数学分析课件：20-1含参量的正常积分

即
d
d
lim f ( x, y)dy lim f ( x, y)dy.
x x0 c
c x x0
表明: 矩形域上连续函数,其极限运算与积分运 算可交换顺序.
2. 可微性 定理2 若 f ( x, y)及其偏导数 f 都在矩形区域
x D [a,b][c,d ] 上连续, 则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
D [a,b][c,d ] 上连续, c( x), d ( x)在[a, b]上可微,
且当x [a,b]时, c c( x) d ,c d( x) d , 则函数
2008／06／07
第二十章 含参变量积分
§20.1 含参量的正常积分
一、含参量正常积分的定义
设 D [a,b][c,d ], f : D R, 如对 x [a,b],
函数 f ( x, y) 在[c,d ]上可积, 则可得如下函数：
d
I( x) c f ( x, y)dy, x [a,b].
1
0 f ( x,c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt
由于 f ( x,c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))在
矩形区域[a,b][0,1]上连续, 由定理1知, F ( x)
在[a, b]上连续.
2. 可微性
定理2' 若 f ( x, y)及其偏导数 f 都在矩形区域 x
故 0, 0,( x1, y1 ),( x2 , y2 ) D, 只要 x1 x2 , y1 y2 , 就有 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) .
故当x 时,有
d
| I( x x) I( x) | c f ( x x, y) f ( x, y) dy
在[a,b]上 可微, 且
d d
d
f ( x, y)dy
f ( x, y)dy.
dx c
c x
分析 :
I
x
d c
f x ( x, y)dy
I( x x) I( x) d
x
c f x ( x, y)dy
d f ( x x, y) f ( x, y) d
c
x
dy c f x ( x, y)dy
d
c dx (d c).
从而I( x)在[a,b]上连续.
同理可证 :
若f ( x, y)在矩形域D上连续,则含参量积分
J ( y) b f ( x, y)dx 在[c,d ]上连续. a
注:
若f ( x, y)在矩形域D上连续,则x0 [a,b],都有
lim
x x0
I(
x)
I(
x0
),
d c
f ( x x, y) x
f (x, y)
f x ( x, y)dy (d c).
即x [a,b],有 d
d
d
f ( x, y)dy
f ( x, y)dy.
dx c
c x
注 : 若f ( x, y), f ( x, y)在矩形域D上连续,
x
则求导运算与积分运算可交换顺序.
3. 可积性
称为定义在[a,b]上含参量x的正常积分, 简称为 含参量积分. 类似, 定义含参量 y的正常积分
b
J ( y) a f ( x, y)dx, y [c,d ].
二、含参量积分的分析性质
1. 连续性
定理1 设 f ( x, y) 在矩形区域 D [a,b][c,d ]
上连续, 则函数 I( x) d f ( x, y)dy 在[a,b]上 c
分析 : y c( x) t(d( x) c( x)).
证 用换元法, 令 y c( x) t(d( x) c( x)), 当y在c( x), d( x)之间取值时, t在[0,1]上取值, 且
dy (d( x) c( x))dt
所以
F(x)
d(x)
f ( x, y)dy
c( x)
x
c
x
由Lagrange中值定理及f x ( x, y)在有界闭域D
上连续知, 0, 0, 只要 x , 就有
f ( x x, y) x
f (x,
y)
f x ( x,
y)
| f x ( x x, y) f x ( x, y) | .
其中 (0,1). 因此
I
x
d c
f x ( x, y)dy
定理3 设 f ( x, y) 在矩形区域 D [a,b][c,d] 上连续, 则函数 I( x)和J ( y)分别在[a,b]和[c,d ]
上可积.
? b
d
a dxc f ( x, y)dy
d
b
c dya f ( x, y)dx.
√
三、含参量积分的一般形式和性质
设f ( x, y)是定义在
G ( x, y)c( x) y d( x),a x b上的函数,
定理1' 设 f ( x, y) 在矩形区域 D [a,b][c,d ]
上连续, c( x), d ( x)在[a, b]上连续, 且当x [a,b]时, c c(x) d,c d(x) d, 则函数
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy, x [a,b]. c( x)
在[a, b]上连续.
连续.
分析 : | I( x x) I( x) |
dபைடு நூலகம்
c f ( x x, y) f ( x, y) dy
.
证
设x [a,b], 对充分小的x,有x x [a,b], 于是
I( x x) I( x)
d
[ f ( x x, y) f ( x, y)] dy,
c
由于f ( x, y)在D上连续, 从而一致连续,
其中c( x), d( x)为[a, b]上的连续函数,
y d(x)
若对x [a,b], f ( x, y)在闭区间 [c( x), d( x)]上可积, 则得函数：
G
y c(x)
a
b
F ( x)
d(x)
f ( x, y)dy,
x [a,b].
一般形式
c( x)
也称为含参量积分.
1. 连续性
d c
f ( x x, y) x
f ( x, y) f x ( x, y)dy
? | fx ( x x, y) fx ( x, y) | .
证
设x [a,b], 对充分小的x,有x x [a,b], 于是
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy,