBOD = 42° ,

贝lj ABAC =.

［解题要点］4 400 = 42°知，则圆心角ZBOC = 84° ,

若 ABC 为劣弧，贝l\ZBAC = -ZBOC = 42°； 2

若 ABC 为优弧,则 ZBAC = 180°-42° =138°.

例16 （北京宣武区，2001 ） 一条弦把圆分为2： 3两部分，那么这条弦所对的圆周角的 度数是・

例17（南京市，1999）在中，圆心角ZAOB 的度数100°,则弦A8所对的圆周角的

度数是・

例18 （辽宁省，2000） PA 、PC 分别切。O 于A 、C 两点，B 为。O 上与A 、C 不重合的

点，若ZP = 50°,贝lj ZABC =・

例19（厦门市，2000）和。。2相交于点8和C, A是上另一•点，AT是。0的

度. 锐角为50°,则底角ZB 的大小为

［解题要点］侦优国,

若交点E 在线段AC 上（AABC 为锐角三角形）时

180°- 40° 切线，直线AB 写AC 分别交。劣于点D 和E .设点M 是切线AT 上的一点，且写A 不

重合.若 ZADE = 70° , WJ ZMAD 例20 （云南省，1996） 一弓形弦长为47^〃Z ,弓形所在圆的半径

为7cm ，那么弓形的高为

［解题要点］如右图，。客="_（2后之=5伽）,弓形的高为

DC = OC-OD = l-5 = 2(cm)或OE = 0。+ OE = 5 + 7 = 12(c/n).

例21 （辽宁省，2002） \ABC 是半径为2wz 的圆内接三角形，若BC = 2^cm ,则乙4的

度数为

2 几何图形的相对位置不确定

当要画的图形与已知的图形位置关系不确定时，往往会出现两解.

2. 1形内、形外

一条垂线与三角形一边的交点可能在其上也可能在其延长线上,

—点可能在圆内也可能在圆外

例22（黄冈市，1999）在A4BC 中，AB = AC , A8的中垂线与AC 所在直线相交所得的

ABAC = 90°- 50° = 40°, ZB =——-——=70°,

若交点E 在线段AC 的延长线上（AABC 为钝角三角形）时

ABAC = 90° + 50° = 140。, ZB =贸°°二"O ： = 2()0

2

例23 （武汉市，1999）已知。。和不在。。上的一点