黎曼ζ函数

黎曼ζ函数

黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。

上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。

在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分

(1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份

(2)

(3)

(4)所以

(5)评估,让这和代入上述身份获得

(6)

(7)

(8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数,

(9)这是有时被称为p系列.

黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过

(10)作为一个梅林变换通过

(11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。

它出现在单位平方积分

(12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。

请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数.

黎曼ζ函数满足反射函数方程

(13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出

(14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。

如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将

军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循

(15)

在哪里是Euler-Mascheroni常数(惠塔克和沃森1990,p . 271)。

执行解析延拓为,写

(16)

(17)

(18)

所以重写的立即给

(19)因此,

(20)

在这里,右边就是求和狄利克雷η函数(有时也称为交替ζ函数)。而这个公式定义对于只正确的半平面方程(◇)可以用来分析继续它的其余部分复平面.解析延拓也可以执行使用吗汉克尔函数。一个全局收敛级数的黎曼ζ函数(它提供了解析延拓的对整个复平面除了)是由

(21)

(Havil 2003,p . 206)是一个二项式系数推测的Knopp大约在1930年,证明了哈斯(1930),和重新发现Sondow(1994)。这个方程与重整化和随机变量(Biane et al . 2001),可以通过派生而来欧拉系列转换与方程(20).

哈斯(1930)也证明了相关的全局收敛级数(但更慢)

(22) ,与(21),也可以扩展到黎曼ζ函数称为泛化赫维茨ζ函数 .这样定义

(23) (如果奇异项的总和定义排除在外,然后。)扩大关于给了

(24)在哪里是所谓的斯蒂尔斯常数.

黎曼ζ函数也可以定义在复平面的围道积分

(25)对所有,那里的轮廓如上图(Havil 2003,pp。193年和249 - 252年)。

0的(至少)两个不同类型。所谓的“琐碎的零”发生在所有负面的偶数 , ,,……,在某些“重要的零”

(26)为在“关键地带"。的黎曼假设断言的黎曼ζ函数零的都有实部,一行称为“关键线路。现在已经知道,“这是真正的第一的根源。

上面的图显示的实部和虚部(即。、价值观的沿着关键线路),多种多样,从0到35(德比郡2004,p . 2004)。

黎曼ζ函数可以分成

(27)在哪里和是Riemann-Siegel功能.

黎曼ζ函数是相关的狄利克雷lambda函数和狄利克雷η函数通过

(28)和

(29) (Spanier和奥尔德姆1987)。

这是相关的刘维尔函数通过

(30) (1960年雷曼1960年,哈代和赖特)。此外,

(31)在哪里的数量是不同的主要因素的(哈代和赖特1979,p . 254)。

为一个积极的偶数 , , ...,

(32)给第一个只有

(33)

(34)

(35)

(36) (OEIS A117972和A117973)。为 ,

(37)在哪里是Glaisher-Kinkelin常数。使用方程(◇)给出了导数

(38)

可以直接从哪一个沃利斯公式(Sondow 1994)。也可以直接从Euler-Maclaurin求和公式推导(爱德华兹2001年,页2001 - 2001)。一般来说,可以表达分析的吗 ,,Euler-Mascheroni常数,斯蒂尔斯常数,第一个例子

(39)

(40)

衍生品也可以在封闭的形式,例如,

(41)

(42) (OEIS A114875).

的导数黎曼ζ函数被定义为

(43)

(44)

可以在封闭的形式

(45)

(46)

(OEIS A073002),是Glaisher-Kinkelin常数(1894年得到Glaisher串联形式)。

的系列关于是

(47)在哪里是斯蒂尔斯常数.

1739年,欧拉发现rational系数在的伯努利数。,结合1882年林德曼证明吗是先验的,有效地证明了是先验的。的研究是更困难的。摹仿(1979)最终证明是非理性的,但不知道其他类似的结果奇怪的。由于摹仿的重大发现,有时被称为摹仿的常数。Rivoal(2000)和球和Rivoal(2001)证明有无限多的整数这样是非理性的,随后,至少有一个的 , , ...,是非理性的(Rivoal 2001)。这个结果被Zudilin随后收紧(2001),表明至少有一个 , ,,或是非理性的.

许多有趣的金额,一个正整数,可以用二项式系数的条件二项金额

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