【西安交通大学】【电磁场理论】【全泽松】【宋建平】第2章课件

p r
• 。习题20，有一长同轴电缆，内外半径分别为 a,b,导体间填充有介电常数 的电介质，两导体 间加电压U, 求场分布及单位长度电容。 • 解：采用柱坐标中的拉斯方程。(r, , z )
1 1 2 2 与，z无关 1 2 (r ) 2 2 (r ) 0 2 r r r r z r r r


a
E dr Er dr
a
2r ，Er
E
2r
2r
ln
a r
• 通常很少有直接利用积分法求解的。按唯一性定理可用 其它方法来解，如：分离变量法、镜像法、格林函数法， • 复变函数保角变换法等求解方法。 • 分离变量法
• 第一步求拉氏方程 的通解 • 第二步根据给定的边界条件确定所得通解中的特定系数， 以求得给定问题的特解。 • 关于边值条件，通常分三类：
（x, y, z ) f ( x) g ( y)h( z )
2
f ( x) g ( y) h( z ) g ( y ) h( z ) f ( x ) h( z ) f ( x) g ( y ) 0 2 2 2 x y z
2 2
• 代入方程得：
• 。
1 2 f ( x ) 1 2 g ( y ) 1 2 h( z ) 即 0 2 2 2 f x g y h z
P 0
• 导体边界条件 n D s 用电位表示 s n nE 0
常数
• 其中n为界面方向单位矢量，方向由导体指向介 质。注意，整个导体为等电体，导体表面为等位 面，导体内部电场为零。
• 静电场唯一性定理。 • 在区域V内自由电荷分布给定，V边界上电位 s 或电位的法向导数 s 给定，则V内电场唯一 n 确定 • 可以根据已知条件对问题提出尝试解， • 各种各样的求解方法，只要尝试解能满足边界条 件，即能满足唯一性定理所要求的条件，则这个 尝试解就是正确的解。
v
1
(r ' )
dV '
• 对于点电荷 (r r ' )
2
q

• 静电场中电位差 P Q P
Q
E dl
• 对某点的电位必须要选参考点 通常选常选无穷远点处 考点 Q P E dl E dl

• 静电场满足 E ，则 E （ ） 2
，称泊松方程
2

0，求解域若无电荷，称拉普拉斯方程
2
•
柏松方程的一个特解 (r ) 4 R • 其中 R r r ' ( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z ' ) 2 12，R 0
解：在直角坐标，由于金属管为无限长，则电位与Z
坐标无关，所以电位满足二维拉氏方程。其解可写为： ( x, y) ( Achx Bsh x)(C cos y D sin y) (m1 m2 x)( m3 m4 y) 共有A, B, C , D, m1 , m2 , m3 , m4 ,九个待定参数
x y
• 设 f ( x) g ( y )
1 2 f 1 2 g 令 2 f x 2 g y 2
• 要使上式对x, y的一切值都成立，只要两端都等于常数。 2 设此常数为 d 2 f 2 f 0 2 dx 则有 2 d g 2 2g 0
m
于是矩形管内电位为：
Dm
m 1

m A m sin( y) b m 1
,
Am m ma ma mx mx sin( y ) ch sh ch sh m b b b b b sh ( ) b
sh m (a x) b ma sh b
• 对任何x, y, z上式都要成立。即三项都必须等于常数
• 。
1 d2 f 2 f dx 2 2 1 d g 得 2 g dy 2 1 d 2h 2 h dz 2
、、，称分离常数，满足 2 2 2
• 只要任意两个常数 、 选定，则第三个常数 就 被确定。我们任意选 2、 2为正数
(5)
• 利用正交性

b
0
sin
my b
sin
• 注意到上式x, y, z的函数形式是可以互换的， • 例:若 为虚数，则 f (x) 的函数将是ch和sh. • 总之，三个乘积解中某个是双曲线函数。则其余 二个必为三角函数。
• 此外再考虑若均为零解 0， 0， 0 • 则还有解的形式 f m1 m2 x, g m3 m4 y, h m5 m6 z • 必须补充到通解中去。 • 如果电位与某个坐标量（如z）无关，则拉普拉 2 2 斯方程简化为： 2 2 0
U r 同轴电缆内任一点的电位为： ln a 0ln b ln b U 0 电场强度E [ r ar 0a 0az ] ln a ln b ar
• .在内导体表面上的电荷密度为：
|r a a (ln b ln a ) 2U 0 单位长度电荷量q 2a 1 s lnbln a
(r ,0,0)

查积分表
4

L/2
dz r2 z2
L / 2
2
L [ln( z r 2 z 2 ] |0 / 2


( L / 2) r 2 ( L / 2) 2 2 ln r 设L r L 2 r
ln
当L 时此结果变为 ，这是因为电荷不是分布 在有限区域内
• 第一类边值条件（狄里赫利问题）：给定整个边界面的电位

• 第二类边值条件（纽曼问题）：给定整个边界面电位的法向导数
n
s
s
• 第三类边值条件（混合边界问题）：边界上某些部分给定电位， 其余部分给电位的法向导数。
• 根据不同的边界形状，采用不同的坐标系 2 2 2 • 直角坐标系，拉普拉斯方程为： 2 2 0 2 x y z • 设其解为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）所有可能得解的叠加仍为方程的解，该思想很重要。
• 代入条件（3）得：
m m m 1 Dm sin( b y) Amch b a Bm sh( b a) 0 m

必须括号内两项之和为零，即 m Bm Am ch( a) / sh( a) b b
( x. y )
第二章 静电场
• 静电场满足 (场量）=0, 电荷相对于观察者不动 • 并有 • 及分离面上的边界条件
D E 0
t
J 0
磁场为零，
D E
n ( D2 D1 ) s n ( E2 E1 ) 0
电容为c
q U0
s
n
|r a

r
U 0
2 ln b ln a
• 若用高斯定理也可以做，设内芯表面单位长度的 电荷为q0，则长L段内： D ds 2r L Dr q0 L
S
，Er b U 0 E dr
从条件（2）得m4 0，， b 0，则b m sin
• 则 m m / b，其中m 1 2， ，3.......
m m m Dm sin( y )[ Am ch x Bm sh x] b b b m 1

注：（ ）如果D再为零，则方程就失去意义了 1
• 则通解为： ( x, y) ( Achx Bsh x)(C cosy D sin y) (m1 m2 x)(m3 m4 y) • 有时也可用 e y和 ey来代替 chy 和 shy 上述的9个代定参数由边界条件来确定。
• 。习题 22 ，一无限长的矩形金属管，在x=0的一 侧电压为U0，在x=a、y=0、y=b处均接地。求金 属管内的电位分布。 b
需满足边界条件
(1) y 0， ( 2) y b， (3) x a， ( 4) x 0，
0 x a； 0 0 x a； 0 0 y b； 0 0 y a； U 0
• 从条件（ ）得m 0，c 0 。 1 3
方程变为 (m1 m2 x)m4 y ( Achx Bsh x) D sin y
P P
• 但注意也有例外
• 。习题18 求均匀电场E0 的电位分布 • 求空间任一点的电位，可选任一点作为坐标原点 • 均匀电场电位不能选无穷远处为电位参考点，例 如可选原点为电位参考点。 p 0 P P 0 E0 dl E0 dl E0 r E0 r cos
• 积分两次得 c1 ln r c2由边界条件确定 c1 和c2 |r a U 0 c1 ln a c2 |r b 0 c1 ln b c2
解得c1
U0 ln a ln b
，c2
U 0 ln b ln a ln b
将c1，c2 代入得
q0 2r
a
Dr
q0 2r
得q0
2U 0 ln b ln a

q0 a 2r
b
dr

q0 (ln b ln a ) 2
• 习题21，真空中有一段长为L的细致均匀电线其 电荷密度为 ，求此带电直线的线平分面上任一 点的电位及电场的分布。 • 解：在柱坐标中, A点的电位：
• 于是得到三个微分方程的解为：
f ( x) A cos x B sin x g ( y ) C cos y D sin y h( z ) Fchz Eshz
( x, y, z )
( A cos x B sin x)(C cos y D sin y)( Fchz Eshz )
• 。习题19， 求点偶极子的电位及电场 • 解： 空间任一点 p 的电位 q ( 1
4 0
R

1 R
)
r L时R r L cos ，R r L cos 2 2
1 R

1 R q

L cos r2
1 4 0 r 3 4 0 其中p q L称电偶极距 1 1 球坐标： r ar r a r sin a q 4 L co s 2 q L cos q L sin 0 r2 E [ 4 0 r 3 ar 4 0 r 3 a 0a ] 2 p cos p sin p qL 4 0 r 3 ar 4 0 r 3 a L cos r2
• 修正方法：电位参考点选不在无穷远处，而选择 其它电位参考点，电位表达式加一任意常数c
ln c 选任何点r a作为 0的参考点 L 得c 2 ln a ，即 2 ln a r
L r

2
注：实际上用高斯定理可求出：L 2rL D
则D