向量投影

OM1=(x1,y1,z1)，
x
i
o
j
y
所以 M1M2 =(x2,y2,z2) - (x1,y1,z1)
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
由上例知：对于空间任意两定点为M1(x1,y1,z1） 和M2(x2,y2,z2)，
向量M1M2的坐标分解式：
例 4 在 l 轴上取定一点 o 作为坐标原点． 设 A, B , 是 l 轴上坐标依次为 u1 , u2 的两个点，e 是与 l 轴同方向的单位向量，证明 AB ( u2 u1 )e .
证
OA u1 ,
wenku.baidu.com
o
e
1
A u1
B u2
l
故 OA u1e , 同理， OB u2e , 于是
§ 2.2
向量的投影及坐标表示
一、 向量的投影及其性质 二、 空间直角坐标与点的坐标 三、 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标 四、 向量的模、方向角和方向余弦 五、 小结
一、 向量的投影及其性质
定义6 设有一轴 l，AB 是轴 l 上的有向线段 .
A B
l
如果数 满足 AB ，且当 AB 与 l 轴同 向时 是正的，当 AB 与 l 轴反向时 是负的， 那末数 叫做轴 l 上有向线段 AB 的值，记作 AB，即 AB.
设 e 是与 l 轴同方向的单位向量，
AB ( AB )e .
o
e
1
A
B
l
设 A, B , C 是 l 轴上任意三点，不论这 三点 的相互位置如何，
AC AB BC,
即 ( AC )e ( AB)e ( BC )e ( AB BC )e ,
AC AB BC.
向量的投影具有下列性质： 性质1 (投影定理)
向量 AB 在轴 l 上的投影等于向量的模乘 以轴与向量的夹角的余弦： Pr jl AB | AB | cos 证 Pr jl AB Pr jl ' AB B
A

A
B
B
l' l
| AB | cos
性质1的说明：
(1) 0 , 投影为正； 2

z
竖轴
y 纵轴
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z
竖轴
即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指从 x 正向轴以角 2 度转向 y 轴正向时，大拇指的指 向就是 z 轴的正向.
定点 o 横轴 x

y 纵轴
这样的三条坐标轴就 组成了一个空间直角坐标 系.点O叫做坐标原点(或 原点).
空间直角坐标系
y
z
在坐标轴ox、oy、 oz上，以O为起点分 别取三个单位向量i、 j、k,其方向与三坐标 轴的正向相同，称它 们为基本单位向量. 显然， OM =xi+yi+zk，x 其中x,y,z是向径OM在坐标轴上的投影， 也就是终点M的坐标.
C
i
k
M
j
A
o
B
y
定义10 设空间直角坐标系中有向量α，把 它平移，使起点移到坐标原点，M为向量α的 终点，则终点 M 的坐标 x 、 y 、 z 也叫做向量 α 的坐标 . 记作 α=xi+yj+zk=(x,y,z) ， 它叫做向量 z 的坐标形式. α= xi+yj+zk 中 xi, yj, zk 分别叫做向量α k C M 在 x 轴、y 轴、z 轴 上的分向量.xi+yj+zk B o j 的称为α坐标分解式。 i A
=λ Prjlα ；
α
φ1 = φ φ1=π- φ λ <0
当λ =0时
λ α
Prj(λ α)= 0 =λ Prjlα ；
二、空间直角坐标系与点的坐标
过空间一个定点O， 作三条互相垂直的数轴， 它们都以O为原点，且一 般具有相同的长度单位. 这三条轴分别叫 做x轴(横轴)、y轴 (纵轴)、z轴(竖轴)； 横轴 x 统称为坐标轴.通常 把x轴和y轴配置在水 平面上，而z轴则是 铅垂线； 定点 o
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
例 设 P 在x 轴上，它到P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为到点
当λ >0时，φ1=φ
由性质1， Prj(λ α)=|λ α|cos(φ1) =λ |α|cosφ =λ Prjlα ； λ α α
λ >0
φ1 = φ φ1=π- φ λ <0
当λ <0时 φ1=π -φ Prj(λ α)=|λ |.|α|cos(φ1)
λ α λ >0
=-λ |α|(-cosφ)

C
A
B
l
推广： Pr j ( ... ) Pr j Pr j ... Pr j .
性质3
向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴 上的投影与数的乘积，即 Prjlα =λ Prjlα 证 设α与l 轴的夹角为 φ， λα与l轴的夹角为 φ1， λ α

A
l
л
A
空间一向量在轴上的投影
定义9 已知向量 AB 的 起 点 A 和 终 点 B 在 B 轴 l 上的投影分别为 A’ A 和 B’ ，那末轴 l 上的有 向 线 段 A’B’ 的 值 A’B’ 叫 A B l 做向量 AB 在轴 l 上的投 影. l 向量 AB 在轴 l 的投影记为 Pr jl AB 或 （AB） 即 Pr jl AB =A’B’ ， 轴l叫做投影轴

α
(0 )
A
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
空间一点在轴上的投影
定义 8 设已知空间 一点A以及一轴 l，通过 点A作轴 l 的垂直平面π ， 那么平面π 与轴 l 的交点 A′叫做点A在轴 l上的投 影.
AB OB OA u2e u1e ( u2 u1 )e .
定义7 设有两个非零向量α，β，任取 空间一点O，作OA=α,OB=β，规定不超过 π 的∠AOB(设φ =∠AOB，O≤φ ≤π )称为 B 向量α与β的夹角 .
记作 ( , ) ( , )
β o

C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
o
Q(0, y ,0)
y
x
P ( x ,0,0)
A( x , y ,0)
空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
R
M1
M2
d M1 M 2 ?
x
y
注意 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标 轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别: 向量α在坐标轴上的投影是三个数 x、y、z, 而向量α在坐标轴上的分向量是三个向量： xi = (x,0,0) , yj = (0,y,0), zk= ( 0,0,z ).
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及 向量与数的乘法的运算如下： 设α =x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), β =x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2). 则有： α +β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k =(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k =(x1-x2 , y1- -y2 , z1-z2)
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
三、 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标
我们把起点在坐标原点的向量r =OM称为 z 点M的向径 . 向量 OM 在坐标 轴上的投影向量分别 C M 为 OA 、 OB 、 OC, 它 们 称 为 向 量 OM 在 x B o 轴、 y 轴和 z 轴上的分 A 向量. x
解 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点，
z
AM { x x1 , y y1 , z z1 } MB { x2 x, y2 y, z2 z }
A
M

B y
o
x
由题意知： AM MB
{ x x1 , y y1 , z z1 } { x2 x , y2 y, z2 z }, x1 x2 x x1 ( x2 x ) x , 1 y y 1 2 y y1 ( y2 y ) y , 1 z z 1 2 z z1 ( z2 z ) z , 1 M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时， x1 x2 y1 y2 z1 z2 x , y , z . 2 2 2
特殊地： OM （x , y , z）
设 α x1 , y1 , z1 , β x2 , y2 , z2
于是：
αβ
x1 , y1 , z1 x2 , y2 , z2
β λα
α 时 β ∥α
x 2 y2 z 2 λ x1 y1 z1 当 x1 ,y1 ,z1之一为0， x1 x2 0 如 x1=0 , y1 , z 1 时,平行应理解为： y2 z2 λ y1 z1 当 x1 ,y1 ,z1有两 个为0， x1 x2 0 平行应理解为： y y 0 如 x1=y1=0, z1 时， 1 2
( 2) , 投影为负； 2 ( 3) , 投影为零； 2
γ
α
β

u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
性质2 两个向量的和在轴上的投影等于两个 向量在该轴上的投影之和. Pr j ( ) Pr j Pr j . 由下面图形很容易证明该性质.
A
C

B
（x2,y2 ,z2)=λ (x1 ,y1,z1)


例 7
设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知
M 分有向线段AB 为两 点， 而在 AB 直线上的点
部 分 AM 、 MB ，使它们的值 的 比 等 于 某 数
AM ，求分点的坐标. ( 1) ，即 MB
空间直角坐标系的八个卦限 Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅰ
x
Ⅴ
Ⅵ
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
坐标面上的点 A, B , C , z
R(0,0, z )
1 1
O ( 0, 0, 0 )
B(0, y , z )
P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
λ α =λ (x1+y1j+z1k) =λx1i+λy1j+λz1k =(λx1 ,λy1 ,λz1) (λ 为实数)
例6 两定点为M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)， 求向量M1M2的坐标.
z
解
由向量的三角形法则可得
M1M2=OM2-OM1，
k
M1

M2
而OM2=(x2,y2,z2),
M1 M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
在三个坐标轴上的分向量： ( x2 x1 )i， ( y2 y1 ) j， ( z2 z1 )k 向量的坐标： ( x2 x1，y2 y1，z2 z1）
向量的坐标表达式：
M1 M 2 ( x2 x1，y2 y1，z2 z1 )
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M1 P PN NM 2 ,
2
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2