第3章平面任意力系.
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′ ≠ 0 ,M ≠ 0 F （4 ） R O
由力线平移
MO d= ′ FR
（3）合力
FR = FR′
★ 平面力系简化的最后结果
①平衡 ②合力偶 ③合力
■讨 论
请指出以下各图力系的最终简化结果 平衡 平衡 力偶
合力
合力
合力
★ 分布载荷
线荷载集度q N/m ; kN/m
A
x q A B
B
qx
均布线荷载
C 水槽：W1 = 24.5×1×1×0.1= 2.45 kN W2 = 24.5×1×0.7×0.1 = 1.715 kN 水：Q= 0.5×(1×9.8×0.5) ×0.5×1 = 1.225 kN A
1m 0.5m 0.8m
B C
Q d
1 1 d = × 0 .5 = m 3 6
W = (1×9.8)×1×0.9 ×0.5 = 4.41 kN
主矢 主矩
M O = ∑ M i = ∑ M O ( Fi )
主矢： 主矩 :
FR′ = ∑ Fi′ =∑ Fi
i =1 n i =1
n
wenku.baidu.com
n
FR′ O M O
M O = ∑ M O ( Fi )
i =1
思考： 主矢和主矩是否与简化中心有关？ 主矢与简化中心无关； 主矩一般与简化中心有关（除？外）。
主矢： F R′ = 大小 方向
又称（一矩式）
★ 平面任意力系平衡方程的形式
⎧ ΣFx = 0 ⎪ （两矩式） ⎨ ΣM A = 0 ⎪ ΣM = 0 B ⎩ ⎧ ΣM A = 0 ⎪ （三矩式） ⎨ ΣM B = 0 ⎪ ΣM = 0 C ⎩
AB 不垂直于x 轴
A、B、C不共线
★ 平面任意力系平衡方程的形式
⎧ ΣFx = 0 ⎧ΣM A = 0 ⎧ ΣFx = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ） （二矩式 ） （三矩式） ⎨ΣM ⎨ΣM ⎨ ΣFy = 0 （一矩式 A =0 B =0 ⎪ΣM = 0 ⎪ΣM = 0 ⎪ΣM = 0 ⎩ B ⎩ C ⎩ O
★ 平面任意力系简化结果的讨论
（1）平衡： （2）合力偶：
FR′ = 0 , M O = 0
′ FR = 0 , M O ≠ 0
FR′ ≠ 0 , M O = 0
得一合力偶，其矩与简化中心无关。 （3）合力：
得一合力，其合力的作用线通过简化中心。 （ 4）
′ FR ≠ 0 , M O ≠ 0
★ 平面任意力系简化结果的讨论
平面任意力系的平衡方程
★ 平面任意力系的平衡条件 ★ 平面任意力系平衡方程的形式 ★ 平面任意力系平衡方程的讨论 ★ 平面平行力系的平衡方程
§3-3
平面任意力系的平衡方程
FR' = 0, MO = 0
★ 平面任意力系的平衡条件
平面力系平衡
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO（F）= 0
为平面任意力系平衡的基本方程， 三个独立的平衡方程，可解3个未知量。
FB = 2qa
∑ Fy = 0
FAy − q ⋅ 2a − P + FB = 0
FAy = 2qa
例3-2 钢筋混凝土配水槽，底宽1m，高0.8m，壁及
底厚10cm，水深为50cm。求1m长度上支座A处的约 束力（槽的单位体积重量γ = 24.5kN/m³）。
C
0.5m 0.8m
A
1m
B
解：取水槽为研究对象，画受力图。
非均布线荷载
均布线载荷：
合力大小: Q = ql , 合力作用线通过中点C。
A
q
l/2
Q
C l B
线性分布线载荷：
1 合力大小: Q = qm l ， 2 2 合力作用线 AC = l 。
3
A 2l / 3 l
Q
qm B
C
梯形分布线载荷：
合力大小:？ 合力作用线：？
q1 A l q2 B
§3-3
ΣM O = 0
1
例3-1 简支梁的尺寸如图。
2 q , a , P = 2 qa , M = 2 qa . 已知：
q
A
P
C
M
B
求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
FAy
FAx
2a 4a
FB
∑ Fx = 0
FAx = 0
∑M
A
=0
FB ⋅ 4a − M − P ⋅ 2a − q ⋅ 2a ⋅ a = 0
∑
Fi
′x = ∑ Fx ⎧ ⎪ FR ⎨ ′y = ∑ Fy ⎪ ⎩ FR
′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2 FR
∑ Fx cos(FR , i ) = ′ FR
∑ Fy cos(FR , j) = ′ FR
作用于简化中心上 主矩：
M
O
= ∑ M
O
(Fi )
★ 平面固定端约束
FAx
FAy
只有三个独立的平衡方程， 可解3个未知量。
★ 平面任意力系平衡方程的讨论
平面任意力系：
⎧ Σ Fx = 0 ⎪ ⎨ ΣFy = 0 ⎪ΣM = 0 O ⎩
⎧ Σ Fx = 0 ⎨ ⎩ΣFy = 0
3
ΣM O ≡ 0
若选汇交点为坐标原点， 平面汇交力系：
2
平面平行力系： 若选各力作用线方向为y轴， ΣFx ≡ 0 ⎧ ΣFy = 0 2 ⎨ ⎩ΣM O = 0 ΣFx ≡ 0, ΣFy ≡ 0 平面力偶系：
FAx
W 0.45m
W2
A
MA
0.5m FAy W1 0.45m
B
C
由平衡方程: ∑Fx = 0， FAx + Q = 0
FAx W 0.45m Q d W2
FAx =- 1.225 kN ∑Fy= 0， FAy –W-W1 –W2=0 FAy = 8.575 kN ∑MA(F) = 0，
A
MA
0.5m FAy W1 0.45m
M B = M B (F ) = F ⋅ d
§3-2
平面力系向一点的简化
平面任意力系 ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅, Fn ) 任选O点为简化中心，则 平面汇交力系 ( F1′, F2′,⋅ ⋅ ⋅, Fn′) 平面力偶系 ( M 1 , M 2 ,⋅ ⋅ ⋅, M n )
′ = ∑ Fi′ = ∑ Fi FR
第三章 平面任意力系
(Plane Force System )
2011年3月13日
第三章 平面任意力系
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 力线平移定理 平面力系向一点的简化 平面任意力系的平衡方程 物体系统的平衡 平面简单桁架的内力计算
§3-1
力线平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶 的矩等于原来的力F对新作用点B的矩.
B
约束力求完了吗？
MA - (0.5-0.167)Q- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0 MA = 5.247 kN·m
由力线平移
MO d= ′ FR
（3）合力
FR = FR′
★ 平面力系简化的最后结果
①平衡 ②合力偶 ③合力
■讨 论
请指出以下各图力系的最终简化结果 平衡 平衡 力偶
合力
合力
合力
★ 分布载荷
线荷载集度q N/m ; kN/m
A
x q A B
B
qx
均布线荷载
C 水槽：W1 = 24.5×1×1×0.1= 2.45 kN W2 = 24.5×1×0.7×0.1 = 1.715 kN 水：Q= 0.5×(1×9.8×0.5) ×0.5×1 = 1.225 kN A
1m 0.5m 0.8m
B C
Q d
1 1 d = × 0 .5 = m 3 6
W = (1×9.8)×1×0.9 ×0.5 = 4.41 kN
主矢 主矩
M O = ∑ M i = ∑ M O ( Fi )
主矢： 主矩 :
FR′ = ∑ Fi′ =∑ Fi
i =1 n i =1
n
wenku.baidu.com
n
FR′ O M O
M O = ∑ M O ( Fi )
i =1
思考： 主矢和主矩是否与简化中心有关？ 主矢与简化中心无关； 主矩一般与简化中心有关（除？外）。
主矢： F R′ = 大小 方向
又称（一矩式）
★ 平面任意力系平衡方程的形式
⎧ ΣFx = 0 ⎪ （两矩式） ⎨ ΣM A = 0 ⎪ ΣM = 0 B ⎩ ⎧ ΣM A = 0 ⎪ （三矩式） ⎨ ΣM B = 0 ⎪ ΣM = 0 C ⎩
AB 不垂直于x 轴
A、B、C不共线
★ 平面任意力系平衡方程的形式
⎧ ΣFx = 0 ⎧ΣM A = 0 ⎧ ΣFx = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ） （二矩式 ） （三矩式） ⎨ΣM ⎨ΣM ⎨ ΣFy = 0 （一矩式 A =0 B =0 ⎪ΣM = 0 ⎪ΣM = 0 ⎪ΣM = 0 ⎩ B ⎩ C ⎩ O
★ 平面任意力系简化结果的讨论
（1）平衡： （2）合力偶：
FR′ = 0 , M O = 0
′ FR = 0 , M O ≠ 0
FR′ ≠ 0 , M O = 0
得一合力偶，其矩与简化中心无关。 （3）合力：
得一合力，其合力的作用线通过简化中心。 （ 4）
′ FR ≠ 0 , M O ≠ 0
★ 平面任意力系简化结果的讨论
平面任意力系的平衡方程
★ 平面任意力系的平衡条件 ★ 平面任意力系平衡方程的形式 ★ 平面任意力系平衡方程的讨论 ★ 平面平行力系的平衡方程
§3-3
平面任意力系的平衡方程
FR' = 0, MO = 0
★ 平面任意力系的平衡条件
平面力系平衡
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO（F）= 0
为平面任意力系平衡的基本方程， 三个独立的平衡方程，可解3个未知量。
FB = 2qa
∑ Fy = 0
FAy − q ⋅ 2a − P + FB = 0
FAy = 2qa
例3-2 钢筋混凝土配水槽，底宽1m，高0.8m，壁及
底厚10cm，水深为50cm。求1m长度上支座A处的约 束力（槽的单位体积重量γ = 24.5kN/m³）。
C
0.5m 0.8m
A
1m
B
解：取水槽为研究对象，画受力图。
非均布线荷载
均布线载荷：
合力大小: Q = ql , 合力作用线通过中点C。
A
q
l/2
Q
C l B
线性分布线载荷：
1 合力大小: Q = qm l ， 2 2 合力作用线 AC = l 。
3
A 2l / 3 l
Q
qm B
C
梯形分布线载荷：
合力大小:？ 合力作用线：？
q1 A l q2 B
§3-3
ΣM O = 0
1
例3-1 简支梁的尺寸如图。
2 q , a , P = 2 qa , M = 2 qa . 已知：
q
A
P
C
M
B
求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
FAy
FAx
2a 4a
FB
∑ Fx = 0
FAx = 0
∑M
A
=0
FB ⋅ 4a − M − P ⋅ 2a − q ⋅ 2a ⋅ a = 0
∑
Fi
′x = ∑ Fx ⎧ ⎪ FR ⎨ ′y = ∑ Fy ⎪ ⎩ FR
′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2 FR
∑ Fx cos(FR , i ) = ′ FR
∑ Fy cos(FR , j) = ′ FR
作用于简化中心上 主矩：
M
O
= ∑ M
O
(Fi )
★ 平面固定端约束
FAx
FAy
只有三个独立的平衡方程， 可解3个未知量。
★ 平面任意力系平衡方程的讨论
平面任意力系：
⎧ Σ Fx = 0 ⎪ ⎨ ΣFy = 0 ⎪ΣM = 0 O ⎩
⎧ Σ Fx = 0 ⎨ ⎩ΣFy = 0
3
ΣM O ≡ 0
若选汇交点为坐标原点， 平面汇交力系：
2
平面平行力系： 若选各力作用线方向为y轴， ΣFx ≡ 0 ⎧ ΣFy = 0 2 ⎨ ⎩ΣM O = 0 ΣFx ≡ 0, ΣFy ≡ 0 平面力偶系：
FAx
W 0.45m
W2
A
MA
0.5m FAy W1 0.45m
B
C
由平衡方程: ∑Fx = 0， FAx + Q = 0
FAx W 0.45m Q d W2
FAx =- 1.225 kN ∑Fy= 0， FAy –W-W1 –W2=0 FAy = 8.575 kN ∑MA(F) = 0，
A
MA
0.5m FAy W1 0.45m
M B = M B (F ) = F ⋅ d
§3-2
平面力系向一点的简化
平面任意力系 ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅, Fn ) 任选O点为简化中心，则 平面汇交力系 ( F1′, F2′,⋅ ⋅ ⋅, Fn′) 平面力偶系 ( M 1 , M 2 ,⋅ ⋅ ⋅, M n )
′ = ∑ Fi′ = ∑ Fi FR
第三章 平面任意力系
(Plane Force System )
2011年3月13日
第三章 平面任意力系
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 力线平移定理 平面力系向一点的简化 平面任意力系的平衡方程 物体系统的平衡 平面简单桁架的内力计算
§3-1
力线平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶 的矩等于原来的力F对新作用点B的矩.
B
约束力求完了吗？
MA - (0.5-0.167)Q- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0 MA = 5.247 kN·m