分式及分式方程题型分类讲义

分式方程及其应用

一、基本概念

1．分式方程：分母中含有 的方程叫分式方程.

2．解分式方程的一般步骤：

（１)去分母,在方程的两边都乘以 ，约去分母,化成整式方程；

(2）解这个整式方程;

(3)验根,把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

3． 用换元法解分式方程的一般步骤：

① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;② 解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中,求出原未知数的值;④ 检验作答.

4．分式方程的应用:

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验:

（１）检验所求的解是否是所列 ；（２）检验所求的解是否 .

二、题型分类

考点一：分式方程

题型（一）分式方程去分母

1、解分式方程22311x x x 时，去分母后变形为（ ）。

A ．()()1322-=++x x

B.()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 Ｄ．()()1322-=+-x x

2、下列方程是分式方程的是（ )

A ．0322=--x x B.13-=x x C.x x =1 D.12=-πx 题型（二）解分式方程 用常规方法解下列分式方程:25211111 332552323

x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；

题型（三)分式方程的解

1.已知方程261=311x

ax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ) A.３ B ．－3 C. ２ D.-2

２．方程134622

32622+++++++x x x x x x -5=０的解是( )

A. 无解 Ｂ. 0 , 3 Ｃ． -3 D. ０, ±3

3. 如果)

2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A －Ｂ的值是( ) A ．

34 B. 3

5 C. 41 Ｄ. 2 ４(C ）关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是c x c x 2,21==,则关于x 的方程1212-+=-+a a x x 的两个解是（ )

Ａ.a

a 2,

B.12,1--a a C ．12,-a a Ｄ． 11,-+a a a

题型(四）用换元法解分式方程 1.用换元法解分式方程152--x x +510102--x x =7时,如果设1

52--x x =y ，那么原方程可化为（ ） A. y+710=y B. y+71=y Ｃ. 10y ＋71=y

D. y+１0y 2=7 ２．解方程 (1)06)2(5)2(

2=+---x x x x ； (２）解方程x x x x 32543222+=-+.

题型（五)解分式方程组

1.解方程组:11131129

x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩

题型（六)增根

1. 若解分式方程2111x x m x x x x

+-++=+产生增根,则m 的值是（ ）

Ａ． --12或 ﻩ ﻩＢ. -12或 Ｃ. 12或

ﻩD. 12或- 2. 若方程323-=--x k x x 会产生增根，试求ｋ的值

题型(七）求待定常数的值或取值范围

1.关于x 的分式方程

1131=-+-x

x m 的解为正数，求m 的取值范围；

2．若关于x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是（ )

A.a ≥1 B ．a>１ C ．a ≥1且a ≠4 D.a>1且a ≠4

3.若分式方程

x

m x x -=--221无解，求m 的值。

4.设c b a 、、是三个互不相同的正数，如果

a

b b a

c b c a =+=-,那么（ ）． A.c b 23= B ．b a 23= C.c b =2 D ．b a =2

变式1:已知

123421+=-=+x x y y x ,则)(323x y -的值是__＿____＿____＿＿.

变式２：已知d c b a 、、、为正整数，且

c

d a b c d a b )1(71,74-=+-=，则a c 的值是_＿___＿__＿；b d 的值是_＿______＿__.

对应练习：

一、选择题

1、关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞-1 B.a ＞-1且a ≠0 C.a ＜-１ D.a <－1且a ≠-2 2.若解分式方程x

x x x m x x 11122+=++-+产生增根,则m 的值是( ） A. --12或 Ｂ. -12或 C. 12或ﻩ D ． 12或-

3、已知,511b

a b a +=+则b a a b +的值是（ ） A 、５ B 、7 C 、3 Ｄ、31 4、若x 取整数，则使分式1

-2x 36x +的值为整数的x 值有 ( ) A 3个 B 4个 C 6个 Ｄ 8个

5、已知x

B x A x x x +-=--1322,其中A 、B 为常数，那么A ＋Ｂ的值为( ) A 、－2 Ｂ、2

C 、－4

D 、4

二、填空题

１、若分式方程x m x x -=--2524无解，那么m 的值应为___＿_____＿,若已知132112-+=-++x x x B x A (其中A 、B ＿__;

２、已知311=-y x ,则分式y xy x y xy x ---+2232的值等于___＿_____＿_,若b a c a c b c b a k 222-=-=-=，且ａ+b +c ≠0，则ｋ的值为 .

3、方程的解是_____＿＿______已知关于x 的方程只有整数解,则整数a 的值为＿__＿____＿____

4、已知d c b a 、、、为正整数，且

c d a b c d a b )1(71,74-=+-=，则a c 的值是__＿______;b d 的值是＿______＿_＿_．

5、设m ＞n ＞0，ｍ2+n 2=４mn ，则22

m n mn -的值为___＿__＿____，若121-x 与)4(3

1+x 互为倒数,则x=____＿＿_＿__.

三、解答题

1、解下列分式方程

(１）x x 311=-;(2）0132=--x x ；(3）11

4112=---+x x x ;(4)x x x x -+=++4535

2、解下列方程

(1)4441=+++x x x x ; （2）5

69108967+++++=+++++x x x x x x x x