材料力学作业题解 第 章

2 kN/m

q=

5.1把直径 1 mm

d=的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，设200 GPa

E=。试计算该钢丝中产生的最大弯曲正应力。

解：把钢丝绕到卷筒上后，钢丝内的弯矩M与中性层曲率之间的关系是

1M

EI

ρ

=

于是，有

EI

M

ρ

=

代入弯曲正应力公式，得

max max

max

My Ey

I

σ

ρ

==（1） 钢丝绕在直径为D的卷筒上后，其中性层的曲率半径

22

D d D

ρ

+

=≈（因D d

）

将上式和

max

/2

y d

=代入（1）式，得

3

max

/2200101/2

100 (MPa)

/22/2

Ed

D

σ

××

===

5.2受均布载荷作用的简支梁如图所示。若分别采用横截面面积相等的实心和空心圆截面，

且

1

40 mm

D=，2

2

3

5

d

D

=，试分别计算它们的最大弯曲正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减少了百分之几？

解：因两截面面积相等，所以

222

122

()

44

D D d

ππ

=−

222222

122222

34

()()

55

D D d D D D

=−=−=

将

1

40 mm

D=代入上式，得

2

50 mm

D=，

2

30 mm

d=

均布载荷下，梁的最大弯矩在跨中，即

22

max

22

1 (kN m)

88

ql

M

×

===⋅

最大应力位于该截面（跨中横截面）的上下边缘处。

(b)

23

F (c)

23

F 对实心圆截面

61max max max

331

1323210159 (MPa)40M M W D σ

ππ×====×

对空心圆截面

62

max max max

3

3442122

2

321093.6 (MPa)50[1(3/5)][1()]32M M D d W D σ

ππ×====×−− 空心圆截面比实心圆截面最大正应力减少了

12max max 1

max

15993.6

41.1%159σσσ−−==

5.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知 4 m l =，3

5

b h =，10 kN/m q =，[]10 MPa σ=。试确定此梁横截面的尺寸。

解：梁的最大弯矩发生在固定端处，其值为

22max

11

=104=80 (kN m)22

M ql =××⋅ 梁的强度条件

6

max

28010=[]16

M W bh σσ×=≤

将3

5

b h =

代入上式，得 6268010[]35

hh σ××≤，663

635680105680108010(mm )3[]310h σ××××××≥

==×× 于是，有

430 mm h =，3

259 mm 5

b h ==

5.5 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若[]=160MPa σ，试求许可载荷F 。

(a)

No.20a

解：利用平衡条件求出支座反力如图（b ）所示，弯矩图如图（c ）所示，最大弯矩为

2

3

F 。 由梁的强度条件

max

23=[]F M W W

σσ=≤ 查附录型钢表，得 3

237mm W =，代入上式，得许可载荷

3[]3160237

==56.9KN 22

W F σ××≤

（）

5.6 如图所示，桥式起重机大梁AB 的跨度l =16m ，原设计最大起重量为100kN 。在大梁上距B 端为x 的C 点悬挂一根钢索，绕过装在重物上的滑轮，将另一端再挂在吊车的吊钩上，使吊车驶到与C 点对称的位置D ，这样就可吊运150kN 的重物。试问x 的最大值等于多少？设只考虑大梁的正应力强度。

解：吊重100kN 和150kN 时梁的受力图如图（a ）和（b ）所示。图（a ）中危险截面在梁的跨中，其弯矩1(kN m)4

Fl

M =

⋅，危险点的应力 1I /4(10016)/4400

=M Fl W W W W

σ×===

图（b ）中，危险截面在梁的C 、D 处，其弯矩275 (kN m)M x =⋅，危险点的应力

II II 75=

M x

W W

σ=

根据强度条件，原设计吊重为100kN 时，梁内最大应力I σ已达到许用应力，所以，为了安全，应有

(b)

(a)