积分因子法在常微分方程中的应用-[开题报告]

毕业论文开题报告

数学与应用数学

积分因子法在常微分方程中的应用

一、选题的背景、意义

在许多科学领域中,常常需要研究常微分方程的理论和其解是否存在.常微分方程的理论包括解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.其中解的讨论也尤为重要，求解方法有很多种，例如，常数变易法、叠加法、积分因子法.求得常微分方程的解能使常微分方程在其他的科学领域有更好的应用.

常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究可分为以下几个阶段.

发展初期是针对具体的常微分方程,希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”的时代.

刘维尔在1841年证明了里卡蒂方程不存在一般的初等解,同时柯西又提出了初值问题.因此,早期的常微分方程的求解热潮中断了,而常微分方程从“求通解”时代转向“求定解”时代.

19世纪末,常微分方程的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代.那是由天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态引起的.

20世纪末六七十年代以后,常微分方程在计算机技术发展的促进下,从“求所有解”时代转入“求特殊解”时代.

求常微分方程的通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就能容易地求出问题所需要的特解；根据通解的表达式可以了解其对某些参数的依赖情况，便于参数取值，使它对应的解具有所需要的性能，也有助于解的其他研究.虽然通过求通解的方法可以求出方程的解，但是有些时候会比较复杂.因此，我们要寻找更为简便的求解方法.对常微分方程的求解.积分因子法是一种很好的求解方法，它能将复杂的计算简单化. 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

本课题主要对积分因子法进行归纳总结，旨在应用积分因子法来求解常微分方程.

本课题的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来得到并了解用积分因子法求解常微分方程的一些计算技巧，达到化难为易的目的.

先从定义出发，介绍相关的一些基本概念，如微分方程、常微分方程、全微分方程、解、积分因子等以及一些相关的定理和充要条件.

接着归纳总结积分因子法：

积分因子的求法

在求积分因子之前，要对常用的一些简单函数的全微分形式比较熟悉，这样能更快地求出积分因子.

（1）观察法求积分因子

对于一些形式比较简单的微分方程，可以直接观察出方程的积分因子.

如：方程0ydx xdy -=，根据2x ydx xdy d y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可以直接观察出它的积分因子为2

1y . （2）分组凑微分法

对于一些相对复杂的微分方程，可以对其进行分组，然后根据一些简单函数的全微分形式对其进行凑微分，得到其积分因子.

（3）重新组合法

对于一些相对复杂，不易观察出其积分因子的微分方程，可以将其各项重新组合，再根据一些简单函数的全微分形式通过观察来求得其积分因子.

（4）指数待定法求积分因子

如果微分方程()(),,0P x y dx Q x y dy +=中()(),,,P x y Q x y 是,x y 的多项式，则可以找到m n

x y 形式的积分因子.

（5）公式法求积分因子

对一些非全微分方程可以用上面提到的四种方法求得它们的积分因子，但还有一些非全微分方程用上述四种方法不太容易得到它们的积分因子，这时就可以用一些公式来求解.不同的公式都有其相对应的条件需要满足.

积分因子巧解常微分方程

（1）观察法

对于简单形式的微分方程，可以根据一些简单函数的全微分形式直接观察出方程的积分因子，再将积分因子乘到原方程的两边形成全微分方程进行求解.

（2）分组凑微分法

将微分方程重新分组，化成易求得积分因子的形式，求得其积分因子，再将积分因子乘到原方程的两边形成全微分方程进行求解.

（3）重新组合法

将微分方程进行重新组合，化成易求得积分因子的形式，求得其积分因子，再将积分因子乘到原方程的两边形成全微分方程进行求解.

（4）指数待定法

对符合特定条件的微分方程，用指数待定的方法求得其积分因子，再将积分因子乘到原方程的两边形成全微分方程进行求解.

（5）公式法

针对不同的微分方程，运用相对应的公式求得其积分因子，再将积分因子乘到原方程的两边形成全微分方程进行求解.

积分因子法在一阶常微分方程中的应用

（1）在可分离变量微分方程中的应用

如果一阶微分方程可变化为

()()()()11220M x N y dx M x N y dy += 的形式，则称这个方程为可分离变量方程.

运用积分因子法求得这类方程的积分因子，将方程转化为全微分方程进行求解．

（2）在齐次微分方程中的应用

方程()(),,0M x y dx N x y dy +=是齐次方程.

运用积分因子法求得这类方程的积分因子，将方程转化为全微分方程进行求解．

（3）在一阶线性微分方程中的应用

设一阶线性微分方程为

()()dy P x y Q x dx +=

将其成对称的形式 ()()0P x t Q x dx dy -+=⎡⎤⎣⎦

若方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有一个仅依赖于x 的积分因子μ，则

()()f x dx x e μ⎰=，其中()M N y x f x N

∂∂-∂∂=；反之，若()f x dx e ⎰仅依赖于x ，则()f x dx e ⎰是方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子.

（4）在贝努力方程中的应用

将贝努力方程

()()(),0,1n dy P x y Q x y n dx +=≠ 令1n z y -=，可以将方程化为一阶线性微分方程 ()()()()11dz n P x z n Q x dx

+-=- 然后用积分因子求解此方程.

积分因子法在二阶常微分方程中的应用

二阶线性微分方程()()()12y P x y P

x y Q x '''++=，当()0Q x =时，此方程为齐次方程；而当()0Q x ≠时，此方程为非齐次方程.

运用积分因子法对二阶线性微分方程进行求解.

积分因子法的其他应用

证明一些初等公式或一些命题.

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

本课题归纳总结的主要内容是积分因子法在常微分方程中的应用.利用积分因子法来解决常微分方程的一些复杂的计算问题，使计算过程更加简单易理解.并且积分因子是不唯一，有简单也有复杂.不管它如何，它在常微分方程的计算中都有着不简单的力量.通过参考一些文献资料，以及自己对文献资料的理解和自己掌握的知识，并经过自己的努力，在最后可以用积分因子法解决一些常微分方程的计算.

常微分方程的解本来就是一个难点，又由于对积分因子的了解不是很深，在之前学习的只是最基础的.因此，对于它的应用还是有一定的难度的.

尽管这个课题有一定的难度，但是我相信不管困难是什么，总能找出方法来解决的.应用积分因子法可以使很多常微分方程的计算得到简化，能够达到化难为易的目的.

常微分方程的研究与其他学科领域的结合，使得各种新的研究分支出现.相信常微分方程会在更多的科学领域有更好的应用，并会有更好的发展，做出更大的贡献.