第十章 影响线及其应用

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在寻求最不利荷载位置时，由于结构上各量值 的变化规律并不相同，因此只能逐一考虑。例如： ( 图10-2a) 所示的简支梁，当有一汽车自左向右移动 时，各截面的内力和支座反力等都将随荷载的移动 而变化( 图10-2b)。其中，左支座反力 FAy是逐渐减小 的；相反，右支座反力 FBy的变化却是逐渐增大的。 可见FAy和FBy的变化规律是不同的，因而它们的最不 利荷载位置也是不同的。
M C FBy b
退出
x b l
当荷载FP＝1作用于截面 C以后时，即xa时，上 面所求得的影响线方程显然已不再适用。因此，需 另行列出MC的表达式才能作出相应部分的影响线。
退出
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为计算简便，取 AC段为隔离体，以FAy对C点取 矩，即得荷载FP＝1在截面C以右移动时MC的影响线 方程为
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FP
吊车
T c
T
FP
T c
T
吊车梁
图10 10-1(a)
图10 10-1(c)
退出
图10 10-1(b)
退出
图 10 10-1(d)
2
严格说来，活载是一种动力荷载。但为了简化
计算，在工程设计中常把它作为一种位置在变化 的静力荷载来处理，而对其动力效应则用一个相 应的动荷系数来表示 结构在活载作用下的计算，从原理上讲与前 述静力计算无异，只是荷载位置不是固定的。显 然，要求出活载作用下某一量值的最大值，必须 先确定产生这种最大值的荷载位置。这一荷载位 置称为该量值的最不利荷载位置。
1
大型屋面板
在实际工程中，活载又可分为移动活载和可动 活载两类。汽车荷载吊车荷载都属移动荷载， 而人群、风、雪等活载则属可动活荷载。 移动活载: 吊车梁要承受吊车荷载(图10-1a)，桥梁要
折线形屋架 吊车梁 柱
FP
FP
承受汽车、火车荷载(图10-1b)等。
可动活荷载: 人群荷载(图10-1c),雪荷载(图10-1d)等。
令 δ X 1 则上式变为 X δ P
Leabharlann BaiduδP δX
这样，原结构便成为具有一个自由度的机构。 使该机构发生任意微小的虚位移，并以 X和 P分别 表示力X和FP的作用点沿力的作用方向的虚位移。
由此可知，使X ＝1 时的虚位移 P图就代表X的 影响线，只是符号相反。
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综合上述可知，为了作出量值 X 的影响线，只 需将与X相应的约束去掉，并使所得机构沿 X的正方 向发生单位位移，则由此得到的虚位移图即代表 X 的影响线。这种绘制影响线的方法，便称为机动法 机动法。
A
b
MC影响线 K
FP
横座标 单位荷载 FP=1的位置 求内力的截面 位置 纵座标 指定截面内力的影响系数 截面的内力
a
l
C
B
b
FP=1
量纲 (单位 ) 弯矩影响线：长度 (m) 弯矩图 :力×长度(kN.m)
（＋）
(a)
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B
图形画法 正值画在基线上侧
正值画在基线下侧
Pab l
M图
图10 10-6
A Ay
C Ay D Ay E Ay
影响线是研究活载作用下结构计算的 基本工具。 基本工具 。应用它 应用它， ，可确定最不利荷载位 置，进而求出相应量的最大值 进而求出相应量的最大值。 。
B Ay
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第二节 用静力法作静定梁影响线
一、简支梁的影响线
1. 反力影响线 设要绘制简支梁( 图10-4a) 反力 FAy的影响线。为 此，取梁的左端A为原点，令x表示 FP＝1至原点 A的 距离，并假定反力的方向以向上为正。根据力矩条 件由MB＝0，
(e)
1
由上述可知，用机动法作静定梁的内力或反 力影响线时，在去掉与所求量值 X相应的约束后， 原结构就成为具有一个自由度的机构。当此机构 沿X的正方向发生单位位移时，各杆段将如同刚性 杆段那样发生符合约束条件的转动或移动，由此 所得到的虚位移图沿 FP＝1 方向的分位移即代表 X 影响线。
例 10 10-1 试用机动法绘制图 10-9a所示多跨静定 R L FQC FQC 梁的FBy、MK、MC 、 、 的影响线。
B
(l x) l x l l 绘制影响线的两种基本方法 FAy FP
——静力法和机动法 注意影响线竖标的意义！
1
yC y 量值FAy的影响线 D
12
3
图 10-3a 所 示 的 简 支梁，其支座 A 的反力 (a) F =1 FAy的影响线( 图 10-3b) 的 B A E C P D A C B 竖 FAy 标 、FAy 、 、FAy l l l l 分别表示FP＝1 作用于A、 FAy 4 4 4 4 FBy C、…、B各点时，反力 (b) F 1 3 FAy的大小。显然，FAy的 F 1 1 4 F 2 F 影响线只能 表示 FP ＝ 1 4 F 0 在梁上移动时FAy的变化 规律。如果要表示 FBy或 FAy影响线 其它量值的变化规律， 则需另行作出FBy的影响 图 10 10-3 线或其它相应量值的影 响线。
2. 弯矩影响线 设要绘制简支梁指定截面(图10-5a)的弯矩影响线。
A x FP=1 a l C b B
由此可知，MC的影响线在截面C以左部分为一直线。
A x FP=1 a l
ab l
C b
B
(10-5a)
为此，先将荷 FP＝1作用于截面 C左方的某一位 置x(xa) 处。为计算简便起见，取梁的CB段为隔离 体，以FBy对点 C取矩，并规定以使梁的下边纤维受 拉的弯矩为正，则得
荷载 (FP=1)的位置而变化的规律的图形。
比较简支梁弯矩影响线和弯矩图的不同 影响线 荷载 内力图 A 移动的单位荷载FP=1 实际的固定荷载 A
FP=1
a
l
ab l
（＋）
C
B
第三节 用机动法作静定梁影响线
用机动法作静定结构的内力或反力影响线是以 刚体虚位移原理为依据的，它把作内力或反力影响 线的静力问题转化为作位移图的几何问题。以绘制 图10-7a所示梁的反力FAy的影响线为例，说明这一方 法。
MC
A
x
FP=1 a l
ab l
C
b
B
上式表明：MC的影响线在截面 C以右部分也是 一直线。 F =1
A x C l
ab l
P
lx FAy a a l
(10-5b)
a
b
MC影响线
全部影响线如图。
B
a
b
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从上列弯矩影响线方程可以看出：左直线可由反 力 FBy 的影响线将竖标放大到 b 倍而成，而右直线则可 由反力 FAy 的影响线将竖标放大到 a 倍而成。因此，可 以利用 FAy 和 FBy的影响线来绘制 MC的影响线。这种利 用某一已知量值的影响线来作其他量值影响线的方法， 常会带来较大的方便。
图10 10-2
移动荷载通常都具有大小和方向保持不变的特点， 考虑到结构的量值与荷载成正比，故可先研究单位移 动荷载（FP=1 ）在结构上移动时某指定量值的变化规 律，根据叠加原理就可研究实际移动荷载作用下该量 值的变化规律。 为了清晰和直观起见，最好把量值随 FP＝1 移动 而变化的规律用函数图形表示出来，这种图形称为影 影 响线。它的定义如下：当一个方向不变的单位荷载沿 响线 一结构移动时，表示某指定截面的某一量值变化规律 的函数图形，称为该量值的影响线。
第十章 影响线及其应用
第十章 影响线及其应用
第一节 影响线概念 第二节 用静力法作静定梁影响线 第三节 用机动法作静定梁影响线 第四节 利用影响线求影响量 第五节 最不利荷载位置 第六节 连续梁的内力包络图
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第一节 影响线概念
一般工程结构除了承受恒载外，还将受到活载 的作用。在进行结构设计时，需要算出结构在恒载 和活载共同作用下各量值的最大值。就需要研究活 载作用下结构各量值的变化规律，以便找出它们的 最大值。
退出
研究移动荷载作用的基本工具——影响线 定义：表示结构中某一量值 S随单位移动荷载（ FP=1） 的位置而变化的规律的图形，称为量值 S的影响线。 影响线是研究移动荷载作用的基本工具。 现以图示简支梁A支座反力(FAy)影响线为例进行说明
FP=1 FP=1 x A FAy l
C D
根据力矩条件由MB＝0可得
A
δX
(a) 下面再讨论用机 动法作简支梁的 内力影响线。
A
a
A1 xa x=+ l C1
FP=1
B
b
(b)
A

FP=1

C Mc δ P a
B
FP=1
(a) (b) (c)
退出
B
1
ab l
(c)
FQC C2
δP
(d) A
1
C
FP=1
x δ P
B
1
X
C1 FQC
FAy影响线
退出
图10 10-8
A x
下面先以简支梁为例，介绍按静力法绘制其 反力、弯矩和剪力影响线的方法。
FP=1
l
B
(10-4a)
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4
FAy l FP (l x) 0
由此可得
FAy FP
(l x) l x l l
为了绘制反力 FBy的影响线，可取对左支座的力 矩平衡条件MA＝0，
FBy l FP x 0
因 FAy是x 的一次函数，故 FAy 的影响线是一根直 线，它只需定出两个竖标即可绘出。如图10-4b
lx l
由此得FBy的影响线方程为： FBy
x l
绘得反力Fby的影响线如图10-4c所示。
1
x l
1
FBy影响线
FAy影响线
(10-4c)
(10-4b)
退出 退出
在作影响线时， 在作影响线时 ，通常规定将正号影响线竖标绘 在基线的上边，负号竖标绘在下边 在基线的上边， 负号竖标绘在下边。 。
3. 剪力影响线
当FP＝ 1 在截面C以左移动时，取截面 C以右部 分为隔离体，可得FQC FBy 当 FP ＝ 1 在截面 C 以右移动时，取截面 C 以左部 分为隔离体，可得 FQC FAy 由上面两式可知， FQC 影响线的左直线与反力 FBy的影响线竖标相同，惟符号相反，而其右直线则 与 FAy 的影响线相同。据此，即可作出 FQC影响线如 图9-5c所示。 1 (10-5c)
退出
(2) MK影响线
x K MK 2m 4m B 3m E 3m C 2m F DG 2m 1m
A
以下不再绘出机构的虚位移图，直接作出所求 量值的影响线。 设想将截面 K改为铰接，使铰K左右两侧杆段发 生单位相对角位移，为此，可取 AA ＝2 ，得点 K的 竖标为4/62=4/3，由几何关系可求得点 E的竖标为1 ； 进而可作出 ECF段和 FDG各段的影响线。 MK的影响 线如图10-9d所示。
退出
设要绘制截面C(图10-5a)的剪力影响线。
A x
FP=1
a l
C b
B
可先列出 FQC的影响线方程。关于剪力的正负 号，仍规定以使隔离体有顺时针转动趋势者为正。
b l a l
1
FQC影响线
退出
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二、影响线与内力图的比较
内力图：已知荷载作用下各截面内力 沿杆长变化规律的图形。 影响线：结构中某一量值S随单位移动
A
x K 2m 4m
B 3m
E 3m
C 2m
F
DG 2m 1m
(10-9a)
退出 退出
8
解：(1) FBy影响线
B´ x＝1 BF 1
Fby影响线
E´ E
1.5
A
C
F F´
D
G´ G
By
0.5 1
(10-9b、c)
退出
撤去 B处的支座链杆，以FBy代替其作用，并使梁 ABC 的点 B向上发生单位虚位移 ( 图 10-9b ，令BB ＝ 1) 。 这时ABE将绕点A转动，由几何关系可知，点E的虚位 移 EE ＝ 1.5 ；由此又将使梁段 ECF 产生虚位移，因 ECF 在点 C 应满足竖向位移等于零的约束条件，故 ECF只能绕点 C转动，由比例关系可求得 FF ＝1 ；同 理，进而又将引起梁段 FDG绕点D转动，由比例关系 可得 GG ＝ 0.5 。梁的虚位移图如图 10-9b 所示。据此 即可绘出FBy的影响线如图10-9c所示。
A
2
4/3
K
MK影响线(单位m) 1
A
B
E
C
2/3
F
G D 1/ 3
(10-9d)
退出 退出
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(3) MC影响线
x A K
L (4) FQC 影响线
B
E
C
MC
F
DG
A
x K 2m 4m
B 3m
E
L FQC
C 2m
F
DG 2m 1m
2m
4m
3m
3m
2m
2m 1m
1
3m
L FQC
MC影响线(单位m)
图10 10-7
为了求出反力 FAy应将与它相应的约束去掉而以 力X代替其作用，如图10-7b所示。
A
δX
则根据虚位移原理有
Xδ X FP δ P 0
FP=1
作影响线时，取FP＝1，故得
B
(a) (b)
X
δP
X
图10 10-7
式中 X即为力 X作用点沿其方向的位移，故在给定 虚位移的情况下，它是不变的；但 P却随荷载FP＝1 的位置不同而变化。