正项级数的一个收敛性判别法

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（责任编辑：侯谦民ｌ
ｅ）≯（ｍ。１）＋１＜（ｒ＋ｅ）ｍＩ＜￡成立，因此有： 弋七弋七电弋七七弋弋七弋弋七弋弋七七七七弋弋弋弋女七弋七七七七弋七七七女弋电电七七七电弋弋
（上接第３３页）盾凸显期”。只有保持稳定，才能聚精会神
知识，融会先人经验，做一个知书达理之人。第二还是学
出更大贡献。我们大学生，应站在国家的高度上，从全局 出发，从整体利益出发，把稳定放在第一位，任何一个局部
大势所趋。因此，大学生应在有限的在校期间，学会学习， 为终身受用打下坚实基础。
出现问题，包括对中日关系的处理上，一定不能感情用事，
忠于职守，才能维护国家的根本利益。国家的根本利
见风就是雨，“跟着跑”，应从维护安定有秩的局面出发，做
的游行等活动，把强烈的爱国热情转化为刻苦学习的实际
守，高质量的完成本职工作，为国家作出自己最大的贡献， 才能算得上一名合格的公民，合格的学生。
忠于职守，才能不辱自己的神圣使命。大学生神圣使
行动，为实现国家的根本利益奉献自己的聪明才智。 爱国不仅是情感的表达，更是切实行动。如果说国家
在危难时刻，爱国就是拼死抗争，和平年代，爱国就是专心
彗甜。是收敛的，由上述引理知正项级数薹‰是收敛
性。
（２）因为ｍ＞１，由达朗伯尔判别法知正项级熬州
是发散的，由上述弓Ｉ理知正项级数ｋ苌－Ｉ‰是发散的。
（３）（对ｍ＝２＞１）级数薹｛是发散的， 卜ｌｉｒａ。（１／
彬“）（１／∥）＝去５ 级数葛１／（ｎ砰ｎ）是收敛的，而规［１／（∥“
［收稿Ｂ期］２００５—０６—１０
命就是努力完成学业，成为一名合格的社会主义建设者和 接班人。为达此目标，莘莘学子们应该：第一是学习，第二
建设，那么，当前的爱国，就是维护和平的环境。合理有序 地表达我们大学生的情感，为稳定和谐的校园，为实现中
还是学习，第三仍然是学习。这里并非是玩文字游戏，而
华民族的伟大复兴贡献我们的聪明才智。
是讲的实际。第一是学习，这是学生的天职要求，天职是
5.期刊论文 谭宝军.TAN Bao-jun 关于正项级数收敛的一个命题 -辽宁师专学报（自然科学版）2007,9(1)
给出一个判定正项级数收敛的命题.
6.期刊论文 赵红海.ZHAO Hong-hai 活用正项级数的比较收敛法 -张家口职业技术学院学报2006,19(1)
主要介绍了正项级数比较判别法的运用,利用所求级数的通项与特殊级数的通项相比较,简单快速地判断敛散性.
＞０且０＜ｒ＋￡＜１，存在正整数Ⅳｌ，当ｎ＞Ｎｉ时有不等式 ０＜ｌ口Ｉ＋ｌ／％Ｉ＝ｒ＂４－ｅ＜１成立。
因为０＜ｒ＋￡＜１，所以ｌｌｍ（ｒ＋ｅ）。＝０，存在正整数
Ⅳ２，当ｎ＞Ⅳ２时有不等式
０＜（ｒ＋ｅ）。＜ｅ成立。
因为一定存在正整数足使得∥＞—撇｛ＮＩ’Ⅳ２｝，当七
＞Ｋ时。有：
一
ｆｏ＋１‰‘Ｉ＜ｆｏ＋１／口Ｉ，Ｉ‘“一¨ｆ‰‘“一ｌ／‰‘“一
2006,6(6)
讨论了正项级数的两种判别法:比值判别法和根值判别法,以及两者的关系,从一个引理出发证明了凡是可用比值判别法的正项级数必能用根值判别法 ,在一定条件下逆命题也成立.
4.期刊论文 韩振芳 关于正项级数收敛的两个性质 -张家口师专学报2002,18(3)
根据正项级数∑∞n=1un的敛散性,判别∑∞n=1ukn的敛散性的几个重要结论.
同时使用方便。
４．例
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＇
例１判别正项级数∑了＝兰—７的收敛性。
－‘ｉ￣，ｎ＋ｌ ４－Ｖ ｎ
ａ２ｔ＋ｌ／小考糕啦ｋ万南，Ｉｌｉｔ此 这个级数的敛散性用达朗伯尔判别法是不能判别的。
因为
ｌ
‰２ ＺＶｎ＝，４－ｌ再＋ＶＺｎ’
卜ｌｉｒａ。ａ２ｔ＋ｌ／ａ２ｔ＝觇考每撩＝，胚·尼
＋－
１
由定理ｌ知，正项级数∑了＝≠—下是发散的。
的重要内容。我们所处的国际国内环境相当复杂，保持社
这既是时代的要求，也是每个大学生不可逾越的鸿沟。第
会稳定，才能抓住机遇，克服困难，应对挑战。一个稳定、
三仍然是学习，指学习是无止境的，应该伴随终身，因为科
开放、繁荣的中国，必将为维护世界和平、促进共同发展做
技迅猛发展、日新月异，不学习就落伍，不学习就遭淘汰是
7.期刊论文 冯林安 进一步探讨正项级数的收敛与发散 -贵州师范大学学报(自然科学版)2002,20(2)
介绍一个关于正项级数收敛与发散的判别法,并由此判别几个重要级数的敛散性,以此说明没有一个正项级数发散得最慢,也没有一个正项级数收敛得 最慢.
8.期刊论文 周霞.ZHOU Xia 正项级数敛散性的判别模式 -成都大学学报（教育科学版）2008,22(1)
搞建设，一心一意谋发展，也才能妥善应对和处理各种新 情况新问题，牢牢掌握加快发展的主动权。构建和谐社会 需要稳定。稳定是和谐的前提和基础，也是构建和谐社会
习，指跳出书本，学习社会，了解社会，跟上社会。当今信 息社会，学生光有书本知识是不够的，而应该是书本知识 与社会实践相结合，才能不至于大学毕业，就淘汰出局。
级数理论是数学分析的重要组成部分,而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和 问题必须先解决正项级数收敛性判断.正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法 ,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率 ,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍.
＂ｔ－ｉＦ＿整数ｍ＞ｌ有下列结论成立：
（１）如果鲤ｏ＋ｔ／ｏ＝ｒ＜去，则级数薹‰是收敛
的ｏ
（２）如果墼ａｏ＋１／ｏ＝ｒ＞＿｝，则级数薹‰是发散 －ｒ●■
的；
（３）如果■。垫●● ｏ＋１／ｏ＝ｒ＝去，…则级数薹一。‰可能是
收敛的也可能是发源自文库的，该判别法不能判定级数善ａ，ｌ的
收敛性。 证明：（１）因为ｍ＞１，由达朗伯尔判别法知正项级数
Ｓ『一＜（口ｌ＋口２＋…＋ａ，｜Ｉ—１）＋（口１＋口２＋…＋‰一１） ＋（口ｍ＋口ｍ＋ｌ＋…＋口ｍ２－１）＋……＋（口基＋
…＋口乞一１）
＜（ｍ—１）口ｌ＋（ｍ一１）ｍｏ。＋……＋（ｍ—１）ｍｋ乞 ：（ｍ—１）（ＢＩ＋眦。＋……＋ｍ÷ａ乞） ……（ａ） 另一方面 ＆∥＝口ｌ十（口２＋…＋‰）＋（口ｍ＋Ｉ＋…＋‰２）＋…＋
２Ｉ………Ｉ口ｍ‘＋１／ａｍｉ Ｉ＜（ｒ＋ｅ）—产＋１一，≯＋ｌ ４＝（ｒ＋
ｌｉｍＩｏ“／ｏＩ＝０成立。
定理２说明了新的判别法与达朗伯尔判别法的关系：
达朗伯尔判别法能判别的级数收敛性，该判别法一定能判
ｌｉｂ该判别法能判别的级数收敛性，达朗伯尔判别法不一
定能判别。因此该判别方法较达朗伯尔判别法更为精细
2.期刊论文 张亚敏 正项级数两种判别法的比较 -黑龙江科技信息2007,""(21)
讨论了正项级数的两种判别法:比值判别法和根值判别法,以及两者的关系,得出凡是可用比值判别法的正项级数必能用根值判别法,逆命题不成立,根 据具体问题的特点采用不同的方法,解题得难以程度不同.
3.期刊论文 曹春芳.王卫勤.CAO Chun-fang.WANG Wei-qin 正项级数两种判敛法的关系 -泰州职业技术学院学报
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hbcrjyxyxb200505030.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d905f1b4-46c1-4d75-b0a3-9dcf00a9d6d9
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【关键词】正项级数收敛发散判别方法 ［中图分类号】Ｇ４２ ［文献标识码】Ａ
１．引理
引理设葚是正项级数，并且ｄ，Ｉ＋ｌ＜ａ，Ｉ，对于某个
正整数ｍ＞１有下列结论成立：
（１）如果级数薹甜。是收敛的，则级数薹ａ，Ｉ是收敛
的ｏ
（２）如果级数薹州是发散的，则级数薹‰是发散
的。 证明：记Ｓｆ舻＝口１＋口２＋…＋ｏ，，士 贝ｑ
10.期刊论文 李林.Li Lin 正项级数敛散性判别法的源与流 -福建工程学院学报2007,5(1)
利用正项级数的比较判别法这个源头,通过不同的后台级数尝试着揭示许多判别法的发现过程,从中发现了一种普遍的方法和规律,即利用标准级数的 适当组合及其参数判别敛散性,再用一般级数代替加以验证,并将这种规律进行拓展与创新获得2种新的判别法,即若正项级数∞∑n=1un,有lim n→∞ ln/ln n/ln n[n/ln n(n√1/un-1)]=p lim n→∞ n/lnn(n√1/un-1)=P.当P＞1时,∞∑n=1 un收敛,当P＜1时,∞∑n=1un发散.
（蠢一１＋…＋ｏ）
＞工卫山口１＋（ｍ一１）ａｍ＋ｍ（ｍ—１）‰２＋…＋ ＩＨ，
：ｍ（㈣Ｉ—【ｌ’Ｄ（ｍｌ一＋１‰）ｏ＋ｍ２０＋…＋∥ｏ】 ¨‘ ……………………………………………．·（ｂ）
（ａ）式表明结论（１）是正确的，（ｂ）式表明结论（２）是
正确的ｏ ２．一个新的判别方法
定理１设葛氐是正项级数，并且ｄ，ｌ＋１＜‰，对于某
由于既不存在收敛得最慢的正项级数也不存在发散得最慢的正项级数,因此可以不断地发现新的收敛得(或发散得)更慢的正项级数,以便得到由它们 导出的新的判别法则.文章试从判断一类正项级数收敛性出发,讨论如何从这么多的方法中选择合适的一种正项级数敛散性判别的模式.
9.期刊论文 宋婕 浅谈四类正项级数收敛性判别法的比较 -跨世纪(学术版)2009,17(1)
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正项级数的一个收敛性判别法
谢春娣
（武汉科技学院数理系，湖北武汉，４３００７３）
。晡眩恝著黧兰裟芝竺湍篱篡躺慧裟篓裟羔嚣臻篇羹
正项级数收敛性判别方法，通过讨论新的判别方法和达朗伯尔判别法之闱的天糸’饥明３墩纠刺刀““４”…１’７“…“ 更为精细同时使用方便。
万方数据
·６９·
ｌｎ２∥＋１）／（１／∥肿∥）］＝去，这两例说明该判别法不能
判定级数∑口｜Ｉ的收敛性。 ３．新的判别法与达朗伯尔判别法的关系 定理２设｛口－ｌ｝是正项无穷数列，如果ｌｉｌｎ Ｉ‰＋ｌ／‰Ｉ
＝ｒ＜１，则对于某个正整数ｍ＞ｌ，有
ＪｉＩｎｌｏ＋１／ｏＩ＝ｏ。
证明：因为ｌｉｍＩ％＋ｌ／‰Ｉ＝ｒ＜１，因此对于任意的￡
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1.期刊论文 范锡良.fAN Xi-liang 正项级数∑∞n=1bnan收敛的一个充分条件 -宜春学院学报2007,29(4)
对于正项级数中的∑∞n=1bnan给出了一种新的审敛法,推广了文[1]中的判别方法,并且用它解决了极限值为Euler常数的数列极限存在问题,以及求 幂级数的收敛半径.
益就是发展，就是实现祖国的统一。我们的大学生，就是
稳定的促进派。
要把主要精力集中在学习上，把思想统一到中央应对复杂
３．爱国就要忠于职守
国际形势作出的重要判断和重大决策上，自觉维护社会秩
一个合格的爱国者，应该是一个顾全大局者，应该是
序，不仅自己不参加，而且也要劝阻别人不参加未经批准
一个遵纪守法者，更应该是一个忠于职守者。只有忠于职
（责任编辑：尔东）
最高之职，不可逃避，不可懈怠，只能孜孜以求，学好书本
万方数据
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正项级数的一个收敛性判别法
作者： 作者单位： 刊名：
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谢春娣 武汉科技学院数理系,湖北,武汉,430073
湖北成人教育学院学报 JOURNAL OF HUBEI ADULT EDUCATION INSTITUTE 2005，11(5) 0次