3.1不等关系与不等式教案

一、复习准备：

1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？

2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？ 1.实数的运算性质与大小顺序之间的关系

（1）如果a b -是正数，那么a b >； a b ->0⇔a >b ；

如果a b -等于零，那么a b =； a b -=0⇔a =b 如果a b -是负数，那么a b <. a b -<0⇔a

【例1】b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若在添上m 克糖()0m >，问：糖水是否变甜了. 请依据此事实，提炼一个不等式并回答问题.

2.不等式的性质：

1.性质1（对称性）如果 a>b ，那么 ；如果b a <，那么 .即a b b a >⇔<.

2.性质2（传递性）如果,a b b c >>，那么 .即,a b b c a c >>⇒>.同理 .

3.性质3（加法法则）如果 a>b ，那么a c + b c +.（是不等式移向法则的基础）

4.性质4（乘法法则）如果 a>b ，0c >，那么 . 如果 a>b ，0c <，那么 .

（a 、b 可以是数字，也可以是代数式，运用过程中一定要注意c 的符号） 5.性质5（同向可加性）

如果,a b c d >>，那么a c + b d +.

（两个或多个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向） 6.性质6（同向可乘性）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd . 7.性质7（乘方法则）如果 ，那么,n

n

a b >（n ∈N ，2n ≥）.

8.性质8（开方法则）如果 ，那么>（n ∈N ，2n ≥）.

（性质6、7、8注意条件）

【例2】用不等号“>”或“<”填空:

(1),a b c d a c ><⇒- b d -. (2)0,0a b c d >><<⇒ac bd .

(3)0a b >>⇒

.

（4）0>ab ，则a b a 1⇔

> b 1；0 b

1

. 【变式训练】比较下列两数(或代数式)的大小:

(2)()2

2

121x y x y +++-与.

【例3】已知 1260,1536a b <<<<，则a b -及a

b

的取值范围分别是.

【变式训练】 1.已知2

2

π

π

αβ-<<<

，求αβ-的范围.

2.若二次函数()y f x =的图象过原点，且()()112,314,f f ≤-≤≤≤求()2f -的取值范围.

教学过程

一、复习不等式性质

二、讨论讲解

【例1】已知0,0a b c >><,求证:

c c a b

>.

【变式练习】

1.已知0,0a b c d >>>>,求证>

2.已知0,0,0,a b c d e >><<<求证：e e

a c

b d

>

--.

【例2】 若0,0a b >>,求证:

22

b a a b a b

+≥+.

【变式练习】已知a 、b

的大小.

【例3】若R b a ∈,，求证: ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）；

【变式训练】证明下列不等式

(1)若0,>b a ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；

(2)2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”

）；

（3）若0,>b a ，则22112

2

2b a b a ab b

a +≤

+≤≤+（当且仅当b a =时取“=”）.