青岛版数学九年级上册第三章圆的知识

B
M O
A P
关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
n s r 360
rl
2
（1）
S全= rl r
2
C E D A O B
• 什么时候圆周角是直角？ 反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有什 么性质？反过来呢？
n r 得 由弧长公式 l 180 1 （2） s lr 2 圆锥的侧面积和全面积:S侧=
如果用字母S表示扇形的面 积， n 表示所求面积的扇形 的圆心角的度数， r 表示圆 的 半 径 ，那么扇形的面积 计算公式是
知识体系
圆
基本性质 概 念 对 称 性 圆周角与 圆心角的 关系
垂 径 定 理
圆心角、 弧、弦之 间的关系 定理
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O”
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？
讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心，
C C C
三角形叫做圆的内接三角形。
A A A O O O C
B B
B
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
的圆心角的一半。
也可以理解为：一条弧所对的圆心角是
它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半。 • 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ • 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有什么性质？反过 来呢？
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
角的顶点 在圆心
F D C
O
圆心角：如∠BOA
圆内角：如∠BCA 圆外角：如∠BFA 圆周角：如∠BDA
•角的顶点在圆周上 •是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?
A
B
B
C
C A
C
A
O
O
O
B
A
B
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对
A C E F O D B
FD 。 FB EC=_____ 变式3：EA＝____,
A C O D B
OA=OB 变式4：______ AC=BD.
AC=BD.
A C O D B
OC=OD 变式5：______

如图， P 为 ⊙ O 的弦 BA 延长线上一点， PA ＝ AB ＝ 2 ， PO ＝ 5 ，求 ⊙O的半径。

篮球是圆吗？

圆必须在一个平面内

以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？

半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置

圆是“圆周”还是“圆面”？

圆是一条封闭曲线

圆周上的点与圆心有什么关系？
圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一不 可！

若圆心到弦的距离用d表示， 半径用r表示，弦长用a表示， 这三者之间有怎样的关系？

O
A
E
B
a r d 2
2 2
2
变式1：AC、BD有什么关系？
A C O D B
变式2：AC＝BD依然成 立吗？
A

A
B
观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，弧 AD＝弧BD，弧AC＝ 弧BC, AE＝BE 。
垂直于B 弦的直A 径
C O E D
B
垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理
A
C
O
E
D
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
B O A D C
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
O A D B
A
O
D
C
F
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点的集合。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
如果圆的半径为r， 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 点到圆心的距离为d，则： 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 点在圆外 d>r 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定 的呢？
过三点的圆
思考：确定一条直线的条件是什么？
问题2：三角形的外心一定 ∠C＝90°O ▲ ABC 是锐角三角形 ▲ ABC 是钝BO=CO=DO， D 弧AD＝弧BC，弧AC 想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两 O C ＝弧BD。 侧半圆会有什么关系？ AO=BO=CO=DO， 性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在 弧AD＝弧BC=弧AC 的直线都是它的对称轴。 D C ＝弧BD。 O
C E O B
A
D
圆的两条平行弦所夹的弧相等。 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？ E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度 α，都能与原来的图形重 合。
圆心角：顶点在圆心的角。
（如：∠AOB）
A
弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
B
O
C
题设
在 同 圆 前 或 提 等 圆 中 （ 条 件 ）
结论
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
( )
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。