计量经济学第七讲

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模型估计与检验：
通过变量替换使模型线性化。
令：
X i
1 Xi
原模型线性化为： Yi01Xii
同样对随机项作出基本的经典假设，从而运用一元线性模 型的整套原理和方法估计、检验模型。
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年份
Y
X
年份
Y
X
1958
4.2
6.8
1964
2.8
5.2
1959
3.5
5.5
1965
3.6
4.5
1960
当X表示时间t时， α1表示的就是Y的增长率，故(1)式 也称为增长模型，用以测度某一变量的增长率，如GDP增长 率、货币供应增长率等。 (2)式中，β1表示当X变动一个百分比时，Y变动的绝对量。
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模型适用对象：
当X变动一个绝对量时，Y以一个固定的相对量随之变动时， 适宜用（1）描述。
当X变动一个相对量时，Y以一个固定的绝对量随之变动时， 适宜用（2）式描述。
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lnX 0.0000 0.6931 1.0986 1.3863 1.6094 1.7918 1.9459 2.0794 2.1972 2.3026
计量结果：
ln Y i 3.9610.272l7n X i2 s:e(0.04)1(0.6 02)50 t:(9.2 53 )(3 9.08 ) 8r20.911F68.4 298
1985
4014.9 2562.6
1978 2249.7 1389
1986
4240.3 2807.7
1979
2508.2 1500.2
1987
4526.7 2901.1
1980
2723 1633.1
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例：计量结果：
Y ˆt 1 6.0 3 2 25 .9 8l8n X t4 t:( 2.4 3)9(2 4.5 7)4r2 90 .98F 37 2.6 80 1
第八章 一元非线性模型
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本章主要内容
非线性的几种情况 双对数模型 半对数模型 双曲函数模型 小 结
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非线性的几种情况
一、被解释变量相对于解释变量非线性，但相对于参数
线性。如： Yi 01Xi2i
Yi01 Xii
Yi 01X1i i
二、被解释变量相对于参数非线性，但可一定程度转变
你能试着加以解释吗？
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小 结（1）
(1)不同模型形式的比较
模型
线性模型
双对数模型
对数-线性模 型(增长模型)
线性-对数模型
双曲函数模型
形式
斜率：dY dX
Y0 1X 1
lnY01lnX 1YX
lnY01X 1Y
Y01lnX 11X
Y0
1
1 X
11X2
lnXi与lnYi之间是线性的，但Xi与Yi之间是非线性的。
模型特点：斜率系数为Y关于X的弹性，为什么？
1ddllnnY XdYiY i /dXX ii
假设Y为商品需求量，X为价格，则 1 就是商品需求的价格
弹性，表示：价格变动百分之一导致的需求量变动的百分比。
由于 1 在模型中是一个常数，故上式也称为常数弹性模型。
说明：货币供给每增加一个百分点，GNP的绝对变化
量为25.85亿美元。
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双曲函数模型
模型形式：
Yi
0
1
1 Xi
i
模型特点：
随着X的无限增大，1 将接近于零，Y将接近其
渐近值 0，即Y的取值存X在一个自然极限： 0
模型适用对象：
当被解释变量Yi存在自然极限，Yi随着Xi的 增大而增大（当1 0 ），或随着Xi的增大而减小 （当1 0），但最终于渐近一条平行线时，适用 双曲函数模型描述。
模型估计与检验：
令 lnYi Yi' (1)式线性化为： Y i01Xii
令 lnXi Xi' (2)式线性化为： Yi 01Xi' i
只要原模型满足线性回归模型的基本假设，均可采用一元 线性回归的一套理论、方法来进行估计和检验。
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例：关于美国GNP与货币供给间关系的研究(1973--1987)
年份
Y
M2
年份
Y
M2
1973
1359.3
861
1981
3052.7 1795.5
1974 1472.8 908.5
1982
3166
1954
wenku.baidu.com1975
1598.4 1023.2
1983
3405.7 2185.2
1976
1782.8 1163.7
1984
3772.2 2363.6
1977
1990.5 1286.7
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例：小镇对鸡蛋的需求分析。
需求量：Y 49 45 44 39 38 37 34 33 30 29
价格：X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lnY 3.8918 3.8067 3.7842 3.6636 3.6376 3.6109 3.5264 3.4965 3.4012 3.3673
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模型适用对象：
对观察值取对数，用取对数后的观察值（lnX,lnY） 描成的散点图如果近似地为一条直线，则适合于用双对数 模型来描述X与Y的变量关系。
模型估计与检验：通过变量替换使模型线性化。
令： Y iln Y i, X iln X i.
原模型线性化为： Y i01X ii
同样对随机项作出基本的经典假设，从而运用一元线 性模型的整套原理和方法估计、检验模型。
3.4
5.5
1966
4.3
3.8
1961
3.0
6.7
1967
5.0
3.8
1962
3.4
5.5
1968
6.1
3.6
例1：964美国58— 2.869年间小5.时7收入指1数96(9Y)和城市6.失7 业率(X3).的5关系
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例：计量结果
Y ˆt 0.259 24.0588 X 1t0 t:(0.25)7(4 2.39)9r620.659F 41.936
说明：价格弹性约为-0.23，即价格提高1个
百分点，平均而言，需求量将下降0.23个百 分点。因此，对widget的需求是缺乏弹性的。
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半对数模型
模型形式： ln Y i 0 1 X i i(1) Y i0 1 ln X i i(2)
模型特点：
(1)式中，α1表示当X变动一个绝对量时，Y变动的百分比。 1 ddlnY x Y 1ddY xY X的 的绝 相对 对变 变化 化
为参数线性化。如：
C-D生产函数
CES生产函数
YAKL
Y A K (1 )L
三、被解释变量相对于参数非线性，且无法实现参数线性
化。如： YAK L
Y A K (1 )L
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双对数(double-log)模 型
模型形式： ln Y i 0 1ln X i i