自主招生数学解读(二)

则称f (x)是区间I上的凹函数（也称上凸函数）.
2.函数的性质
特别地,当= 1 时,有f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
2
或f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
2
2
判断一下函数是凸(凹)函数的方法,除了定义以外,
还有一个定理:
定理:设f (x)是区间I上的二阶可导函数,则f (x)是区间I
a
0, b
0, n
N *,求证:a2n
b2n
1 22n1
.
构造函数y x2n,n N*,先证明它是凸函数.
由于y 2nx2n1, y 2n(2n 1)x2n2 0
故y x2n,n N*是(, )上的凸函数.
从而 a2n b2n (a b)2n (1)2n
2
2
源自文库
2
从而a2n
b2n
y (2) f (4) 4,求f (x) f ( 1 ) 12的解集.
x 12 解 : (2)因为f (x) f ( 1 ) f (x(x 12)) f (x2 12x)
x 12 而f (64) f (4) f (16) 3 f (4) 12 故原不等式转化为f (x2 12x) f (64)(x 12) 于是由f (x)的单调性,得x2 12x 64且x 12 解得12 x 16,即不等式的解集为(12,16].
高校自主招生试题热点解读
主讲:贾广素 2010年10月30日
高校自主招生试题热点解读
大多数的高校自主招生试题，能够有效地考查 学生的学习能力、思维能力和数学的创新意识， 为高校选拔具有较好学习潜质的学生创造了条 件，也为破除高考命题形式的“八股化”探索 出了一条新路.
综合最近几年的高考试题与高校自主招生试题 可以发现，自主招生中的数学试题与高考中的 数学试题有所不同：高考数学照顾到知识点全 面性，基础知识占主要部分，只有比重很小的 部分试题是难度较大的题目.而自主招生数学试 题，不同的学校有不同的命题风格，题量的大 小与难易程度，各大高校的差异很大.
2 从而f (x) 0(x 4),所以f (x)单调递增, 且f (4) 16ln 2 8 8(ln 4 1) 0,知f (x) 0. 所以f (x)在[4, )上单调递增,因而原命题成立.
1.方程论的相关知识
其实本题，我们可以非常容易地利用观察法发 现x=5是原方程的一个根，但利用观察法的缺点 是会减根，不能找到全体的根.确定唯一性的方 法是多种多样的，构造函数证明该函数的单调 性来进行说明唯一性是我们最常用的一种方法. 但对本题而言，直接证明单调性却很难做出， 应该首先对根所在的区间进行缩小范围，再来 证明其单调性.类似的题目在2009年的南京大学 的自主招生试题中也有所体现，例如：
函数与方程主要有两方面的内容： 用函数思想解决方程有关的问题，这一点
在前我的例题中我们已多次用到； 解函数方程. 含有未知函数的等式叫做函数方程，能使
函数方程成立的函数，叫做函数方程的解. 求解函数方程的解或证明函数方程无解的 过程叫做解函数方程.
3.函数与方程
这里我们主要讨论解函数方程的办法. 解函数方程的主要方法有以下几种： 1.换元法 2.赋值法 3.迭代法 4.柯西法 5.待定系数法 6.不动点法
1 22n1
.
2.函数的性质
当然，本题的证法不止是一种，但这种证 法是最简单的.其余的证法见《决胜自主 招生》一书的第87页.
2.函数的性质
凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式:
若f (x)是[a,b]上的凸函数,则对于任意的xi [a,b],
n
n
n
i 0(i 1, 2, ),且 i 1,则f ( i xi ) i f (xi ).
为整系数多项式an xn an1xn1 a1x a0 的根,则p | an , q | a0.
1.方程论的相关知识
1.(2008年南开大学) 求证: 方程2x x2 7 0有唯一的实数根x 5.
1.方程论的相关知识
1.(2008年南开大学) 求证: 方程2x x2 7 0有唯一的实数根x 5.
1.方程论的相关知识
本题给出的是解决多项式问题的一个通法, 利用本题的方法,我们甚至都可以找到一个 根为 p m q n( p, q, m, n N *)的整系数多项式.
2.函数的性质
函数的特征是通过其性质（如单调性、奇 偶性、周期性、对称性等）反映出来的， 有关概念在高中数学讲述得较为明白，在 此不再赘述，这里只补充一些在自主招生 中常用的知识：
1.方程论的相关知识
1.(2008年南开大学) 求证: 方程2x x2 7 0有唯一的实数根x 5.
f (x) 2x ln 2 2x(x 4) f (x) 2x ln2 2 2(x 4) 且24 ln 2 2 ln 2 2 0.35.
4 而很显然有ln 2 1 ,即ln 4 1
即x3 3x2 2 3x 2 2 2 3 所以x3 6x 3 (3x2 2) 2 两边平方, 得(x3 6x 3)2 2(3x2 2)2 即x6 36x2 9 12x4 6x3 36x 18x4 24x2 8 即x6 6x4 6x3 12x2 36x 1 0. 所以所求的多项式f (x) x6 6x4 6x3 12x2 36x 1.
分析: 首先当x 2时,由于2x 4,知方程在区间(,2]内没有实数根;
当x (2,3]时,2x 8,而x2 7 11,知此时方程无根; 当x (3,4]时,由2x 16, x2 7 16,知此时方程无根; 所以方程在(, 4]内没有实数根. 而验证可知x 5为方程的一个根,下面只需证明唯一性即可: 只需证明函数f (x) 2x x2 7在区间[4,)上单调递增即可.
1.方程论的相关知识
方程论的问题在自主招生考试中占有相当 大的比例.所关心话题的主要有四个方面：
方程有没有根？何时有根？ 如果有根有多少个根？ 方程的根是什么？
1.方程论的相关知识
这里有几点需要提醒: 1.零点存在定理 2.三次方程的韦达定理 3.整系数多项式的根:
若既约真分数 q (即(p, q)=1,p 0, p, q Z ) p
3
3 27
2.函数的性质
我们遇到了凸函数的概念以后,对于这道考题的推广形式:
n
若a1, a2 , , an R*,且 ai 1, i 1
求证:(a1
1 a1
)(a2
1 a2
)
(an
1 an
)
(n
1 n
)n
(n
N
* ).
也可以非常容易的得出证明.
其余的证明方法见《决胜自主招生》第88页.
3.函数与方程
i1
i1
i1
琴生不等式有很多用途,比如y ln x为上凸函数,
( y 0),从而有 ln a1 ln a2 ln an ln a1 a2 an
n
n
即n a1a2
an
a1
a2
n
an ."几何平均数 算术平均数"
2.函数的性质
5.(2008年南京大学)
若正数a,b,c满足a b c 1,求证:(a 1)(b 1)(c 1) 1000.
ta因n 3此 方ta程n(的3 解5为) taxn72ta,n2(c3os54)
,
2
cos
4 7
.
1.方程论的相关知识
3.(2009年清华大学) 试求出一个整数系多项式f (x) an xn an1xn1 a0 , 使f (x) 0有一个根为 2 3 3. 解:设x 2 3 3,则x 2 3 3,所以(x 2)3 3
1.方程论的相关知识
2.(2009年南京大学) 解方程 x3 3x x 2. 解:如果x 2,则方程的右边无定义,此时方程无解;
如果x 2, f (x) x3 3x x 2, f (x) 3x2 3 1 0
2 x2 且f (2) 0,从而知在(2, )上没有根. 所以,如果方程的解存在,则一定位于[2, 2]中.
再令y
1 ,则f x
( xy)
f
(1)
f (x)
f
(1) x
所以f
(1) x
f
( x).
故f ( x ) f (x) f ( 1 ) f (x) f ( y).
y
y
3.函数与方程
6.(2010年南京大学) 函数f (x)是定义在(0, )上的减函数,满足f (x y) f (x) f ( y). (1)证明:f ( x ) f (x) f ( y);
高校自主招生试题热点解读
但通过对各高校的自主招生试题的分析来看，自主招生 试题的命题热点，除了集中于高考所要求的热点问题以 外，还集中在以下几个方面：
一.方程论的相关知识 二.函数的性质 三.函数与方程 四.不等式的扩充 五.数列的递推 六.复数的扩充* 七.简单的整数理论* 八.组合数学*（带有*号的主要是清华、中科大、浙大等名校考查）
3.函数与方程
7.(2008年清华大学)
lim f (x) 0 1, f (2x) f (x) x2,求f (x).
x0
分析:观察条件f (2x) f (x) x2的结构,可以联想到数列通项公式
中的累加法.
将以上各式累加,得
解:由f (2x) f (x) x2,得 f (x) f ( x) x2 , 24 f ( x) f ( x) x2 ,
(x2 2)2 [(x2 1)x]2
5
0.
所以f (x)是(0,1)上的凸函数,
2.函数的性质
5.(2008年南京大学)
若正数a,b,c满足a b c 1,求证:(a 1)(b 1)(c 1) 1000. a b c 27
根据琴生不等式,有
ln
g
ln(a
1)
ln(b
1)
ln(c
1)
3.函数与方程
6.(2010年南京大学)
函数f (x)是定义在(0, )上的减函数,满足f (x y) f (x) f ( y).
(1)证明:f ( x ) f (x) f ( y); y
(2) f (4) 4,求f (x) f ( 1 ) 12的解集. x 12
解 : (1)令x y 1,则f (1) f (1) f (1),得f (1) 0.
2.函数的性质
1.凸函数 设f (x)是定义在区间I上的函数,若对于I上的
任意两点x1, x2和实数 (0,1),总有 f ( x1 (1 )x2 ) f (x1) (1 ) f (x2)
则称f (x)是区间I上的凸函数.
反之,若有f (x1 (1 )x2 ) f (x1) (1 ) f (x2)
上凸(凹)函数的充要条件是f (x) 0( f (x) 0).
2.函数的性质
4.(2009年清华大学)
x
0,
y
0,
x
y
1,n
N * , 求证:x2n
y2n
1 22n1
.
分析:为了习惯起见,我们把题目中的字母作一改变,
不影响原问题:
a
0, b
0, n
N *,求证:a2n
b2n
1 22n1
.
2.函数的性质
证明:设g (a 1 )(b 1)(c 1),
a b c 27
abc
则ln g ln(a 1 ) ln(b 1) ln(c 1)
a
b
设f (x) ln(x 1)(0 x 1),
x
则f
c (x)
x2 1 (x2 1)x
f
(x)
[
(
x2 1 x2 1)
x
]
(x4 4x2 1) [(x2 1)x]2
1.方程论的相关知识
2.(2009年南京大学)
解方程 x3 3x x 2.
令x 2cos,0
则方程变为8cos3 6cos 2cos 2,
s三c即io从n又s倍233而因c角o得为 s公334s3式cion:s3202,c4o4ss3i[2nc0,o34,(s720.])sicno(s3于(所3是以 )3ns)icno0s2或 sincn(o2s3(n31.(n)) Z )
3ln
a
1 a
b
1 b
c
1 c
a
b
c
3
而 1 1 1 (1 1 1)(a b c) 33 1 33 abc 9
abc abc
abc
所以a 1 b 1 c 1 10(a b c 1 时等号成立).
abc
3
所以ln g 3ln 10 , 即g (10)3 1000 .不等式得证.