傅里叶变换的性质

∫−
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ←→ j dΩ
FT
例如： 例如： du (t ) (t
dt
对应的傅里叶变换
= δ (t )
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ(Ω) + =1 δ(t ) ←→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如： 再例如：
1 d [ πδ ( Ω ) + ] jΩ FT tu ( t ) ← → j dΩ
= j π δ ′( Ω ) −
1 Ω2
七、反褶与共轭特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ( − t ) ← → X ( − j Ω ) FT x * ( t ) ← → X * ( − j Ω )
由傅里叶变换公式很容易证明。 由傅里叶变换公式很容易证明。 奇偶、 八、奇偶、虚实性 1、实信号 、
FT x(t ) = x* (t ) ←→ X ( jΩ) = X * (− jΩ)
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
六、微分特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ′( t ) ← → j Ω X ( j Ω )
------时域微分性 时域微分性 ------频域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← → dΩ
FT
因为， 因为，由傅里叶反变换公式 等号两边同时对时间t求导数 等号两边同时对时间 求导数
二、时频对偶性 设 FT x(t ) ←→ X ( jΩ) 则
FT X ( jt ) ←→ 2πx(−Ω)
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
t
2π τ
Ω
τ
X ( jt )
x(Ω)
2π
是偶对称的， 若x(t)是偶对称的，则 是偶对称的
FT X ( jt ) ←→ 2πx(Ω)
2π τ
2π τ
Ω
τ 2
τ τ τ − jΩ 2 ℱ x (t − ) = τ Sa ( Ω ) e 2 2
−Ω
2π τ
−π
Ω
τ 2
信号经过时移后， 信号经过时移后，其对应的频 谱（傅里叶变换）中的振幅频谱没 傅里叶变换） 有变化， 有变化，只是相位频谱增加了一个 线性变化的分量。 相对于频率 线性变化的分量。
1 2
Ωc
Ω0
2Ω 0
Ω
利用频移特性，可以求得正、余弦信号的傅里叶变换。 利用频移特性，可以求得正、余弦信号的傅里叶变换。 已知直流信号的傅里叶变换是强度为2π的冲激， 已知直流信号的傅里叶变换是强度为 的冲激， 的冲激 ℱ{cosΩ0t} FT
1 ←→ 2 πδ ( Ω )
(π) (π)
根据频移特性
x(t) ← → X ( jΩ)
FT
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
τ X ( jΩ) = τSa(Ω ) 2
τ τ x(2t) ← → Sa(Ω ) 2 4
FT
t
2π τ
Ω
x(2t )
1
τ −4 τ 4
τ 2
1 Ω X( j ) 2 2
t
2τ
4π τ
Ω
2 X ( j 2Ω)
1 t FT x( ) ← →2τSa(Ωτ) 2 −τ
t x( ) 2
τ
t
π τ
Ω
从上例可清楚地看出，信号的时间波形宽度变窄， 从上例可清楚地看出，信号的时间波形宽度变窄，频 率波形的宽度就变宽；反之，频率波形的宽度就变窄。 率波形的宽度就变宽；反之，频率波形的宽度就变窄。
x(t )
x ( 0)
X ( jΩ )
X ( j 0)
τ −2
τ 2
t
−B 2
−∞
X ( jΩ ) dΩ = [ ∫ X ( jΩ )e jΩt dΩ ]t = 0 = 2 πx (0) ∫
−∞∞所以有B ⋅ Nhomakorabeaτ = 2π
2π B= τ
•即信号的时宽频宽积等于 即信号的时宽频宽积 即信号的时宽频宽积等于 常量， 常量，或频宽与时宽成反 比关系。 比关系。
四、时移特性 设 则 因为
τ a
因为，当a>0 因为，
1 − jΩ t ∫∞ x ( at ) e dt = a −
−∞
∫ x (τ)e
∞
− jΩ
1 Ω dτ = X ( j ) a a
同样， 同样，当a<0
1 − jΩ t ∫∞ x ( at ) e dt = − a −
∞ −∞
∫ x (τ)e
− jΩ
τ a
1 Ω dτ = X(j ) −a a
1⋅ e
jΩ 0 t
− Ω0
FT
Ω0
jℱ
Ω
←→ 2 πδ ( Ω − Ω 0 )
{sin Ω0t}
(π)
− Ω0
( − π)
于是， 于是，正、余弦信号的傅里叶变换
cos Ω 0 t =
Ω0
Ω
1 jΩ 0 t FT (e + e − jΩ 0 t ) ←→ π[ δ ( Ω − Ω 0 ) + δ ( Ω + Ω 0 )] 2 1 FT sin Ω 0 t = ( e jΩ 0 t − e − jΩ 0 t ) ←→ jπ[ δ ( Ω + Ω 0 ) − δ ( Ω − Ω 0 )] 2j
B 2
Ω
如上图，假设实线图形表示一对傅里叶变换，虚线图形 如上图，假设实线图形表示一对傅里叶变换， 是面积与对应实线图形相等的矩形。 是面积与对应实线图形相等的矩形。时间图形中的矩形宽 度τ，称为对应波形的等效脉冲宽度，简称脉宽或时宽； ，称为对应波形的等效脉冲宽度，简称脉宽或时宽； 频域图形中的矩形宽度B，称为对应波形的等效频带宽度， 频域图形中的矩形宽度 ，称为对应波形的等效频带宽度， 简称频宽。 简称频宽。
ℱ {x ( t − t 0 )} =
∞ −∞
∫ x (τ)e
− jΩ ( τ + t 0 )
= e − jΩ t 0 dτ
∞
−∞
∫
x ( τ ) e − jΩ τ d τ
= X ( j Ω ) e − jΩ t 0
x(t )
1
τ −2 τ 2
1
t
τ x(t − ) 2
τ 2
τ
X ( jΩ )
τ t
x(t ) jΩ 0t x(t ) cos Ω 0t = ( e + e − jΩ 0 t ) 2
1 = [ x(t )e jΩ0t + x(t )e − jΩ0t ] 2
cos Ω 0t
t
x(t )
t
其傅里叶变换
ℱ{x ( t ) cos Ω 0 t }
1 = { X [ j (Ω − Ω 0 )] + X [ j (Ω + Ω 0 )]} 2
∞ −∞ ∞
∫
x ( t ) e − j Ω t dt
−∞
∫
X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
展缩（尺度变换） 三、展缩（尺度变换）特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ)
1 Ω x(at ) ←→ X ( j ) a a
FT
∞ ∞
为非零实常数） （a为非零实常数） 为非零实常数
于是
X * (− jΩ) = X (− jΩ) e − jϕ( − Ω ) = X R (−Ω) − jX I (−Ω)
所以， 是实信号， 所以，当x(t)是实信号，就有 是实信号
1 x ′( t ) = 2π
∞ −∞
−∞
∫
X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
∫
j Ω X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
同样， 同样，由傅里叶正变换公式 两边同时对角频率 求导数可得
dX ( j Ω ) = dΩ
∞
X ( jΩ ) =
∞
−∞
x ( t ) e − jΩ t dt ∫
−∞
§3-5 傅里叶变换的基本性质
信号的时间函数式与其傅里叶变换， 信号的时间函数式与其傅里叶变换，分别从时域和频 域对同一信号进行了描述。 域对同一信号进行了描述。傅里叶变换的性质就建立起信 号时间特性和频率特性之间的对应关系。 号时间特性和频率特性之间的对应关系。理解和掌握这些 性质，对以后的学习至关重要。 性质，对以后的学习至关重要。 一、线性 设 则
x(t ) cos Ω 0t
t
若设信号x(t)的傅里叶变换如图： 若设信号 的傅里叶变换如图： 的傅里叶变换如图
x(t )
1
X ( jΩ )
t
Ω
x(t)cos
t的傅里叶变换就应该如下图所示 的傅里叶变换就应该如下图所示： 0t的傅里叶变换就应该如下图所示：
x(t ) cos Ω 0t
1 2
ℱ {x (t ) cos Ω 0 t } t
t
τ −2
τ 2
Ω
x(t)
X ( jΩ )
1
例如： 例如：
(1)
FT δ(t ) ←→1
0
t
X ( jt )
0
Ω
FT 1←→ 2πδ(Ω)
1 0
(2π)
x(Ω)
Ω
t
0
事实上，这个性质是出自于傅里叶正、 事实上，这个性质是出自于傅里叶正、反变换公式的 对称关系
X ( jΩ ) = 1 x (t ) = 2π
x(t ) cos Ω 0t
t
x(t )
y (t ) = x(t ) cos Ω 0t cos Ω 0t
ℱ {x (t ) cos Ω 0 t }
1 2
− Ω0
Ω0
Ω
由已调信号恢复基带信号的过程，称为解调。 由已调信号恢复基带信号的过程，称为解调。对于以 解调 正弦信号为载波的调幅波，解调与调制过程类似： 正弦信号为载波的调幅波，解调与调制过程类似：让已 调信号与其载波频率相同的正弦波相乘， 调信号与其载波频率相同的正弦波相乘，再通过一频率 选择性滤波器。 选择性滤波器。
−∞
∫
x ( t ) e − j ( Ω − Ω 0 ) t dt
= X [ j ( Ω − Ω 0 )]
同样道理
FT x ( t ) e − jΩ 0 t ← → X [ j ( Ω + Ω 0 )]
设信号x(t)与一等幅正弦波相乘， 设信号 与一等幅正弦波相乘， 与一等幅正弦波相乘 其波形如图： 其波形如图：
ℱ {x ( t − t 0 )} =
FT x(t ) ←→ X ( jΩ)
FT x ( t − t 0 ) ← → X ( j Ω ) e − jΩ t 0 = X ( j Ω ) e
∞
j[ ϕ ( Ω ) − Ω t0 ]
−∞
∫
x ( t − t 0 ) e − j Ω t dt
令 t-t0=τ，dt=dτ，于是上式等于 ， ，
ϕ(Ω) − Ω
2π τ
−π − 2π
Ω
五、频移特性与调幅波 设 则 因为
FT x(t ) ←→ X ( jΩ)
FT x ( t ) e jΩ 0 t ← → X [ j ( Ω − Ω 0 )]
∞
∞
ℱ x ( t ) e jΩ 0 t
{
} = ∫ x (t ) e
−∞
jΩ 0 t
e − j Ω t dt =
y (t ) = x(t ) cos Ω 0t
z (t )
Ω
x(t )
Y ( jΩ )
1 2
cos Ω 0t
z (t ) = y (t ) cos Ω 0t = x(t ) cos 2 Ω 0t
− Ω0
Ω0
Ω
x(t ) = (1 + cos 2Ω 0t ) 2
− 2Ω 0 − Ω0 − Ωc
Z ( jΩ )
Ω
− Ω0
Ω0
x(t)cos 0t的图形是一幅度随信 的图形是一幅度随信 变化的正弦波形， 号x(t)变化的正弦波形，称这种波 变化的正弦波形 调幅波，对应信号称为已调信号。 为调幅波，对应信号称为已调信号。 x(t)称为调制信号或基带信号， 称为调制信号或基带信号， 称为调制信号或基带信号 对应信号的频带宽度， 对应信号的频带宽度，称为基带带 宽。cos 0t称为载波信号或受调信 称为载波信号或受调信 它的频率称为载波频率， 号，它的频率称为载波频率，简称 载频。 载频。 获得已调信号的过程称为调 获得已调信号的过程称为调 通过调制， 制。通过调制，基带信号的频 谱被保留， 谱被保留，并整体搬移到载波 频率处。 频率处。
FT xi (t ) ←→ X i ( jΩ)
FT x(t ) = ∑ ci xi (t ) ←→ X ( jΩ) = ∑ ci X i ( jΩ) i =1 i =1
N
N
2u (t )
sgn(t )
1
例如： 例如：
x(t ) = sgn(t ) = 2u (t ) − 1
2
t
−1
t
−1
t
1 2 X ( jΩ ) = 2[ πδ (Ω ) + ] − 2 πδ (Ω ) = jΩ jΩ
x(t )
x ( 0)
X ( jΩ )
X ( j 0)
−
τ 2
τ 2
t
−
B 2
B 2
Ω
由上图可见， 由上图可见，两矩形的面积分别为
τ ⋅ x (0) =
∞ −∞
x (t ) dt = [ ∫ x (t )e − jΩt dt ]Ω = 0 = X ( j 0) ∫
−∞ ∞
∞
B ⋅ X ( j 0) =