材料力学作业题解 第 章

1
A
B
2 m
1
D
2
d

2
D

2 kN/mq=

5.1 把直径1 mmd=的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，设200 GPaE=。试计算该钢丝中产
生的最大弯曲正应力。
解：把钢丝绕到卷筒上后，钢丝内的弯矩M与中性层曲率之间的关系是
1M
EI
ρ
=

于是，有
EI
Mρ=

代入弯曲正应力公式，得
maxmax
max

MyEy

I
σ

ρ
==

（1）

钢丝绕在直径为D的卷筒上后，其中性层的曲率半径
22
DdD
ρ
+

=≈
（因Dd󰀕）

将上式和
max

/2yd=
代入（1）式，得

3
max
/2200101/2100 (MPa)/22/2EdDσ××

===

5.2 受均布载荷作用的简支梁如图所示。若分别采用横截面面积相等的实心和空心圆截面，
且140 mmD=，2235dD=，试分别计算它们的最大弯曲正应力。并问空心截面比实心截面的最大
正应力减少了百分之几？

解：因两截面面积相等，所以
222
122
()44DDdππ=−

222222
122222

34
()()55DDdDDD=−=−=

将
1

40 mmD=
代入上式，得

250 mmD=，2
30 mmd=
均布载荷下，梁的最大弯矩在跨中，即
22
max
221 (kNm)88qlM×

===⋅

最大应力位于该截面（跨中横截面）的上下边缘处。
2

A
B
D
C

F

F

3
F
3
F

(b)

2
3
F

(c)
2
3
F

对实心圆截面
6
1
maxmax

max
33

11

323210159 (MPa)40MM
WDσππ×====×
对空心圆截面
6
2
maxmax

max
3
34

4
212
2

2

321093.6 (MPa)50[1(3/5)][1()]32MMDdWDσππ×
====

×−
−

空心圆截面比实心圆截面最大正应力减少了
12
maxmax
1
max

15993.6
41.1%159σσσ−−==

5.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知
4 ml=
，35bh=，10 kN/mq=，[]10 MPaσ=。试

确定此梁横截面的尺寸。
解：梁的最大弯矩发生在固定端处，其值为
22
max

11
=104=80 (kNm)22Mql=××⋅

梁的强度条件
6
max
2

8010=[]16MWbhσσ×
=≤

将35bh=代入上式，得
6
2
68010[]35hhσ××

≤
，663635680105680108010(mm)3[]310hσ××××××≥==××

于是，有
430 mmh=
，3259 mm5bh==

5.5 No.20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若[]=160MPaσ，试求许可载荷F。

l
q
B
A

b

h

2mABDC2m2m
F
F
(a)
No.20a
3

解：利用平衡条件求出支座反力如图（b）所示，弯矩图如图（c）所示，最大弯矩为23F。
由梁的强度条件 max23=[]FMWWσσ=≤
查附录型钢表，得 3237mmW=，代入上式，得许可载荷
3[]3160237==56.9KN22WFσ××
≤
（
）

5.6 如图所示，桥式起重机大梁AB的跨度l=16m，原设计最大起重量为100kN。在大梁上距
B端为x的C点悬挂一根钢索，绕过装在重物上的滑轮，将另一端再挂在吊车的吊钩上，使吊车
驶到与C点对称的位置D，这样就可吊运150kN的重物。试问x的最大值等于多少？设只考虑大
梁的正应力强度。

解：吊重100kN和150kN时梁的受力图如图（a）和（b）所示。图（a）中危险截面在梁的
跨中，其弯矩1(kNm)4FlM=⋅，危险点的应力
1
I

/4(10016)/4400=MFlWWWWσ×
===

图（b）中，危险截面在梁的C、D处，其弯矩275 (kNm)Mx=⋅，危险点的应力
II
II

75=Mx

WW
σ
=

根据强度条件，原设计吊重为100kN时，梁内最大应力
I

σ
已达到许用应力，所以，为了安全，

应有

xx
AB
C
D

150kNW=
16m
16m
xx

75kN
75kN

(b)

16m

100kNF=
(a)
4
C
C

z

30

b
Cy60 MM400 CCz30bC
y
4
0
0
6
0
y
2

y
1
2

C

1
C
2

A

1
A
y
C
2
y
C
1

III
σσ
≤

，即75400xWW≤，由此得x的最大值为

400
=5.33 m75x≤
()

5.10割刀在切割工件时，受到F=1kN的切削力作用。割刀尺
寸如图所示。试求割刀内的最大弯曲应力。
解：由图知，最大弯曲应力可能产生在m-m截面，也可能产
生在n-n截面，虽然m-m截面上的弯矩比n-n截面的小，但它的抗
弯界面系数也比n-n截面的小，所以两个截面上的最大应力都可能
发生，应加以比较，方可决定割刀内的最大正应力。
n-n截面
23
I

1
2.513=70.4 mm6W=××
()

33
I
1108=810 mmM=×××⋅(N)

3
I
I

I

810= 114 MPa70.4MWσ×
==
()

n-n截面
23
II

1
415=150 mm6W=××
()

33
II
11030=3010 mmM=×××⋅
(N)

3
II
II

II

3010= 200 MPa150MWσ×
==
()

所以割刀最大应力为 max=200 MPaσ

5.11图示纯弯曲的铸铁梁，其截面为⊥形，材料的拉伸和压缩许用应力之比tc[]/[]1/3σσ=。
求水平翼板的合理宽度b。

n
nmm

F

2.5
4

1
3
1
5

22
8
5
C
1400600

B
A

F

2F

50

C
z

150
C
y
h
2

h
1
2
5
0
C

O
M
x
0.8
F

0.6
F

50

解：水平翼板的合理宽度b应使铸铁梁内的最大拉应力和压应力分别达到各自的许用应力，
即

1tmaxt[]MyIσσ==，2
cmaxc
[]MyIσσ==

（1）

由（1）式得
tmaxt
1

cmax2c

[]
1

[]3yy
σσ

σσ
===
（2）

由几何条件知
12
400 mmyy+=
（3）

解（2）、（3）式得
1
100 mmy=

2
300 mmy=
⊥形截面上，对中性轴
c

z
的静矩应等于零，即

12120C
tCC
SAyAy=+=

60(10030)(30340)(300170)0b××−−××−=
（4）

解（4）式，得
316 mmb=

5.12 ⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力
t

[]50 MPaσ=
，

压缩许用应力
c

[]160 MPaσ=，截面对形心轴Cz
的惯性矩441018010mmCzI=×，

1
96.4 mmh=
，试计算该梁的许可载荷F。

解：梁的弯矩如图（b），弯矩的两个极值分别为

10.8MF=，2
0.6MF=
根据正应力强度条件
maxmax
max
[]zMyIσσ=≤

对A截面，按拉、压强度要求，其许可载荷分别为：