高二理科数学期中测试题及答案

高二期中理科数学试卷
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1、复数
i
-25
的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -2 2、 已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( )
A.31
+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3
1sin1-cos1 +cos1
3、设a R ∈，函数()x
x
f x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a 为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．-1
4、定积分dx e x x ⎰-1
0)2(的值为（ ）
A ．e -2
B ．e -
C ．e
D ．e +2
5、利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)
2n －1<f(n) (n≥2，n ∈N *)的
过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )
A ．1项
B ．k 项
C ．2k －1项
D ．2k 项
6、由直线y= x - 4，曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为（ ） A.
340 C.2
25
7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ） （A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在
8、函数f(x)＝x 2－2lnx 的单调减区间是( )
A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪(0,1]
D ．[－1,0)∪(0,1]
9、 已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +=
=+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式（ ）
A.4()22x
f x =
+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2
()21
f x x =+. 10、 若21
()ln(2)2
f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）
A. [1,)-+∞
B. (1,)-+∞
C. (,1]-∞-
D. (,1)-∞- 11、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小
值
是
（
）
(A) １ (B) 2 (C) ２ (D) 22
12、对于R 上可导的任意函数f（x），且'(1)0
f=若满足（x－1）f x
'（）>0，则必有（）
A．f（0）＋f （2） 2 f（1） B．f（0）＋f（2） 2 f（1）
C．f（0）＋f（2）> 2 f（1） D．f（0）＋f（2） 2 f（1）
第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）
二．填空题（每小题5分，共20分）
13、设
2,[0,1]
()
2,(1,2]
x x
f x
x x
⎧∈
=⎨
-∈
⎩
，则2
()
f x dx
⎰=
14、若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c则三角形的面积
1
2
S r a b c
=++
（）；
利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为
124
S S S
3
，，S，；
则四面体的体积V=
15、若复数z＝
2
1＋3i
，其中i是虚数单位，则|z|＝______.
16、已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则
实数a的取值范围_____．
三、解答题（本大题共70分）
17、（10分）实数m取怎样的值时，复数i
m
m
m
z)
15
2
(
32-
-
+
-
=是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数
18、（12分）已知函数3
()3
f x x x
=-.
（1）求函数()
f x在
3
[3,]
2
-上的最大值和最小值.
（2）过点(2,6)
P-作曲线()
y f x
=的切线，求此切线的方程.
19、（12分）在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n 项和n S 满足
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
n n n a a S 121, ⑴求321,,a a a ；
⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想
20、（12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围 21、（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+
（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；
（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.
22、（12分）已知函数()2
a
f x x x
=+
，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值； （2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成
立，求实数a 的取值范围．
参考答案
1、D
2、B
3、D
4、A
5、D
6、A
7、B
8、A
9、B 10、C 11、B 12、C
13、
5
6 14、 23413
S S ++1R （S +S ） 15、1 16、[－1,7)
17.解：（1）当01522=--m m ，即3-=m 或5=m 时，复数Z 为实数；（3分） （2）当01522≠--m m ，即3-≠m 且5≠m 时，复数Z 为虚数；（7分） （3）当03-m ,01522=≠--且m m ，即3=m 时，复数Z 为纯虚数；（10分） 18.解：（I ）'()3(1)(1)f x x x =+-，
当[3,1)x ∈--或3
(1,]2
x ∈时，'()0f x >，3[3,1],[1,]2
∴--为函数()f x 的单调增区间
当(1,1)x ∈-时，'()0f x <， [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间
又因为3
9(3)18,(1)2,(1)2,()28
f f f f -=--==-=-，
所以当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x = …………6分
（II ）设切点为3(,3)Q x x x -，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--
由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--， 解得0x =或3x =所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即
30x y +=或24540x y --= …………12分
19 .解:⑴易求得23,12,1321-=-==a a a …………2分 ⑵猜想)(1*N n n n a n ∈--= …………5分 证明:①当1=n 时,1011=-=a ,命题成立
②假设k n =时, 1--=k k a k 成立, 则1+=k n 时, )1(21)1
(2
1
1111k k k k k k k a a a a S S a +-+
=-=++++ )1
11(21)1
(2
111--+---+
=++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1(2111, 所以,012121=-+++k k a k a , k k a k -+=∴+11.
即1+=k n 时,命题成立. 由①②知,*
N n ∈时,1--=n n a n . …………12分
20. 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++
由'2
124
()03
93
f a b -=
-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-
'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：
所以函数()f x 的递增区间是2(,)3
-∞-与(1,)+∞,递减区间是2
(,1)3
-；…………6分
（2）321
()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222
()327
f c -=
+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈-
恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或 …………12分
21 解：（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分
∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分
（2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-
令()0,0
g x x '==或
1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表
当
0,()
x g x =有极大值3;1,()
m x g x +=有极小值
2m +. ………………………10分
由()g x 的简图知，当且仅当(0)0
,(1)0
g g >⎧⎨<⎩
即30
,3220
m m m +>⎧-<<-⎨
+<⎩
时，
函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.
所
以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不
同切线，m 的范围是(3,2)--.…………12分
22. 解：（1）解法1：∵()2
2ln a
h x x x x
=+
+，其定义域为()0 +∞，， ∴()221
2a h x x x
'=-+．
∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．
∵0a >，∴a =
经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，
∴a =
解法2：∵()2
2ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，，
∴()221
2a h x x x
'=-+．
令()0h x '=，即221
20a x x
-+=，整理，得2220x x a +-=．
∵2180a ∆=+>，
∴()0h x '=的两个实根11
4x -=（舍去），214
x -=，
当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：
1=，即23a =，
∵0a >
，∴a =
（2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．
当x ∈［1，e ］时，()1
10g x x
'=+>．
∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．
∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．
∵()()()222
1x a x a a f x x x
+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2
x a x a f x x
+-'=
>，
∴函数()2
a f x x x
=+在［1，e ］上是增函数，
∴()()2
min
11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦. 由21a +≥1e +，得a
又01a <<，∴a 不合题意．
②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()
()()2
x a x a f x x
+-'=
<，
若a ＜x ≤e ，则()()()2
0x a x a f x x +-'=
>．
∴函数()2
a f x x x
=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．
∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥1e +，得a ≥
1
2
e +， 又1≤a ≤e ，∴12
e +≤a ≤e ．
③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2
0x a x a f x x +-'=
<，
∴函数()2
a f x x x
=+在[]1e ，上是减函数．
∴()()2
min
a f x f e e e
==+⎡⎤⎣⎦.
由2
a e e
+≥1e +，得a
又a e >，∴a e >．
综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
．。