对数及对数运算

x
log 2 5 x ，则 思考1:假设 log 2 3
进一步可得到什么结论？
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
思考3:一般地，如果a>0，且a≠1； c>0，且c≠1；b>0，那么 与哪个 对数相等？如何证明这个结论？
log c b 思考4:我们把 log a b log c a
理论迁移
例1
用logax，logay，logaz表示下列 各式： 2 xy x y (1) log a ; (2) log a 3 . z z
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）； (2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log3 2
2.2.2 第一课时
对数函数及其性质 对数函数的概念与图象
问题提出
1 5730 p 2
t
1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的 衣服，若每次能洗去污垢的四分之三， 试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式.
2. y log 1 x （x>0）是函数吗？若
4
是，这是什么类型的函数？
x＝logaN
指数与对数是可以等价且相互转化
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？
设loga(-2)=x,则ax=-2 设loga0=x,则ax=0 而当a>0，且a≠1时,恒有ax>0
思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN 中，a，x，N各自的地位有什么不同？
20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍（精确到1）. 398
思考4:将log232－log24=log28推广到一 般情形有什么结论？怎样证明？ 思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，„，
Mn均大于0，则loga(M1M2M3„Mn）＝？
知识探究（二）:幂的对数
思考1:log23与log281有什么关系？
思考2:将log281=4log23推广到一般情形 有什么结论？
27
(3) log 4 8 log 1 3 log
9
2
1 4
-2 1
3 2
(4)（lg5) lg 2 lg50
2
lg 27 lg8 3lg 10 (5) lg1.2
例2 已知 log 3 12 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
1 1 例3 设 3 5 m ，已知 2 , a b 求 m 的值.
知识探究（一）：对数函数的概念
思考1:在上面的问题中，若要使残留的 1 污垢为原来的 ，则要漂洗几次？ 64
4
思考2:在关系式 y log 1 x中，取 x a(a 0) 对应的y的值存在吗？怎样计算？
思考3:函数 y log 1 x 称为对数函数，
4
一般地，什么叫对数函数？
思考4:为什么在对数函数中要求a＞0， 且a≠l？
思考2: log
a
n
N与 log a N 有什么关系？
思考3: (log a M ) (log a N ) 可变形为什么？
理论迁移
例1 计算：
(1) log 8 9 log 27 32 ; (2)（log2125＋log425＋log85)·
（log52＋log254＋log1258）
作业： P68 练习：4. P74 习题2.2A组： 6，11，12.
.
3.同底数的两个对数可以进行加、减 运算，可以进行乘、除运算吗？
18 18 4.由 1.01 得 x log1.01 ，但这只 13 13 是一种表示，如何求得x的值？
x
知识探究（一）：对数பைடு நூலகம்换底公式
log 2 5 x log 2 3 log 2 3 ，从而有 3x 5 .
(2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求实数x的值。
(3)已知loga3=m, logan=5,则a2m+n=_____
2.2.1
对数与对数运算
第二课时
对数的运算
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
3 若4 x＝8 ， 则x ＝ 2
若2 x＝ 3 ， 则x ＝
若2 ＝3 ， 则x ＝
x
苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学过程中，为了
简化其中的计算而发明了对数。
满足2x＝3的x的值，我们用log23表示， 即x＝log23，并叫做“以2为底3的对数” 若2x＝3， 则x＝log23
思考3: 若2x＝16，则x＝ log216
.
例3 计算：
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
小结作业: 性质①的等号左端是乘积的对数，右端是 对数的和，从左往右看是—个降级运算. 性质②的等号左端是商的对数，右端是对 数的差，从左往右是一个降级运算，从右 往左是一个升级运算. 性质③从左往右仍然是降级运算． 利用对数的性质①②可以使两正数的积、 商的对数转化为两正数的各自的对数的和 差运算，大大的方便了对数式的化简和求 值.
作业： P68练习：1, 2，3. P74习题2.2A组：3,4,5.
2.2.1 第三课时
对数与对数运算 换底公式及对数运算的应用
问题提出
1.对数运算有哪三条基本性质？ （1）log a M log a N log a ( M N ) M log a M log a N log a （2 ） N n （3 ） log a M n log a M 2.对数运算有哪三个常用结论？ （1）log a a 1; （2） log a 1 0 ; log a N （3 ） a N.
a b
15
例4 20世纪30年代，里克特制订了一种 表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪 衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震 仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们 常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－ lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是 “标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）； 4.3
a N x 指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数 对数式x＝ 对数的底数 真数 对数 logaN
思考4:根据对数定义，logal和logaa和 logaan（a>0，a≠1）的值分别是多少？
设loga1=x, 则ax=1, 所以x=0,得loga1=0 设logaa=x, 则ax=a, 所以x=1,得logaa=1
log c b log c a
（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0） 叫做对数换底公式，该公式有什么特征？
思考5:通过查表可得任何一个正数的常用
18 对数，利用换底公式如何求 log1.01 的值？ 13
思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？
知识探究（二）：换底公式的变式
思考1:log a b 与 log b a 有什么关系？
n
(1) log a M log a N log a ( M N )
(3) log a M n log a M
4.对数换底公式:
log c b log a b log c a
理论迁移
例1 求下列各式的值: (1) 2 log5 10 log 5 0.25
2
4 3
(2) log 1 81
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
例3 计算
（1）log 4 3 81
(2) log0.30.09
例4:（1）已知a>0，且a≠1时,N>0,证明 alogaN=N
练习：(1)计算
2log25=_____
例5 生物机体内碳14的“半衰期” 为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7％，试推算马王堆古墓的年代. 2193 思考题:设函数 f ( x) x (lg a 2) x lg b,
2
已知 f (1) 2, 且对一切
x R,
f ( x) 2 x 恒成立，求 f ( x)的最小值.
1 若2 x＝ 4
1 ,则x＝ log2 4
若4x＝8， 则x＝ log48
思考5: 满足10 N , e N ， （其中e=2.71828„）的x的值可分别怎 样表示？
x
x
X=log10N X=logeN
18 思考4:前面问题中， , 1.01 13 1
x
（ 2）x＝0.03125 样表示？
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？ 思考2:将log232＝log24十log28推广到一 般情形有什么结论？
思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0， 你能证明等式loga（M·N）＝logaM十 logaN成立吗？
2.2.1
对数与对数运算
对 数
第一课时
问题提出
1.庄子:一尺之棰，日取其半，万世 不竭 ，问4天还有多少尺？取多少次还 有0.03125尺？
设取x次还有0.03125尺
1 x ( 2 ) ＝0.03125，求x=?
2.截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么过几年人口数将达到18亿？ 设过x年人口数将达到18亿 13× (1＋1％)x＝18，求x=?
18 即 1.01x＝ ，求x=? 13
1 x ( ) ＝0.03125，求x=? 2
18 1.01x＝ ，求x=? 13
3.上面的实际问题归结为一个什么 数学问题？ 已知底数和幂的值，求指数.
知识探究（一）：对数的概念
思考1:24＝ 16
1 2 －2＝ 4
思考2:若2x＝16，则x＝ 4
1 若2 x＝ ,则x＝ -2 4
2.2.1 第四课时
对数与对数运算 对数运算习题课
知识回顾
1.指数与对数的换算:
a N b log a N
b
2.对数运算的三个常用结论:
(1) log a a 1
.
(2) log a 1 0
(3) a
log a N
N
3.对数运算的三条基本性质:
M (2) log a M log a N log a N
思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什 么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．
思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立 吗？
思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则
log a M 等于什么？
n
思考6:上述关于对数运算的三个基本性 质如何用文字语言描述？
①两数积的对数，等于各数的对数的和； ②两数商的对数，等于被除数的对数减去 除数的对数； ③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．
思考5:对数函数的定义域、值域分别是 什么？
2
思考6:函数 y log3 x 与 y 2log3 x 相同吗？ 为什么？
中的x的值可分别怎
18 x=log1.01 13
1 x=log 2
0.03125
恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分 的建立并称为17世纪数学三大成就。 但是首先用指数来定义对数的是瑞士数学家欧拉。
知识探究（二）：对数与指数的关系
思考1:指数与对数有什么关系？
当a>0，且a≠1时
a x＝N
设logaan=x, 则ax=an所 , 以x=n,得logaan=n
理论迁移
例1.将下列指数式化为对数式，对数式
1 (1) 54＝625 ; (2) 2－6＝64 ; 1 m (3) ( ) ＝5.73 ; (4) log 1 16＝－４;
(5) lg0.01=－２;
化为指数式：
3
(6) ln10＝2.303.