材料力学第五章弯曲应力
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(Normal stresses of the beam in nonuniform bending) 一、横力弯曲(Nonuniform bending)
当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在 此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力
使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压
20
80
F1=9kN
F2=4kN
y1
A C
z
B
D
1m
1m
1m
120
y2
20
y2
y1
FRA A
z
F1=9kN FRB F2=4kN 解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m
1m
2.5kN
BD
M C 2.5kN m
1m
最大负弯矩在截面B上
-
+
M B 4kN m
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
dx
d
图（a）
OO
zb
Oy x b
y
图（b）
O’
x
O’
b’
b’
z
y 图（c）
bb ( y)d
( y)d d y
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
三、强度条件（Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.
1.数学表达式（Mathematical formula)
σmax
M max W
[σ]
2.强度条件的应用(Application of strength condition)
A
y
zσdA 0 （2）
A
Mz
AdM z
yσdA M（3）
A
My
y
dFN σdA
dM y z dA dMz y dA
将应力表达式代入（1）式，得
FN
E ydA 0
A
E
A
ydA
0
Sz
ydA 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入（2）式，得
M y
zE ydA 0
横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)
F
F
三、纯弯曲（Pure bending)
A
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
B
D
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
a
称为纯弯曲.
F
+
简支梁CD段任一横截面上，剪 力等于零，而弯矩为常量，所以该段
+
F Fa
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
§5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA
FRB
F
解：（1）作出弯矩图的最大弯
A
矩为Fa； （2）求惯性矩，抗弯截面系数
B
C
2a
a
Fa
Iz
( 3cm )( 2cm )3 12
(1.4cm )( 2cm )3 12
1.07cm 4
Wz
Iz ymax
1.07cm4 1cm
d
bb dx OO O'O' d
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
三、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law σ Eε M
z
所以 σ E y
?
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
σmax
σmax
M
M
y max max
Iyz
max max
Iz
σ
b 但对于塑性材料，通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
因此：
强度条件可以表示为
σmax
M max wz
σ
2、脆性材料 抗拉压强度不等。
由于脆性材料抗压不抗拉， 通常将梁做成T形、倒T形等 关于中性轴不对称的截面。
只有与正应力有关的法向内力元素
dFN = dA 才能合成弯矩.
内力 剪力FS 弯矩M
切应力 正应力
所以，在梁的横截面上一般既有正应力，
又有切应力.
mM
m FS
m
m FS m M
m
二、分析方法 (Analysis method)
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)
平面弯曲时横截面
各危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,maxMIzyc c
四个强度条件表达式
上下非对称的脆性材料梁强度校核问题注意： 1.最大正弯矩M1要校核； 2.最大负弯矩M2也要校核； 3.M1和M2中绝对值大的，拉和压都要校核，另外一个则只 需校核y大的那个应力（有可能是拉，也有可能是压）
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
注意
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
弯矩画在受压侧，可根据弯矩正负号确定是拉还是压。
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布； （4）中性轴上正应力为零，
1.在弹性范围内 (All stresses in the beam are below the proportional limit)
2.具有切应力的梁（The beam with the shear stress） l / h 5
3.平面弯曲（Plane bending）
4.直梁（Straight beams）
h
d
z y
b
z y
D d
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax和 yt max 直接代入公式
σ My Iz
σcmax
ycmax yt max
M
z
y
σ tmax
σtmax Mytmax Iz
σcmax
Mycmax Iz
§5-3 横力弯曲时的正应力
（1） 强度校核 Mmax [σ] （2）设计截面 W Mmax
W
[σ]
（3）确定许可载荷 M max W [σ ]
对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] [σc ]
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
σtmax [σt]
σcmax [σc ]
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
Chapter5 Stresses in beams
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§5-1 引言 ( Introduction) §5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams ) §5-3 横力弯曲时的正应力(Normal
stresses in transverse bending ) §5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses
的距离成正比.
待解决问题
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径
四、静力关系 (Static relationship）
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
内力与外力相平衡可得
Mz
z
O dA
x
y
σdA
FN
FN
A dFN
σdA 0
A
（1）
M y
dM
引用记号 W Iz —抗弯截面系数
ymax
则公式改写为
σmax
M W
（1）当中性轴为对称轴时
实心圆截面 W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
空心圆截面 W πD3 (1 4 )
32
α d D
B截面
4kN
σtmax M B y1 27.2MPa [σt]
80
Iz
20
σcmax M B y2 46.2MPa [σc] Iz
C截面
120
20
σ t max
MC y2 Iz
28.8MPa
[σt]
1、塑性材料 抗拉压强度相等
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
纵向线 且各靠纵近向顶线端段的弯纵成向弧线线缩，短， 靠近底端的纵向线段伸长
横向线 各横向线仍保持为直线，
θ
相对转过了一个角度,
仍与变形后的纵向弧线垂直
2.提出假设 ( Assumptions） （a）平面假设：变形前为平面的横截面
变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.
系
of deformation
物
理
关
Distribution regularity
系
of stress
静
力
关
Establish the formula
系
观察变形， 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
1、实验（ Experiment）
（1）变形现象（Deformation phenomenon )
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
§5-1 引言 (Introduction)
一、弯曲构件横截面上的应力
(Stresses in flexural members)
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS. 只有与切应力有关的切向内力元素
dFS = dA 才能合成剪力；
σmax
M max Wz
Fl
1 6
bh2
6Fl bh2
y z
§5-4 梁的切应力及强度条件
一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beams）
1.矩形截面梁(Beam of rectangular cross section) （1）两个假设(Two assumptions)
in beams and strength condition) §5-5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)
伽利略 Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在 离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。
① 脆性材料梁的危险截面与危险点
上压下拉
M
M
或者
危险截面只有一个。
危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,m
ax
Myc Iz
c
上拉下压
二个强度条件表达式
② 脆性材料梁的危险截面与危险点 M
危险截面有二个； 每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
讨论
（1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情
况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）；
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
σmax M ymax Iz
例题3 由 n 片薄片组成的梁，当每 片间的磨擦力甚小时，每一薄片就
l
F
独立弯曲，近似地认为每片上承担
h
z
的外力等于 F / n
解：每一薄片中的最大正应力
b
l
F
σmax
M max Wz
F l n 1 b (h)2
6Fl bh2
n
6n
h
z
bБайду номын сангаас
若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲
最大正应力等于
A
E yzdA 0
A
I yz
yzdA 0
A
中性轴为主惯性轴,自然满足
将应力表达式代入(3)式，得
y
Mz
yE dA M
A
E y2dA M
A
1 M
E Iz
E
Iz
M
将
1 M
EIz
代入
σE y
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
σ My Iz
M为梁横截面上的弯矩；
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
1.07cm3
（3）求许可载荷
Fa Wz[σ]
Mmax Wz[σ]
F Wz[σ] 3kN a
+
φ14 φ30
20
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用
拉应力为 [t] = 30MPa ，许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面
对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.
应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立. 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表
明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ M ( x) W
二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula )
当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在 此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力
使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压
20
80
F1=9kN
F2=4kN
y1
A C
z
B
D
1m
1m
1m
120
y2
20
y2
y1
FRA A
z
F1=9kN FRB F2=4kN 解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m
1m
2.5kN
BD
M C 2.5kN m
1m
最大负弯矩在截面B上
-
+
M B 4kN m
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
dx
d
图（a）
OO
zb
Oy x b
y
图（b）
O’
x
O’
b’
b’
z
y 图（c）
bb ( y)d
( y)d d y
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
三、强度条件（Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.
1.数学表达式（Mathematical formula)
σmax
M max W
[σ]
2.强度条件的应用(Application of strength condition)
A
y
zσdA 0 （2）
A
Mz
AdM z
yσdA M（3）
A
My
y
dFN σdA
dM y z dA dMz y dA
将应力表达式代入（1）式，得
FN
E ydA 0
A
E
A
ydA
0
Sz
ydA 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入（2）式，得
M y
zE ydA 0
横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)
F
F
三、纯弯曲（Pure bending)
A
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
B
D
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
a
称为纯弯曲.
F
+
简支梁CD段任一横截面上，剪 力等于零，而弯矩为常量，所以该段
+
F Fa
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
§5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA
FRB
F
解：（1）作出弯矩图的最大弯
A
矩为Fa； （2）求惯性矩，抗弯截面系数
B
C
2a
a
Fa
Iz
( 3cm )( 2cm )3 12
(1.4cm )( 2cm )3 12
1.07cm 4
Wz
Iz ymax
1.07cm4 1cm
d
bb dx OO O'O' d
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
三、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law σ Eε M
z
所以 σ E y
?
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
σmax
σmax
M
M
y max max
Iyz
max max
Iz
σ
b 但对于塑性材料，通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
因此：
强度条件可以表示为
σmax
M max wz
σ
2、脆性材料 抗拉压强度不等。
由于脆性材料抗压不抗拉， 通常将梁做成T形、倒T形等 关于中性轴不对称的截面。
只有与正应力有关的法向内力元素
dFN = dA 才能合成弯矩.
内力 剪力FS 弯矩M
切应力 正应力
所以，在梁的横截面上一般既有正应力，
又有切应力.
mM
m FS
m
m FS m M
m
二、分析方法 (Analysis method)
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)
平面弯曲时横截面
各危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,maxMIzyc c
四个强度条件表达式
上下非对称的脆性材料梁强度校核问题注意： 1.最大正弯矩M1要校核； 2.最大负弯矩M2也要校核； 3.M1和M2中绝对值大的，拉和压都要校核，另外一个则只 需校核y大的那个应力（有可能是拉，也有可能是压）
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
注意
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
弯矩画在受压侧，可根据弯矩正负号确定是拉还是压。
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布； （4）中性轴上正应力为零，
1.在弹性范围内 (All stresses in the beam are below the proportional limit)
2.具有切应力的梁（The beam with the shear stress） l / h 5
3.平面弯曲（Plane bending）
4.直梁（Straight beams）
h
d
z y
b
z y
D d
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax和 yt max 直接代入公式
σ My Iz
σcmax
ycmax yt max
M
z
y
σ tmax
σtmax Mytmax Iz
σcmax
Mycmax Iz
§5-3 横力弯曲时的正应力
（1） 强度校核 Mmax [σ] （2）设计截面 W Mmax
W
[σ]
（3）确定许可载荷 M max W [σ ]
对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] [σc ]
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
σtmax [σt]
σcmax [σc ]
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
Chapter5 Stresses in beams
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§5-1 引言 ( Introduction) §5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams ) §5-3 横力弯曲时的正应力(Normal
stresses in transverse bending ) §5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses
的距离成正比.
待解决问题
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径
四、静力关系 (Static relationship）
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
内力与外力相平衡可得
Mz
z
O dA
x
y
σdA
FN
FN
A dFN
σdA 0
A
（1）
M y
dM
引用记号 W Iz —抗弯截面系数
ymax
则公式改写为
σmax
M W
（1）当中性轴为对称轴时
实心圆截面 W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
空心圆截面 W πD3 (1 4 )
32
α d D
B截面
4kN
σtmax M B y1 27.2MPa [σt]
80
Iz
20
σcmax M B y2 46.2MPa [σc] Iz
C截面
120
20
σ t max
MC y2 Iz
28.8MPa
[σt]
1、塑性材料 抗拉压强度相等
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
纵向线 且各靠纵近向顶线端段的弯纵成向弧线线缩，短， 靠近底端的纵向线段伸长
横向线 各横向线仍保持为直线，
θ
相对转过了一个角度,
仍与变形后的纵向弧线垂直
2.提出假设 ( Assumptions） （a）平面假设：变形前为平面的横截面
变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.
系
of deformation
物
理
关
Distribution regularity
系
of stress
静
力
关
Establish the formula
系
观察变形， 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
1、实验（ Experiment）
（1）变形现象（Deformation phenomenon )
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
§5-1 引言 (Introduction)
一、弯曲构件横截面上的应力
(Stresses in flexural members)
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS. 只有与切应力有关的切向内力元素
dFS = dA 才能合成剪力；
σmax
M max Wz
Fl
1 6
bh2
6Fl bh2
y z
§5-4 梁的切应力及强度条件
一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beams）
1.矩形截面梁(Beam of rectangular cross section) （1）两个假设(Two assumptions)
in beams and strength condition) §5-5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)
伽利略 Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在 离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。
① 脆性材料梁的危险截面与危险点
上压下拉
M
M
或者
危险截面只有一个。
危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,m
ax
Myc Iz
c
上拉下压
二个强度条件表达式
② 脆性材料梁的危险截面与危险点 M
危险截面有二个； 每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
讨论
（1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情
况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）；
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
σmax M ymax Iz
例题3 由 n 片薄片组成的梁，当每 片间的磨擦力甚小时，每一薄片就
l
F
独立弯曲，近似地认为每片上承担
h
z
的外力等于 F / n
解：每一薄片中的最大正应力
b
l
F
σmax
M max Wz
F l n 1 b (h)2
6Fl bh2
n
6n
h
z
bБайду номын сангаас
若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲
最大正应力等于
A
E yzdA 0
A
I yz
yzdA 0
A
中性轴为主惯性轴,自然满足
将应力表达式代入(3)式，得
y
Mz
yE dA M
A
E y2dA M
A
1 M
E Iz
E
Iz
M
将
1 M
EIz
代入
σE y
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
σ My Iz
M为梁横截面上的弯矩；
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
1.07cm3
（3）求许可载荷
Fa Wz[σ]
Mmax Wz[σ]
F Wz[σ] 3kN a
+
φ14 φ30
20
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用
拉应力为 [t] = 30MPa ，许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面
对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.
应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立. 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表
明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ M ( x) W
二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula )