两个正态总体均值差及方差比的置信区间
两个正态总体均值差及方差比的置信区间
1,2)
均未知,
求方差比
2 1
2 2
的置信度为0.90 的置信
区间. 解 n1 Байду номын сангаас8, n2 13,
0.10,
s12 0.34(mm2 ), s22 0.29(mm2 ),
F / 2(n1 1, n2 1) F0.05(17, 12) 2.59,
F1
/ 2(17,
12)
F0.95 (17,
涉及的两总体分别为
N
(
1
,
2
)和N
(
2
,
2
),
1
,
2
,
2 1
,
2 2
均未知，两样本相互独立，
求
2 1
/
2 2
的置信水平为
0.90的置信区间。
解 现在 n1 7 , n2 8, 1 0.9, / 2 0.05,
1
1
F0.05 (6,7)
3.87 , F10.05 (6,7)
F0.05 (7,6)
2 1
2 2
的一个置信度为
1
的置信区间
S12 S22
F / 2 (n1
1 1, n2
1)
,
S12 S22
1 F1 / 2 (n1
1, n2
1) .
推导过程如下:
由于 (n1 1)S12
2 1
~ 2(n1 1),
(n2 1)S22
22
~ 2(n2 1),
且由假设知
( n1
1)S12
Y
~
N
1
2
,
2 1
n1
2 2
7.5 正态总体均值与方差的区间估计
若依此区间内任一值作 为 的近似值 ,
6.2022 2.1315 2 6.61 (克). 其误差不大于 16
这个误差的可信度为95%.
例2 (续例) 求补充1中总体标准差 的置信度为 0.95的置信区间. 解
2
2
0.025,
1
2
0.975,
n 1 15,
附表2-2
n1 n2 2 28,
2
t0.025 ( 28) 2.048 .
sw (9 1.102 19 1.202 ) 28 , sw S w 2 1.1688 ,
故所求的两总体均值差 1 2 的一个置信度为
0.95的置信区间 1 1 (4 0.93 ), x1 x 2 S w t 0.025 ( 28) 10 20 即 ( 3.07, 4.93).
2 S1 2 S 1 1 1 2 . , 2 S F ( n 1, n 1) S F ( n 1 , n 1 ) 2 1 / 2 1 2 2 /2 1 2
1 于是得 2 的一个置信度为 1 的置信区间 2
2
1 ,
例5
2
研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径,
2
求两总体均值差 1 2 的置信水平为 0.95 的置信
区间.
解
因为
( n 1 ) S ( n 1 ) S 1 1 2 2 sw 3.96, n1 n2 2
2
2
2
于是得 1 2的一个置信水平为0.95的置信区间
1 1 x1 x2 sw t0.025 (14) ( 2.02 2.13) , 8 8
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
单侧置信限——精选推荐
单侧置信限正态总体的均值与⽅差的置信区间设总体是来⾃总体的样本，与分别为样本均值与样本⽅差。
给定置信度为。
（1）单个正态总体的均值置信区间1° 为已知，均值的置信度为的置信区间为2° 为未知，均值的置信度为的置信区间为（2）单个正态总体的⽅差的置信区间1° 为已知，⽅差的置信度为的置信区间为2° 为未知，⽅差的置信度为的置信区间为标准差（均⽅差）的置信度为的置信区间为。
（3）两个正态总体，的均值差的置信区间设总体，总体，与相互独⽴。
是总体样本，是总体的样本，这两个样本相互独⽴。
设，，。
给定置信度为。
1° 与为已知，均值差的置信度为置信区间为2° 为未知，均值差的置信度为的置信区间为其中。
（4）两个正态总体⽅差⽐的置信区间1° 与为已知，⽅差⽐的置信度为的置信区间为2° 与为未知，⽅差⽐的置信度为的置信区间为三. 重点、难点分析本节的重点是掌握单个正态总体的均值与⽅差的置信区间的计算公式。
四. 典型例题例1．设总体，若已知，问需要抽取多⼤容量的样本，才能使的置信度为的置信区间长度不超过？解：，且已知，则的置信度为的置信区间长度为．由得例2．从某种⾹烟雾中随机抽取12只，测得尼古丁含量（单位：mg）为 28，26，27，30，29，22，24，25，31，28，27，23．设尼古丁含量服从正态分布，求该批⾹烟平均每⽀尼古丁含量的95%置信区间．（1）已知(mg)；（2）未知．解：（1），查表．所以；．即该批⾹烟平均每⽀尼古丁含量的95%的置信区间为（26.661,26.673）．（2）未知，．查表，，．所以；．即该批⾹烟平均每⽀尼古丁含量的95%的置信区间为（24.904, 28.430）．例3．从某轧钢车间⽣产的钢板中随机抽取6张，测得其厚度（单位：cm）为 0.341, 0.382, 0.365, 0.375, 0.353, 0.376．设钢板厚度服从正态分布，试求厚度标准差的99%置信区间及钢板厚度的95%单侧置信上限．解：（1），．由于，，查分布表得：， 1．未知时，的置信区间为，即[0.0086, 0.0546]．（2）未知时，的单侧置信上限为．对于，，查表得．所以．。
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
概率论与数理统计第九章区间估计
1, n2
1)
S12
2 1
S
2 2
2 2
F (n1 1, n2 1)} 2
即
P{ S12
1
2 1
S12
1
} 1
S
2 2
F1 2 (n1 1, n2
1)
2 2
S
2 2
F
(n1 1, n2 1)
2
因此方差比
2 1
2 2
的置信水平为1-a置信区间为
二、.方差比
2 1
2 2
的置信区间
例5 研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取
机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口速度的平均值为
x1 =500(m/s)，标准差 s1 =1.10(m/s), 随机地取Ⅱ型
子弹20发, 得到枪口速度的平均值为x 2 =496(m/s)，标
准差 s2 =1.20(m/s),假设两总体都可认为近似地服从正
态分布。且由生产过程可认为方差相等。求两总体均值
差-
机器A生产的管子18只，测得样本方差 s12=0.34( )； 抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差 s2 2 =0.29(mm2)， 设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的管子内
径分别服从正态分布
N（1，
2）和
1
N（2， 22），这里
i
,
2 i
(i
1,2)
均未知，试求两个总体样本方差比
2 1
1 均值差
的置信区间
2
方差比
2 1
2 2
的置信区间
一、均值差
的置信区间
1 因为
所以
均为已知
X
Y～N (1
两个正态总体均值差与方差比的区间估计
第20讲 两个正态总体均值差与方差比的区间估计单侧置信区间教学目的：1. 使学生理解两个正态总体间主要参数之间的关系及有关统计量所服从的分布；2. 使学生理解两个正态总体均值差与方差比的区间估计；3. 使学生理解有关单侧置信区间的问题。
教学重点：两个正态总体均值差与方差比的区间估计。
教学难点：由有关统计量的分布推导出均值差及方差比的区间估计。
教学时数：2学时。
教学过程：第六章 参数估计§6.4两个正态总体均值差与方差比的区间估计1. 两个正态总体均值差的区间估计(1) 设总体),(~211σμN X ，总体),(~222σμN Y ，设21σ及22σ已知，则有),(~1211n N X σμ，),(~2222n N Y σμ，),(~22212121n n N Y X σσμμ+--得)1,0(~)()(22212121N n n Y X σσμμ+---对于已知置信水平α-1，则有ασσμμα-=<+---1)|)()(|(222212121u n n Y X P即122(|()()|)1P X Y u αμμα---<=-所以两个总体均值差21μμ-的α-1置信区间为22(, )X Y u X Y u αα---+（1）（2） 设总体),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，其中21σ及22σ未知，假定2221σσ=，由§5.5定理7知样本函数)2(~11)()(212121-++---=n n t n n S Y X T w μμ其中2)1()1(21222211-+-+-=n n S n S n S w对于已知的置信水平α-1，有αμμα-=-+<+---1))2(11|)()(|(2122121n n t n n S Y X P w即αμμα-=-+⋅⋅+<---1))2(11|)()((|2122121n n t S n n Y X P w 故可得两个总体均值差21μμ-的置信水平为α-1的置信区间为 ))2(11),2(11(2122121221-+⋅⋅++--+⋅⋅+--n n t S n n Y X n n t S n n Y X w w αα （2） 例1 为了估计磷肥对某种农作物的增产作用，分别各选10块土地，分别做施肥和不施肥的试验，设施肥的亩产量),(~211σμN X ，不施肥的亩产量),(~222σμN Y 。
两个总体参数的区间估计
等：1２=2２
1
2 的 (1 )置信区间为：
(x1 x2 ) t (n1 n2 2)
2
s2
s2
p p
n1 n2
其中
s
2
为
p
s
2
p
(n1
1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
@
两个总体参数的区间估计
(3)两个总体都服从正态分布；两个总体方差未知但相等
：1２≠2２
的1 2
@
两个总体参数的区间估计
2.配对样本
(1)(匹配大样本)
假定条件：两个匹配的大样本 sd
di d 2
(Hale Waihona Puke 1)(n1 30和n2 30)
两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平
的置信区间为：
对应差值的均指
对应差值的标准差
@
两个总体均值之差的估计
(2)匹配小样本
假定条件:
▪ 两个匹配的小样本(n1< 30和n2 < 30) ▪ 两个总体各观察值的配对差服从正态分布
@
两个总体比例之差的区间估计
❖ 1.假定条件
▪ 两个总体服从二项分布 ▪ 可以用正态分布来近似 ▪ 两个样本是独立的
❖ 2.两个总体比例之差1- 2在1-置信水平
下的置信区间为
@
统计学
置(1 信 )区间为：
(x1 x2 ) t ( f )
2
s12 s22 n1 n2
f 表示自由度，
( s12
s
2 2
)2
f
n1 n2
(s12 n1 ) 2 (s22 n2 ) 2
n1 1
n2 1
两正态总体方差比的优化置信区间
两正态总体方差比的优化置信区间
优化置信区间主要是用来衡量两正态总体方差比的一种数学方法，即把两假设方差（样本数据方差）认为恒定，然后在给定的置信水平下，估计其比例。
正态总体方差比优化置信区间是一种基于双端检验建立置信区间的方法，通过对两个正态总体方差之间的比率，即方差比进行置信估计。
这种方法使用观测值的中值来表示方差比的置信区间，然后通过根据中心极限定理和检验数据的可信度来估计置信区间范围。
优化置信区间的优点是可以提供有效的方差比估计，可以让研究者对定性数据的多变量关系进行更有效的评估，并准确地进行估计和检验。
此外，优化置信区间也可以帮助研究者根据样本所反映的定量数据关系，来提高研究结果的可靠性和可信度。
总之，优化置信区间主要用于衡量两正态总体方差比。
通过该方法，用户可以在对多变量数据关系进行评估和检验时，获取更高精度的结果和更高可靠度，更有效地开展研究。
两正态总体方差比置信区间
两正态总体方差比的区间估计基于Wolfram Mathematica ,给出了两正态分布Ν[μ1,σ1]、Ν[μ2,σ2]总体方差比σ12 σ22在两总体均值已知和未知条件下的置信区间估计方法。
最后对理论结果进行程序模拟。
设X i ~数值运算N [μ1,σ1],i =1,2,...,n,为正态总体X ~数值运算N [μ1,σ1]的一i.i.d.,样本均值X -=1ni =1nX i ,样本方差S X 2=1n -1i =1nX i -X - 2。
设Y i ~数值运算N [μ2,σ2],i =1,2,...,m,为正态总体Y ~数值运算N [μ2,σ2]的一i.i.d.,样本均值Y -=1mi =1mY i ,样本方差S Y 2=1m -1i =1mY i -Y - 2。
一、两均值已知，方差比的区间估计假设两总体均值μ1和μ2已知。
定理1：∑i =1n (X i -μ1)2σ12 χ2(n ),∑i =1n (Y i -μ2)2σ22χ2(m ).定理2：∑i =1n (X i -μ1)2σ12 n∑i =1n (Y i -μ2)2σ22m=∑i =1n (X i -μ1)2 n ∑i =1n (Y i -μ2)2m σ22σ12F (n,m ).根据定理2，β≤F F (n,m)≤1-α+β解得F β(n,m )≤∑i =1n (X i -μ1)2 n ∑i =1n (Y i -μ2)2m σ22σ12≤F 1-α+β(n,m )得∑i =1n (X i -μ1)2n ∑i =1n (Y i -μ2)2 mF 1-α+β(n,m )≤σ12σ22≤∑i =1n (X i -μ1)/n∑i =1n (Y i -μ2)/mF β(n,m )其区间长度L =∑i =1n (X i -μ1)2 n ∑i =1n (Y i -μ2)2 m-可以证明当0≤β≤α时，有唯一极小值L min 。
取β=α2，可得等尾置信区间：∑i =1n (X i -μ1)/n ∑i =1n (Y i -μ2)/mF 1-α/2(n,m )≤σ12σ22≤∑i =1n (X i -μ1)/n∑i =1n (Y i -μ2)/mF α/2(n,m )其区间长度L 0=∑i =1n (X i -μ1)/n∑i =1n (Y i -μ2)/m-若两均值未知，可用其极大似然值代替，做近似估计。
参数的区间估计
若存在统计量 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n ) 和 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n )， 使得 P {θ θ θ } 1 α， 则称区间 (θ , θ ) 是参数θ 的置信度为1-α的置信区间， θ 和 θ 分别称为置信度 为1-α的置信区间的置信下限和置信上限， 1-α称为置 信度。
第四节
参数的区间估计
一、置信区间和置信度 二、单个正态总体均值和方差的置信区间 三、两个正态总体均值差的置信区间 四、两个正态总体方差比的置信区间
一、置信区间和置信度 P152
1.定义： 设总体X的概率密度为 f ( x , θ )， θ是未知参数， X1,X2,…,Xn为X 的样本，对于事先给定的α (0<α<1)，
（一）总体均值 的估计 2 1. 方差 已知 （X z 2 , X z 2 ）
n n
S S 2. 方差 （X t ( n 1), X t ( n 1) ） n 2 n 2 （二）总体方差n 2的估计 n
2未知
1. 已知
（ i 1
2 ( X μ ) i 2 χα (n)
注： (1)置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间
长度越小，估计的精确度越高. (2)置信度1－α反映了估计的可靠度， 1－α 越大越可
靠. 但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确
度就会降低可靠度. 处理原则： 先保证可靠度（置信度）1－α, 再选置信区间中长 度最小的那个以提高精确度.
二、单个正态总体均值和方差的置信区间
所以，总体均值 的置信度为0.95的置信区间是：
n 7 7 （ 115 1.96 , 115 1.96 ） （110.43 , 119.57） 9 9
第7章 参数估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计
续例) 续例 求补充1中总体标准差 例2 (续例 求补充 中总体标准差σ 的置信度为 0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 解
α
2
975,
n − 1 = 15,
附表2-2 附表
查 χ 2 ( n − 1) 分布表可知 :
= 1 − α,
即
S12 σ12 S12 1 1 P 2 < 2< 2 S2 F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1) S2 Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1) σ 2
2 S12 S1 1 1 2 . , 2 S F (n − 1, n − 1) S F (n1 − 1, n2 − 1) 2 1−α / 2 2 α/2 1 2
注意: 在密度函数不对称时,如χ 2 分布和 F分布, 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ )的情况
2 1 2 2
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n 为
σ 于是得 的一个置信度为1 − α 的置信区间 σ
2 1 2 2
= 1 − α,
例5
2
生产的钢管内径, 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差
为s1 = 0.34(mm 2 ); 抽取机器 生产的管子 13 只, 抽取机器B生产的管子
2 测得样本方差 s 2 = 0.29(mm 2 ). 设两样本相互独
其中
两个正态总体均值及方差比的置信区间
置信区间为决策者提供了关于两个正态总体均值和方差比的不确定性估计。在许多实际应用中，如质量控制、生物统 计和金融等领域，这种不确定性估计对于制定决策和预测具有重要意义。
置信区间的精度
置信区间的精度取决于样本大小、总体分布以及所使用的统计方法的性质。在实践中，为了获得更精确 的置信区间，需要综合考虑这些因素，并选择适当的统计方法。
结合研究背景和实际应用场景，分析结果对实践的指 导意义和价值。
提出改进建议
根据分析结果，提出对未来研究的改进方向和建议。
05
总结与展望
研究成果总结
置信区间的计算方法
通过使用样本数据和适当的统计方法，可以计算出两个正态总体均值和方差比的置信区间。这些方法包括参数方法和 非参数方法，其中参数方法假设数据符合正态分布，而非参数方法则不依赖于数据分布的假设。
两个正态总体均值及 方差比的置信区间
目录
• 引言 • 两个正态总体均值的置信区间 • 两个正态总体方差比的置信区间 • 实际应用案例分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
确定两个正态总体均值和方差比在一 定置信水平下的区间范围，为统计推 断提供依据。
解决实际生活中比较两个总体参数的 问题，如质量控制、医学研究Fra bibliotek经济 分析等领域。
公式：方差比的置信区间计算公式为 $left[frac{sigma_1^2}{sigma_2^2} pm t_{alpha/2,df} cdot sqrt{frac{hat{sigma}_1^2}{hat{sigma}_2^2} cdot left(frac{1}{n_1} + frac{1}{n_2}right)}right]$，其 中 $t_{alpha/2,df}$ 是t分布的临界值，$n_1$ 和 $n_2$ 是两个总体的样本量，$hat{sigma}_1^2$ 和 $hat{sigma}_2^2$ 是两个总体的样本方差。
第五节 正态总体均值与方差的区间估计 7-5
\ 2 的置信度为 1 - a 的置信区间为 2 2 ( n - 1)S ( n - 1)S ( 2 ) ， 2 a / 2 ( n - 1) 1 - a / 2 ( n - 1)
而 的置信度为 1 - a 的置信区间为 (
n - 1S
2 / 2 ( n - 1) a
，
n - 1S
2 1 - a / 2 ( n - 1)
2 2 1 2 的置信区间包含1, 在实际中我们认为 1 , 由于 2
2 两者没有显著差别。 2
17
全章要求
1. 了解点估计的概念， 掌握矩估计法、极大 似然估计法； 2. 了解估计量的评选标准：
无偏性、有效性、一致性。
2 1 n1 + 2 n 2 2
~ N(0,1),
即 可 得 到 1 - 2的 一 个 置 信 度 为 a的 置 信 区 间 12 ( X - Y z a / 2 1 n1 + 2 n 2 ). 2
2. 当 和 均 未 知 时求 1 - 2的 置 信 区 间 ,
2 1 2 2
1
第七章 参 数 估 计
§5.正态总体均值与方差的区间估计
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计: 二. 两个正态总体的区间估计:
2
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:
设总体 ~ N(, ), X1 , X2 , , Xn是一个样本 X .
2
1 .当 2 已知时，求 的置信区间。 X - 选取 Z = n
本题中的置信下限大于零，实际中可认为μ1比μ2大。
13
三. 两个总体方差比的置信区间:
仅讨论总体均值 1 , 2 未知的 情况，由于
2 ( n1 - 1) S1
《应用统计学》第6章：置信区间估计
89.98，89.97，90.00，90.01，89.99
(
)
S求2 σ 02 .的01置8信532度为 95% 的置信区间。
10
二. 总体均值μ的区间估计
1. 标准正态分布的右侧 分位点 Z
Z 是标准正态分布中满足下式的右侧分位点：
P{ Z > Z } =
f (x)
1-
0
z x
如图所示， ( Z )=1- ，因此， 可由正态分布表
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
17
4. 2 未知时总体均值 μ 的区间估计
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
其中 d 称为估计的允许误差。
12
用 Excel 求 Zα
可用 Excel 的统计函数 NORMSINV 返回 Z 。 语法规则如下：
格式：NORMSINV(1-)
功能： 返回 Z 的值。
说明： NORMSINV() 返回的是 Z1- 的值。
13
3. t 分布
设 X～N(0, 1)，Y～ 2(n)， 且 X 与 Y 相互
得到 Z 。 如：要查 Z0.025， 由正态分布表可查得：
(1.96) = 0.975 = 1-0.025， 故 Z0.025 =1.96
11
2.σ 2 已知时总体均值μ的区间估计
由正态分布的性质可得
Z X ～N(0,1)
/ n
/2
对给定的置信度1-， 有
f (x)
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例3 为比较І, ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取І型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为
x1 500(m / s),标准差 s1 1.10(m / s), 随机地取ІІ 型子弹20发, 得枪口速度平均值为 x2 496(m / s), 标准差 s2 1.20(m / s), 假设两总体都可认为近似 地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差
总体的样本均值, S12 , S22分别是第一、二个总体
的样本方差.
讨论两个正态总体均值差和方差比的估计问题.
1. 两个总体均值差1 2 的置信区间
(1)
2 1
和
2 2
均为已知
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X
Y
z / 2
2 1
n1
2 2
n2
.
相等, 求两总体均值差 1 2的置信度为0.95的置
信区间.
解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
0.025,
2
n1 10, n2 20,
n1 n2 2 28,
查 t(n 1) 分布表可知 : t0.025(28) 2.0484,
sw 2
9 1.102
.
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1. 两正态总体均值差1 2的置信区间
2.
两
个
总
体
方
差
比
2 1
的置信区间
22
3. 小结
设给定置信度为1 , 并设 X1, X2 ,, Xn 为
第
一个总
体
N
(
1
,
2 1
)的样
本,
Y1
,Y2
,,Yn
为第
二
个总体 N (2 , 22 )的样本, X ,Y分别是第一、二个
s
2 w
4( s12
s
2 2
)
(5.96)2
8
得 1 2 的一个置信水平为0.90的置信区间为
11.16 1.8595 5.96
1 5
1 5
(11.16
7.01)
即 （－18.17，－4.15）.
这个区间的上限小于零，在实际中我们就认为1比2小。
的近似
置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
2 2
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
( n1
推导过程如下:
因为 X , Y 分别是 1, 2 的无偏估计, 所以 X Y 是 1 2 的无偏估计,
由X,
Y
的独立性及
X
~
N
1
,
2 1
n1
,
可知
X
Y
~
N
1
2
,
2 1
n1
2 2
n2
,
或 X Y 1 2 ~ N 0, 1,
由 X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.得所求 1
2
的一个置信水 平为0.95的置信区间为
x y t0.025 (n1 n2 2)sw
1 n1
1 n2
(43.71 - 39.63 2.1448 6.71 16 / 63) ,
样本标准差 s1 5.88 s2 7.68
解 现在 1 0.95 , / 2 0.025 ,
t0.025 (n1 n2 2) t0.025 (14) 2.1448.
sw2
(n1
1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
8 5.882 6 7.682 6.712. 14
3. 单个正态总体均值 的置信区间
(1)
2为已知,
X
n
z
/
2
.
(2)
2为未知, X
S n
t
/
2
(
n
1)
.
4. 单个正态总体方差 2 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,Leabharlann (n2 1
/2
1)S 2 (n 1)
平为0.90的置信区间。
，
解 现在 n1 n2 5 , 1 0.90, / 2 0.05, t0.05(5 5 2) 1.8595.
经计算 x 165.62, s1 6.05, y 176.78,
s2 5.86,
x y 11.16,
19 1.202 28
,
sw
Sw2 1.1688,
于是得 1 2的一个置信度为0.95的置信区间
（和体N 重）(·分2钟,。2设)数， 两据两分总别体来方自差正相态同总，体样N本(相互1 ,独立2，) 1， 2， 2均未知。求两总体均值差 1 2
的置信水平为0.95的置信区间。
连续训练 间断训练
样本容量 样本均值
n1 9
n2 7
x 43.71 y 39.63
即 （4.08±7.25）＝（－3.17，11.33）.
例2 测得两个民族中各5位成年人的身高 （以cm计）如下
A民族 162.6 170.2 172.7 165.1 157.5 B民族 175.3 177.8 167.6 180.3 182.9
，
设样本分别来自总体 N (1, 2 ) , N (2 , 2 ) , 1 , 2 , 2 未知，两样本独立，求 1 2 的置信水
1) S12 n1
(n2 1)S22 n2 2
,
Sw
Sw2 .
例1. 耗氧率是跑步运动员生理活力的一个重要测度。 文献中报导了大学生男运动员的两种不同的训练方法， 一种是在一定时段内每日连续训练；另一种是间断训练 （两种训练方法总训时间相同）。下面给出了两种不同 训练方法下的实测数据。单位为毫升（氧）/千克
2 1
2 2
n1 n2
Y
~
N
2
,
22
n2
,
于是得 1 2的一个置信度为1 的置信区间
X
Y
z / 2
2 1
n1
2 2
n2
.
(2) 12和 22均为未知, 只要n1和n2都很大( 50即可), 则有
1
的一个置信
2
度为1