2021-2022年高考数学专题复习导练测 第六章 高考专题突破三 高考中的数列问题 理 新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测 第六章 高考专题突破三 高考中的

数列问题 理 新人教A 版

1．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )

A ．－20

B ．0

C ．7

D ．40 答案 A

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q ≠1， 依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2≠0. 即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0， 又q ≠1，因此有q ＝－3，S 4＝

1×[1－－3

4

]

1＋3

＝－20，故选A.

2．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2

n 等

于( )

A ．(3n －1)2

B.1

2(9n －1) C ．9n －1

D.1

4

(3n －1) 答案 B

解析 a 1＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n

－1，①

n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，②

①－②得a n ＝3n －1·2(n ≥2)，

n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1.

∴a 21＋a 22＋…＋a 2

n

＝

a 21

1－9n 1－9

＝

4

1－9n

1－9

＝1

2

(9n －1)． 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 50＝0.设b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时，n 的值是( ) A ．23 B ．25 C ．23或24 D ．23或25

答案 D

解析 因为S 50＝50

2(a 1＋a 50)

＝25(a 25＋a 26)＝0，

a 1>0，所以a 25>0，a 26<0，

所以b 1，b 2，…，b 23>0，b 24＝a 24a 25a 26<0，

b 25＝a 25a 26a 27>0， b 26，b 27， 0

且b 24＋b 25＝0，

所以当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时，n 的值为23或25.

4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －1

3

，若1

k 的值为________．

答案 4

解析 当n >1时，S n －1＝23a n －1－1

3，

∴a n ＝23a n －2

3a n －1，

∴a n ＝－2a n －1，

又a 1＝－1，∴{a n }为等比数列，且a n ＝－(－2)n －1， ∴S k ＝－2k －13，

由1

<28， 又k ∈N *，∴k ＝4.

5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________． 答案 392

解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故填392.

题型一 等差数列、等比数列的综合问题

例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，

a 3＋4构成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项；

(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .

解 (1)由已知得⎩⎨

⎧

a 1＋a 2＋a 3＝7，

a 1＋3＋a 3＋4＝6a 2，

解得a 2＝2.

设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2

q

，a 3＝2q ，

又S 3＝7，可知2

q

＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.

解得q 1＝2，q 2＝1

2.

∵q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.

又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列，

∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝

n b 1＋b n

2

＝

3n n ＋1

2

·ln 2.

故T n ＝3n n ＋12

ln 2.

思维升华 (1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数