第十三章 动量矩定理 武汉理工大学 理论力学PPT课件
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质点对点O的动量矩：mO(mv)rmv 矢量
质点对轴 z 的动量矩：m z(m v)m O(m vxy )代数量 3
mO(mv)2OAB
m z(m v)2 O'B A '
正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负
逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
m O (m (v)z m z(m v)
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kg·ｍ2/s。
二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩： L O m O (m ivi) ri m ivi
质系对轴z 动量矩： L z m z(m iv i) L Oz
4
刚体动量矩计算：
1．平动刚体 L Om O (m vC)rCm vC
( r i m iv i m ir i v C r C m v C )
定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。
10
二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ： d d m O t ( m iv i) m O ( F i( i)) m O ( F i( e )) ( i 1 ,2 ,3 ,,n )
对质点系，有 d d m O ( t m iv i) m O ( F i( i ) ) m O ( F i( e ) )( i 1 ,2 , 3 , , n )
刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴
作转动时的动量矩之和。
5
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
解：LOLO ALO BLOC
I 11 ( I 22 m 2 v 2 R 2 ) m 3 v 3 R 2
解：将小球视为质点。
受力分析；受力图如图示。
m O (F ) m O (T ) m O (m g ) m sg in l
运动分析：vl,OM。m O (m v)m llm2l
由动量矩定理 ddm t O(mv)mO(F)
即 d(m 2) l m sg in l , g si n 0
d d x L m tx ( F i( e ) ) M x ( e ) ,d d y L m ty ( F i( e ) ) M y ( e ) ,d d z L m tz ( F i( e ) ) M z ( e )
11
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
v3v2R221 2R11
LO(R I2 12R I222m2m3)R2v3
6
§13-2 动量矩定理
一．质点的动量矩定理(theorem of angular momentum)
d
(mv dt
)பைடு நூலகம்
F
两边叉乘矢径 r , 有 rd(dmvt)rF
左边可写成
rd(d m v)td d(r tm v)d d r tm v
若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
§13-1 动量矩
一．质点的动量矩 (moment of momentum or angular momentum)
左边交换求和与导数运算的顺序，而
L O m O (m iv i), m O (F i(i)) 0 ,则
ddLOtmO(Fi(e))MO(e) 一质点系对固定点的动量矩定理
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
1
第十三章 动量矩定理 §13–1 动量矩 §13–2 动量矩定理 §13–3 刚体定轴转动微分方程 §13–4 刚体对轴的转动惯量 §13–5 质点系相对于质心的动量矩定理 ·
刚体平面运动微分方程 习题课
2
质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）
若 m O (F)0(m z(F)0)则 mO(mv) 常矢量 (mz(mv)常量 )
称为质点的动量矩守恒定律(conservation law of the total angular momentum of a particle) 。
8
[例2] 单摆。已知m、l，t =0时 = 0，从静止
开始释放。 求单摆的运动规律。
d d m x ( m tv ) m x ( F )d d , m y ( m tv ) m y ( F )d d , m z ( m tv ) m z ( F )
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
dt
l
微幅摆动时，sin,
并令 n 2
g l
，则
n20
解微分方程,并代入初始条件 (t0,0, 00)则运动方程
0 cos
gt l
，摆动周期
T 2 g
l
9
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正） 质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
而 d d r m tv v m v 0,r F m O (F ),
故：
d d (r tm v ) r F , d d [m O t(m v ) ] m O (F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理7。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
Lzmz(mvC)
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体 L z m z(m ivi) m iri2 Iz
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
3．平面运动刚体 Lzm z(m vC)IC
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于
质点对轴 z 的动量矩：m z(m v)m O(m vxy )代数量 3
mO(mv)2OAB
m z(m v)2 O'B A '
正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负
逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
m O (m (v)z m z(m v)
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kg·ｍ2/s。
二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩： L O m O (m ivi) ri m ivi
质系对轴z 动量矩： L z m z(m iv i) L Oz
4
刚体动量矩计算：
1．平动刚体 L Om O (m vC)rCm vC
( r i m iv i m ir i v C r C m v C )
定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。
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二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ： d d m O t ( m iv i) m O ( F i( i)) m O ( F i( e )) ( i 1 ,2 ,3 ,,n )
对质点系，有 d d m O ( t m iv i) m O ( F i( i ) ) m O ( F i( e ) )( i 1 ,2 , 3 , , n )
刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴
作转动时的动量矩之和。
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[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
解：LOLO ALO BLOC
I 11 ( I 22 m 2 v 2 R 2 ) m 3 v 3 R 2
解：将小球视为质点。
受力分析；受力图如图示。
m O (F ) m O (T ) m O (m g ) m sg in l
运动分析：vl,OM。m O (m v)m llm2l
由动量矩定理 ddm t O(mv)mO(F)
即 d(m 2) l m sg in l , g si n 0
d d x L m tx ( F i( e ) ) M x ( e ) ,d d y L m ty ( F i( e ) ) M y ( e ) ,d d z L m tz ( F i( e ) ) M z ( e )
11
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
v3v2R221 2R11
LO(R I2 12R I222m2m3)R2v3
6
§13-2 动量矩定理
一．质点的动量矩定理(theorem of angular momentum)
d
(mv dt
)பைடு நூலகம்
F
两边叉乘矢径 r , 有 rd(dmvt)rF
左边可写成
rd(d m v)td d(r tm v)d d r tm v
若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
§13-1 动量矩
一．质点的动量矩 (moment of momentum or angular momentum)
左边交换求和与导数运算的顺序，而
L O m O (m iv i), m O (F i(i)) 0 ,则
ddLOtmO(Fi(e))MO(e) 一质点系对固定点的动量矩定理
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
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第十三章 动量矩定理 §13–1 动量矩 §13–2 动量矩定理 §13–3 刚体定轴转动微分方程 §13–4 刚体对轴的转动惯量 §13–5 质点系相对于质心的动量矩定理 ·
刚体平面运动微分方程 习题课
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质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）
若 m O (F)0(m z(F)0)则 mO(mv) 常矢量 (mz(mv)常量 )
称为质点的动量矩守恒定律(conservation law of the total angular momentum of a particle) 。
8
[例2] 单摆。已知m、l，t =0时 = 0，从静止
开始释放。 求单摆的运动规律。
d d m x ( m tv ) m x ( F )d d , m y ( m tv ) m y ( F )d d , m z ( m tv ) m z ( F )
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
dt
l
微幅摆动时，sin,
并令 n 2
g l
，则
n20
解微分方程,并代入初始条件 (t0,0, 00)则运动方程
0 cos
gt l
，摆动周期
T 2 g
l
9
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正） 质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
而 d d r m tv v m v 0,r F m O (F ),
故：
d d (r tm v ) r F , d d [m O t(m v ) ] m O (F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理7。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
Lzmz(mvC)
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体 L z m z(m ivi) m iri2 Iz
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
3．平面运动刚体 Lzm z(m vC)IC
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于