期权定价分析

期权定价分析

一、引言

期权，是指双方当事人达成某种协议，期权买方向期权卖方支付一定费用，取得在未来到期日(Maturity Data)或到期前按协议买进或卖出一定数量某种基础证券(Underlying Assets)的权利。欧式期权则指买入期权的一方只能在期权到期日当天才能行使的期权。

现代金融学与传统金融学最主要的区别在于其研究由定性分析向定量分析的转变。数理金融学即可认为是现代金融学定量分析分支中最具代表性的一门学科。定量分析必然离不开相应计算软件的应用，matlab就是一款最为流行的数值计算软件，它将高性能的数值计算和数据图形可视化集成在一起，并提供了大量内置函数，近年来得到了广泛的应用，也为金融定量分析提供强有力一直以来，MATLAB 在期权定价模型等金融工程方面有着极其重要的作用。本文通过应用MATLAB，实现欧式期权和隐含波动率在实践中的应用。

二、Black-Scholes-Merton期权定价模型及MATLAB 实现

1、B-S-M模型

假设股票在时刻t的价格过程S（t）遵循如下的几何brown运动：dS(t)=mS(t)dt+sS(t)dW(t)

无风险资产价格R（t）服从如下方程：

dR(t)=rR(t)dt

其中r ，m ，s>0为常量，m 为股票的期望回报率，s 为股票价格波动率，r 为无风险资产收益率且有 0

]),)(2/()([ln :)(ln 2t T s t T s m t S F T S ---+

欧式看涨期权是一种合约，它给予合约持有者以预定的价格（敲定价格）在未来某个确定的时间T （到期日）购买一种资产（标的资产）的权力在风险中性世界里，标的资产为由式（1）所刻画股票，不付红利的欧式看涨期权到期日的期望价值为：]0,)([max(^X T S E -，其中^E 表示风险中性条件下的期望值根据风险中性定价原理，不付红利欧式看涨期权价格c 等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：

}]0,)([max{^

)1(X T s E e c T r -=-- 在风险中性世界里，任何资产将只能获得无风险收益率。因此，lnS(T)的分布只要将m 换成r 即可：

]),)(2/()([ln :)(ln 2t T s t T s r t S F T S ---+

所以欧式期权的理论价格根据B-S-M 期权定价模型可以得出欧式期权理论价格的表达式：

欧式看涨期权：)()(2)(1d N Xe d N S C t T r t t ---=

欧式看跌期权：)](1[*)](1[*12)(d N S d N Xe P t T r t ---=-- 其中，2/122

1)

())(2()ln(t T t T r r X S d t --++=σ,2/1212)(t T d d --=σ

S t：标的资产市场价格

X : 执行价格

r : 无风险利率

：标的资产价格波动率

T-t: 距离到期时间

2. MATLAB实现

根据上一小节欧式期权价格的计算公式可以看出，若各参数已知，计算不分红利的欧式看涨期权的价格一般可以分为三个步骤：先算出d1，d2，涉及对数函数；其次计算N（d1）,N(d2)，需要查正太分布表；最后再代入公式即可得欧式期权价格。而在MATLAB中可以便捷的利用内部函数计算欧式期权价格，其函数是blsprice >>[call, put]= blsprice(price, strike, rate, time, volatility)

只需要将各参数直接输入即可，Price是股票价格，Strike是执行价，Rate代表无风险利率，Time是指距离到期日的时间，即期权的存续期（单位：年），V olatility表示标定资产的标准差。输出参数，Call表示欧式看涨期权价格，Put表示欧式看跌期权价格算例：考虑一只无分红的股票，若股票的现在价格为50，波动率的标准差为0.2，无风险利率为5%，期权的执行价格为60元，执行期为18个月，利用MATLAB计算欧式期权价格。

>>[call,put]=blsprice(50,60,0.05,1.5,0.2)

输出结果：

Call=

2.8012

Put =

8.4658

即购买一份标的股票价格过程满足公式的不付红利的欧式看涨和看跌期权价格分别为2.8012元和8.4658元

三、隐含波动率的应用

隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格Black-Scholes模型，反推出来的波动率数值。由于隐含波动率是由期权市场价格决定的波动率，是市场价格的真实印射，而有效市场价格是供求关系平衡下的产物，因此隐含波动率是一个重要的风险指标。历史波动率反映期权标的证券在过去一段时间的波动幅度，期权发行商与投资者在期权发行初期只能利用历史波动率作参考。

一般来说，期权的隐含波动率越高，其隐含的风险也就越大。期权投资者除了可以利用期权的标的资产价格变化方向来买卖期权外，还可以从标的资产价格的波动幅度的变化中获利。一般来说，波动率并不是可以无限上涨或下跌，而是在一个区间内来回震荡，投资者可以采取在隐含波动率较低时买入而在较高时卖出期权的方法来获利。期权的价格是否高估，主要是看隐含波动率与其标的证券的历史波幅之间的关系。隐含波动率是市场对相关资产（正股或指数）未来一段时间内的波动预期，与权证价格是同方向变化。一般而言，隐含波动率不会与历史波幅相等，但应该相差不大。如果隐含波动率明显超过

历史波幅，则表明期权被高估。

算例：考虑一只无分红的股票，若股票的现在价格为100，波动率的标准差为0.1，无风险利率为10%，期权的执行价格为95元，执行期为1年。

Price=100;

Strike=95;

Rate=0.1;

Time=1;

Callprice=15.0 %看涨期权交易价格

Putprice=7.0 %看跌期权交易价格

[Vc,Vp,Cfval,Pfval]=Implied V olatility(Price,Strike,Rate,Time,

Callprice,Putprice)

计算结果：

Vc=

0.1417

Vp=

0.3479

Cfval=

3.7957e-11

Pfval=

7.1054e-15

结果说明期权价格为call=15.00,put=7.00的隐含波动率分别为