2021版新高考数学：节圆锥曲线中的证明、探索性问题含答案

第十节圆锥曲线中的证明、探索性问题

(对应学生用书第168页)

考点1圆锥曲线中的几何证明问题

圆锥曲线中常见的证明问题

(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切、直线间的平行、垂直、直线过定点等．

(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．

在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下、一般采用直接法、通过相关的代数运算证明、但有时也会用反证法证明．

轴的交点为E 、过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A 、B 两点、M 为线段EF 的中点．

(1)若直线l 1的倾斜角为π

4、求△ABM 的面积S 的值； (2)过点B 作直线BN ⊥l 于点N 、证明：A 、M 、N 三点共线．

[解] (1)由题意、知F (1、0)、E (5、0)、M (3、0).设A (x 1、y 1)、B (x 2、y 2). ∵直线l 1的倾斜角为π

4、∴k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1、即x ＝y ＋1. 代入椭圆方程、可得9y 2＋8y －16＝0. ∴y 1＋y 2＝－89、y 1y 2＝－16

9. ∴S △ABM ＝1

2·|FM |·|y 1－y 2| ＝（y1＋y2）2－4y1y2 ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫－892

＋4×169＝8109. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1).

代入椭圆方程、得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0、 即x 1＋x 2＝10k2

4＋5k2、x 1x 2＝5k2－204＋5k2.

∵直线BN ⊥l 于点N 、∴N (5、y 2). ∴k AM ＝

－y13－x1

、k MN ＝y22. 而y 2(3－x 1)－2(－y 1)＝k (x 2－1)(3－x 1)＋2k (x 1－1)＝－k [x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋5] ＝－k ⎝

⎛⎭⎪⎫5k2－204＋5k2－3×10k24＋5k2＋5＝0、 ∴k AM ＝k MN .故A 、M 、N 三点共线． 考点2 圆锥曲线中的探索性问题

探索性问题的求解方法

已知椭圆C：9x2＋y2＝

m2(m>0)、直线l不过原点O且不平行于坐标轴、l与C有两个交点A、B、线段AB的中点为M.