积分和简单的微分方程

第三讲 积分和简单的微分方程

1 对于保守力有p dE F dx

=-

，势能极值点就是受力平衡点

2 小量展开能将复杂的表达式简化，用多项式逼近任意函数。重要的公式：

当1x <<时 2

(1)(1)1 (2)

n n n x nx x -+=++

+ 3 常见的求导公式

1[]'n n x nx -=；[]'x x e e =；[sin ]'cos x x =；[cos ]'sin x x -=；1[ln ]'x x

=

积分是变量累计的基本方法。掌握积分之后一方面可以用更为简明的办法处理部分竞赛题，另一方面为同学们自学各种高级课程扫平了障碍。

物理方程常常同时包括某个物理量和这个物理量的导数，这样的方程就叫微分方程。掌握微分方程之后，对于许多问题便可以跳出具体的已知量、未知量的限制，从物理本质的角度，讨论问题的可解性，归纳多题一解的方法。

第一部分 单元函数积分

知识点睛

引入：物理公式分类 物理公式分成：状态方程（初中常见，例如牛二，万有引力）和过程方程（例如动能定理，动量定理）。判定以下方程是状态方程还是过程方程：m V ρ=；F ma =；x vt = 看下面两组方程 U

I R

=；U IR =

q

I t

=

；q It = 前一组是状态的方程。后一组是过程的方程。当电流是常数的时候，两个式子都是对的。然后电流是变化的时候，前一组方程还成立，后一组得到的就不是电流了，而是电流的平均值。如果还要求结果是瞬时的电流，必须把第二组第一个变成求导数，后一个方程就把乘积变成了对瞬时的电流*时间再求和，也就是我们今天要学的积分。 先看两个例子：

上讲回顾

本讲目标

知识模块

一 变速直线运动的路程。

我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是v ，则它a t 到0t -段时间间隔内走过的路

程是()b a s v t t =-

对于变速直线运动来说，物体的速率v 是时间的函数：()v v t =，函数的图形是一条曲线（见图()a ），只有在匀速直线运动的特殊情况下，它才是一条直线（参见图()b ）。对于变速直线运动，()b a s v t t =-式已不适用。但是，我们可以把a t t =到b t t =这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到a t 到b t 这段时间里走过的总路程。

设时间间隔()b a t t -被()1a t t t ==、2t 、3t 、…、n t 、b t 分割成n 小段，每小段时间间隔都是t ∆，则在1t 、2t 、3t 、…、n t 各时刻速率分别是()1v t 、()2v t 、()3v t 、…、()n v t 。如果我们把各小段时间的速率钞看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分别等于()1v t t ∆、()2v t t ∆、()3v t t ∆、…、()n v t t ∆。于是，在整个()b a t t -这段时间里的总路程是

()()()()123n s v t t v t t v t t v t t =∆+∆+∆+

∆

()1

n

i i v t t ==∆∑

现在我们来看看上式的几何意义。在函数()v v t =的图形中，通过1t t =、2t 、3t 、n t 各点垂线的高度分别是()1v t 、()2v t 、()3v t 、…、()n v t （见图()b ），所以()1v t t ∆、()2v t t ∆、()3v t t ∆、()n v t t ∆就分别是图中那些狭长矩形的面积，而()1n

i i v t t =∆∑则是所有这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状

图形的面积。

二 变力做功 当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置a s s =移到b s s =的过中，恒力F 对它所作的功为 ()b a A F s s =-。

如果力F 是随位置变化的，即F 是s 的函数：()F F s =，则不能运用式来计算力F 的功了。这时，我们也需要像计算变速运动的路程那样，把()b a s s -这段距离分割成n 个长度为s ∆的小段（见图），并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程s ∆上的功，然后加起来取n →∞、0s ∆→的极限值。具体地说，设力F 在各小段路程内的数值分别为()1F s 、()2F s 、()3F s 、…、()n F s 。则在各小段路程上力F 所作的功分别为()1F s s ∆、()2F s s ∆、()3F s s ∆、()n F s s ∆。

在()b a s s -整段路程上力F 的总功A 就近似地等于()1

n

i i F s s -∆∑，因为实际上在每小段路程上力F 都是

变化的，所以严格地计算，还应取n →∞、0s ∆→的极限值，即()01

lim n

i s i n A F s s ∆→=→∞=∆∑。

同上例，这极限值应是()b a s s -区间内()F s 下面的面积（见图）。

我们把计算函数与横轴圈出的面积的极限定义为定积分:

()0

1

()lim b

a

n

s i s s i n F s ds F s s ∆→=→∞=∆∑⎰

我们把算面积的起点和终点,a b S S 叫做积分的下限和上限。 每次都通过极限计算定积分是不现实的。如果一个函数满足()

()dF x f x dx

=，叫()f x 是()F x 的导函数，()F x 叫()f x 的原函数。我们不加证明的给出：

()()()b

a

f x F b F a =-⎰

。这就是著名的牛顿

-莱布尼兹公式。我们只做简单的说明：当积分上限增加x ∆的时候，面积增加()f x x ∆，可见积分结果随着积分上限的变化率为()f x 。我们定义下限大于上限的丁积分为圈出的面积的负值，这样定义就能保持牛顿-莱布尼兹公式依旧成立。

从导函数求原函数的过程叫做不定积分。由于常数求导数等于0，一个导函数对应着不只一个原函数，相差一个常数，经常记做C 。定积分是针对一个函数取上下限计算面积，结果是一个数。不定积分是求导数的逆运算，结果是一群相差常数的函数。二者通过牛顿-莱布尼兹公式联系起来。通常是通过计算不定积分，代入公式求得定积分。通过基本求导公式可以计算基本不定积分。

【例1】 求以下不定积分

adx ⎰;;(1)n x dx n ≠-⎰；2(31);(1)x dx n +≠-⎰；sin xdx ⎰；1dx x ⎰； x

e dx ⎰；

[解析] 略

积分实际上就是猜原函数的过程。四则元算有章可循，求导数有法可依，积分过程基本靠猜。某

些大神们积分基本不动笔，目测答案…当然猜也有猜的方向。利用换元法可以处理更多的积分。换元