复变函数第5讲详解

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由(2.3.2)中的第一式可知 exp z0. 跟ex一样, exp z也服从加法定理: exp z1exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)
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事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有
exp z1 exp z 2 e x1 (cos y1 i sin y1 ) e (cos y2 i sin y2 )
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由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z) 为多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍, 记作 Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)
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Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6) 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z 为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因 此 ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7) 而其余各值可由 Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8) 表达. 对于每一个固定的k, (2.3.8)式为一单值 函数, 称为Ln z的一个分支. 特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实 变数对数函数.
x2
e x1 x2 [(cos y1 cos y2 sin y1 sin y2 ) i (sin y1 cos y2 cos y1 sin y2 )] e x1 x2 [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )] exp( z1 z 2 )
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当b=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于
a e
b p p ln|a| i (arg a 2 kp ) q q
p p e [cos (arg a 2kp ) i sin (arg a 2kp )], q q (2.3.10) ab具有q个值, 即当k=0,1,...,(q1)时相应的各 个值. 除此而外, 一般而论ab具有无穷多个值.
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因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的 拓广. 利用幅角的性质不难证明:
Ln( z1 z2 ) Ln z1 Ln z2 z1 Ln Ln z1 Ln z2 z2
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对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中 ln|z|除原点外在其它点都是连续的, 而arg z 在原点与负实轴上都不连续. 因为若设 z=x+iy, 则当x<0时,
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由加法定理, 我们可以推出exp z的周期性, 它的周期性是2kpi, 即 ez+2kpi=eze2kpi=ez 其中k为任何整数.
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2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反 函数. 将满足方程 ew=z (z0) 的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=reiq, 则 eu+iv=reiq, 所以 u=ln r, v=q. 因此 w=ln|z|+iArg z
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例1 求Ln 2, Ln(1)以及它们相应的主值. [解] 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是 ln2. 而Ln(1)=ln 1+iArg(1)=(2k+1)pi(k为整 数), 所以它的主值是ln(1)=pi. 在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数 范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无 穷多值的.
复变函数
第 5讲
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§3 初等函数
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1, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个 函数f(z)具有实函数中的指数函数ex的三个性 质: i) f(z)在复平面内解析; ii) f '(z)=f(z) iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)
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前面的例1中已经知道, 函数 f(z)=ex(cos y+i sin y) 是一个在复平面处处解析的函数, 且有 f '(z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex. f(z)称为指数函数. 记作 exp z=ex(cos y+isin y). (2.3.1) 等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2kp (2.3.2)
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鉴于exp z满足条件iii), 且加法定理也成立, 为了方便, 往往用ez代替exp z. 但是必须注 意, 这里的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替 exp z的符号使用, 因此我们就有 ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4) 特别, 当x=0时, 有 eiy=cos y+isin y (2.3.5)
y 0
lim arg z p , lim arg z π .
y 0
所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点 ln z处处连续. 综上所述, z=ew在区域 p<v=arg z<p内的反函数w=ln z是单值的, 由 反函数求导法则可知:d ln z 1 1
dz

de dw
w

z
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所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. 由(2.3.8)式就可知道, Ln z的各个分支在除去 原点及负实轴的平面内也解析, 并且有相同 的导数值. 今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它 在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分 支.
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3. 乘幂ab与幂函数 在高等数学中, 如果a为 正数, b为实数, 则乘幂ab可表示为ab=eblna, 现 在将它推广到复数的情形. 设a为不等于0的 一个复数, b为任意一个复数, 定义乘幂ab为 ebLna, 即 ab=ebLn a (2.3.9) 由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kp)是多值的, 因而ab 也是多值的. 当b为整数时, 由于 ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)] =eb(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna, 所以这时ab具有单一的值.
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p ln|a| q
例2 求1 和i 的值. [解] 1
2
2
i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱe
2 Ln1
e
2 kpi 2
cos( 2kp 2 ) i sin( 2kp 2 ). (k 0,1,2,); i e