高考数学 第五章第五节 数列的综合应用 新人教A版

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解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1
－1，a1＝1，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－ (2an－1－1)，∴an＝2an－1， ∴数列{an}是首项为a1＝1，
若将“S3＝7，且a1＋ 3,3a2，a3＋4构成等差数 列”改为“Sn＝2an－1， n∈N*”．
如何求解？
－12
－32
等比数列，则表格中 x 的值为( )
x
1
1
A.4
B.3
1 C.2
D．－12
精品ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件
解析：由题可知，每一横行的三个数成等差数列，所以可知第一 行的第二个数为 2，第二行的第二个数为－1，由每一纵列的三个 数成等比数列，所以 2，－1，x 成等比数列，从而可以解得 x＝12.
答案： C
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答案：48
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5．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…叫做三角数，它们 有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为________．
解析：令a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，则an－an－1＝n(n≥2， n∈N*)，所以a30－a29＝30，a29－a28＝29，所以第30个三角数与 第28个三角数的差为a30－a28＝59.
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∴an＝12(n2－7n＋18)(n≥2)． 当 n＝1 时，a1＝6 也适合上式． ∴an＝12(n2－7n＋18)． 又 b1－2＝4，b2－2＝2， ∴q＝12.∴bn－2＝4×(12)n－1.
D．n2＋n
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解析：由 a1，a3，a6 成等比数列，得 a32＝a1a6，设等差数列{an}的 公差为 d(d≠0)，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)，a1d＝4d2，又 a1＝2， 得 d＝12，∴Sn＝n42＋74n.
答案：A
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3．在如图的表格中，若每格内填上
1
3
一个数后，每一横行的三个数成 等差数列，每一纵列的三个数成
答案：59
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1．数列综合应用题的解题步骤 (1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个 数
学内容中，各是什么问题． (2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，
每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、 解析几何问题、不等式问题等．
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(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得 到整个问题的解答． 具体解题步骤如下框图：
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考点一
等差、等比数列的综合问题
设{an}是公比大于1的等比数列， Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3
＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和 Tn.
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[自主解答] (1)由已知得 a1＋a2＋a3＝7， a1＋3＋2 a3＋4＝3a2， 解得 a2＝2.
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1．已知数列{an}是一个递增数列，满足an∈N*，aan＝2n ＋1，则a4的值等于
()
A．8
B．7
C．6
D．4
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解析：根据题意，a a 1 ≥a1，a又a 1
＝3，若a1＝1，
则a a与1
a a1
＝a1＝3矛a盾a 1 ，若a1＝3，a a 2则
＝a a 33＝a3，不
4．已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，则a9＋a10
的值为________．
解析：由 a1＝1，anan＋1＝2n 得 a2＝2，an＋1an＋2＝2n＋1，从而有aan＋na1an＋n＋1 2 ＝aan＋n 2＝2，所以 a1，a3，a5，a7，a9 是以 1 为首项，2 为公比的等 比数列，故 a9＝16；a2，a4，a6，a8，a10 是以 2 为首项，2 为公比 的等比数列，故 a10＝32，所以 a9＋a10＝48.
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2．常见的数列模型 (1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，
利用等差数列有关知识解决问题． (2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，
利用等比数列有关知识解决问题． (3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数 列
递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．
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设数列{an}的公比为 q，由 a2＝2，可得 a1＝2q，a3＝2q. 又 S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，即 2q2－5q＋2＝0. 解得 q1＝2，q2＝12.由题意得 q＞1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项为 an＝2n－1.
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(2)由于 bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得 a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2. 又 bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝nb12＋bn＝3nn2＋1·ln2. 故 Tn＝3nn2＋1ln2.
公比为2的等比数列，∴数
列{an}的通项公式是an＝2n－1.
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(2)由于 bn＝lna3n＋1，n＝1,2，… 由(1)可得 a3n＋1＝23n ∴bn＝ln23n＝3n·ln2＝3ln2·n， ∴{bn}是等差数列 ∴Tn＝3ln2(1＋2＋3＋…＋n) ＝3ln2n2n＋1.
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设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3， 且数列{an＋1－an}(n∈N*)是等差数列，{bn－2}是等比数 列，求{an}和{bn}的通项公式．
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解：由已知a2－a1＝－2，a3－a2＝－1， d＝－1－(－2)＝1， ∴an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d ＝－2＋(n－1)×1＝n－3， 即an－an－1＝n－4(n≥2)． 故an－an－1＝n－4，
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an－1－an－2＝(n－1)－4， … a3－a2＝3－4， a2－a1＝2－4. 以上各式左右分别相加得 an－a1＝[2＋3＋…＋(n－1)＋n]－4(n－1)＝nn2＋1－1－4n＋4.
符合题意，故a1＝2.a2＝
＝3，a3＝
＝5，
a5＝
＝7，而数列{an}是一个递增数列，且an∈N*，
答故案a4：＝C6.
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2．设{an}是公差不为 0 的等差数列，a1＝2 且 a1，a3，a6 成等比
数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝
A.n42＋74n
B.n32＋53n
()
C.n22＋34n