电路分析基础 李瀚荪版 配套课件 第五章

uC t- uC t+
——电容电压的连续性：电容电压不能跃变！
ut
=
1 C
t ix
-¥
dx
= u t0
1 +C
ti x
t0
dx
表明：
t t0
①某一时刻的电容电压值取决于从-¥到t所有时刻 的电流值，即与电流全部历史有关，电容元件有 记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
——电容电压的记忆性质：记忆电流！
线，且不随时间变化，则称之为线性时不变电
感元件。
y
L
t it
O
i
单位：H (亨利), 常用mH，mH等表示。 1H=103mH， 1mH =103mH
电感的
(关联参考方向)
微分形式：u(t )
=
dy dt
=
dLi dt
=
L
di dt
积分形式：
it
=
1 L
t ux
-¥
dx
=
1 L
t0 u x
-¥
dx
2
4 t/ms
3. 一电容C=2F，u(0)=0，电流波形如图所示，试 求当t=1s，2s，4s时的电容电压u(t)。
i/A 10
0 1 2 3 4 5 t/s -10
4. 一电感L=4H，i(0)=0，电压波形如图所示，试 求当t=1s，2s，3s，4s时的电感电流i(t)。
u/V
4H
10
34
i(t
)
=
-C
du dt
ut
=
-
1 C
t ix
-¥
dx
= u t0
-
1 C
tix
t0
dx
电感 ：
关联参考方向
u(t)
=
L
di dt
it
=
1 L
t ux
-¥
dx
= i t0
+
1 L
tux
t0
dx
非关联参考方向
u(t)
=
-L
di dt
it
=
-
1 L
t ux
-¥
dx
= i t0
-
1 L
tux
t0
dx
习题：
L
di dt
i(t) =
1 L
t u(x )dx
-¥
=
i(t0
)
+
1 L
t u(x )dx
t0
t ³ t0
wL
(t)
=
1 2
Li2 (t)
电容电感元件的串联与并联
电容的串联
i
等效电容
u1
=
1 C1
t i(ξ )dξ
-¥
u2
=
1 C2
t i(ξ )dξ
-¥
+
+
C1
_u1
u
+
_ C2
_u2
u
=
u1
+
u2
t u(ξ )dξ
-¥
i
=
i1
+
i2
=
ççèæ
1 L1
+
1 L1
÷÷øö
t u(ξ )dξ
-¥
=
1 L
t u(ξ )dξ
-¥
L = L1 + L2
L
=
L1L2 L1 + L2
习题 －，，
： 电容 ：
关联参考方向
i(t)
=
C
du dt
ut
=
1 C
t ix
-¥
dx
= u t0
+
1 C
tix
t0
dx
非关联参考方向
u/V
4H
10
34
012
t/s
-10
例 2 ： 电 路 如 图 ， u(t) 电 压 波 形 如 图 ， i2(0)=0 ， uC(0)=0，求：(1)写出i1，i2，i3，i的表达式；(2)绘出 波形图；(3)计算t=3s时，电容电感的储能。
u/V t/s
0 1 2 3 4 56
-10
例3：电路如图，已知i(t)=5e-2t (V)，uc(0)=0，求： uR(t)，uL(t)，uC(t)，u(t)。
t t0
表明：
it
C
du dt
①某一时刻电容的电流i取决于该时刻电容电压u 的变化率，而与该时刻电压u的大小无关。电 容是动态元件；
②当u为常数(直流)时，i=0。直流电路中，电容 相当于开路，故电容有隔直流的作用；
it
=
C
du dt
③实际电路中通过电容的电流i(t)为有限值，则 du/dt为有限值，电容电压uc(t)是时间的连续 函数，即
1. 电容元件与电感元件中电压、电流参考方向如 图，且已知uc(0)=3V，iL(0)=0， (1)写出电压用电流表示的约束方程； (2)写出电流用电压表示的约束方程。
(1)
(2)
2. 2μF的电容上所加电压u的波形如图，求： (1)电容电流 i ；(2)电容电荷q ；(3)电容功率p ；
u/V 2 0
dq dt
=
dCu dt
=
C
du dt
积分形式：
ut
=
1 C
t ix
-¥
dx
=
1 C
t0 i x
-¥
dx
+
1 C
t i x dx
t0
= u t0
+
1 C
ti x
t0
dx
t t0
(非关联参考方向)
微分形式：
i(t) = -C
du dt
积分形式：
ut
=
-
1 C
ti
-¥
x
dx
=u
t0
-
1 C
tix
t0
dx
电感的储能
wL (t1 , t2 ) =
t2 p(x )dx
t1
=
t2 u(x )i(x )dx
t1
=
t2 t1
i(x
)L
di dξ
dξ
= L i(t2 ) idi i ( t1 )
=
1 2
Li 2
i(t2 ) i ( t1 )
=
1 2
L
i2 (t2 )
-
i2 (t1)
=
1 2
Li2 (t2 )
-
等效
i
u
C
电感的串联
等效电感
u1 = L1
i t
u2
=
L2
di dt
i
+
u _
L1 L2
+ u_1 +
等效
+ u
u_2
_
i L
u
= u1 + u2
=
(
L1
+
L2
)
di dt
=
L
di dt
1
2
电感的并联
等效电感
+
i1
i2
+i
i1
=
1 L1
t u(ξ )dξ
-¥
u L1 L2 等效 u
_
_
L
i2
=
1 L2
例 5 ： 电 路 如 图 ， 已 知 u=5+2e-2t (V) ， t≥0 ， i=1+2e-2t (V)，t≥0，求电阻R和电容C。
电感元件
电感器（电感线圈）
把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈， 当电流i(t)通过线圈时，将产生磁通φ(t)与线圈交 链，是一种储存磁场能量的器件。
φ
i
总磁通：磁链 y(t)
y t Nφ t
电感元件
储存磁能的二端元件。任意时刻t，其电流i(t)同它 的磁链y(t)之间的关系能用i-y平面上的一条曲线来 确定，则称为电感元件，简称电感（或自感）。
y
f (y ,i) = 0 韦安特性
O
i
线性时不变电感元件
如果i-y平面上的特性曲线是一条通过原点的直
2.5F
10H
8. 两 电 感 于 t=0 时 接 于 黑 箱 N 两 端 ， 已 知 t≥0 时 u(t)=12e-t (V) ， 且 i1(0)=2A ， i2(0)=4A ， 试 求 i1(t) 和 i2(t)，t≥0。
i
i1(t) = -2 + 4e-t (A)
i2 t = + e-t
9. 图示电路中，已知uC(t)=te-t (V)。(1)求i(t)和uL(t)， 求uL(t)要求用两种不同的方法。(2)求电容储能达最 大值的时刻，并求最大储能是多少？
(1) u=10sint V (2) u=10et V (3) u=10 V
例3：通过4F电容的电流i，波形如图，试求电
容 电 压 uC ， 并 分 别 作 出 t≥0 ， t=0 ， t=-0.5s ， t=2/3s时的等效电路。
i/A 3
-1
0
t/s
-2
例 4 ： 电 路 如 图 ， 已 知 uC(t)=cos(2t)V ， C=1F ， R=1Ω，受控源电压u(t)=2iC(t)，求uR(t)和is(t)。
1H
电容与电感的对偶性
对偶量
电压 电阻 短路 KCL 串联 网孔电流 电压源 电荷 电感
电流 电导 开路 KVL 并联 节点电压 电流源 磁链 电容
电容
i(t
)
=
C
du dt
ut
=
1 C
t ix
-¥
dx
= u t0
+
1 C
ti x
t0
dx
t ³ t0
wC
(t)
=
1 2
Cu2 (t)
电感
u(t
)
=
电感的功率和储能
瞬时功率
p
=
ui
=
L
di dt
×i
(关联参考方向)
①当电流增大，p>0，电感吸收（消耗）功率。
②当电流减小，p<0，电感提供（释放）功率。
电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转 化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又 把能量释放回电路，因此电感是一种储能元 件，属无源元件，它本身不消耗能量。
②研究某一初始时刻t0以后的电容电压，需要知道 t0 时 刻 开 始 作 用 的 电 流 i(t) 以 及 电 容 的 初 始 电 压 u(t0)。
uC
t
= uC
t0
+
1 C
ti x
t0
dx
= U0 + u1(t) t t0
t t0
等
效
电
路
t ³ t0
具有初始电 压的电容
未充电电容
电容的功率和储能
wc t
Cu2 t ³
表明：
①电容的储能只与当时的电压值有关，电容电 压不能跃变，反映了储能不能跃变；
②电容储存的能量一定大于或等于零。
例1：求电容电流i(t)，功率p(t)和储能w(t)。
u/V 2 0
i/A 1
01
2 t/s
1
2 t/s
-1
例2：设有一个1F的电容，求在下列各种电压波 形作用时的伏安特性曲线：
电容元件 电感元件 电容与电感的对偶性 电容电感元件的串联与并联
电容元件
（实际）电容器
在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号 电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集 下去，是一种储存电能的部件。
金属极板
电介质
金属极板
电容元件
储存电能的二端元件。任意时刻t，其电荷q(t)与端 电压u(t)之间的关系能用q-u平面上的曲线描述， 则称为电容元件，简称电容。
1 2
Li2 (t1)
t2时刻电感储能
t1时刻电感储能
wL t
Li2 t ³
表明：
①电感的储能只与当时的电流值有关，电感电 流不能跃变，反映了储能不能跃变；
②电感储存的能量一定大于或等于零。
例 1 ： 一 电 感 L=4H ， i(0)=0 ， 电 压 波 形 如 图 所 示，试求当t=1s，2s，3s，4s时的电感电流i(t)。
瞬时功率
p ui
u
C
u t
(关联参考方向)
①当电容充电，p>0，电容吸收（消耗）功率。
②当电容放电，p<0，电容提供（释放）功率。
电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转 化为电场能量储存起来，在另一段时间内又 把能量释放回电路，因此电容是一种储能元 件，属无源元件。
电容的储能
wC (t1 , t2 ) =
——电感电流的记忆性质：记忆电压！
②研究某一初始时刻t0以后的电感电流，不需要知 道t0以前的情况，只需知道t0时刻开始作用的电 压u(t)以及t0时刻的电感电流i(t0)。
iL t
= iL t0
+
1 L
tux
t0
dx
t t0
= I0 + i1(t)
t t0
具有初始电
等
流的电感
效
电
路
t ³ t0
初始电流为0
t2 p(x )dx
t1
=
t2 u(x )i(x )dx
t1
=
t2 t1
Cu
(x
)
du dξ
dξ
=
C
u (t2 ) udu
u ( t1 )
=
1 Cu 2 2
u(t2 ) u ( t1 )
=
1 2
C
u2 (t2
)
-
u2 (t1)
=
1 2
Cu2 (t2
)
-
1 2
Cu2 (t1)
t2时刻电容储能
t1时刻电容储能
+
1 L
tux
t0
dx
= i t0
+
1 L
tux
t0
dx
t t0
(非关联参考方向)
微分形式：
u(t
)
=
-L
di dt
积分形式：
it
=
-
1 L
t ux
-¥
dx
= i t0
-
1 L
tux
t0
dx
t t0
ut
L
di dt
表明：
①电感电压u取决于电感电流i的变化率，而与i的
大小无关。电感是动态元件；
②当i为常数(直流)时，u=0，电感相当于短路；
=
(1 C1
+
1 C2
)
t i(ξ )dξ
-¥
=
1 C
t i(ξ )dξ
-¥
i
+
+
+
C1 u
u_1 +
等效
u
_ C2
u_2
_
i C
C = C1 + C2
C
=
C1C2 C1 + C2
电容的并联
等效电容
i1 = C1
u t
i i1 i2
=C
u t
i2
=
C2
du dt
C1
C2
u tห้องสมุดไป่ตู้
1
2
i
i1 i2
u
C1 C2
i(t) = (1- t)e-t (A)
uL (t) = (t - 2)e-t (V)
wc
(t)
=
1 2
e-2
(J)
10. 图示电路由一个电阻R，一个电感L和一个电 容C组成。已知i(t) = (10e-t-20e-2t) A，t≥0；u1(t) = (-5e-t+20e-2t) V，t≥0。若在t=0时，电路的总储 能为25J，试求R、L、C之值。
q
f u q = 库伏特性
O
u
线性时不变电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成
正比，q~u特性曲线是通过原点的一条直线，且
不随时间变化。
q
C
qt ut
O
u
单位：F (法拉), 常用mF，pF等表示。 1F=106mF， 1mF =106pF
电容的
(关联参考方向)
微分形式：
i(t) =
③实际电路中通过电感的电压u(t)为有限值，则 电感电流iL(t)是时间的连续函数，即
iL (t- ) = iL (t+ )
——电感电流的连续性：电感电流不能跃变！
i(t)
=
1 L
t u(x )dx
-¥
=
i(t0
)
+
1 L
t u(x )dx
t0
表明：
t t0
①某一时刻的电感电流值取决于从-¥到t所有时刻 的电压值，即与电压全部历史有关，电感元件有 记忆电压的作用，电感元件是记忆元件。
012
t/s
-10
5. 列写图示电路uC的微分方程和iL的微分方程。
d 2uc dt 2
+
4
duc dt
+
4uc
=
0
d 2iL dt 2
+
4
diL dt
+
4iL
=
0
6. 电路如图，已知ic(t)=e-2t (V) (t≥0)，uc(0-)=2V， 求t≥0 时的电压u(t)。
ut
e-2t
7. 求图示电路中ab端的等效电容与等效电感。