苏教版高二数学课件：不等式的应用
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高中数学第3章不等式3.4-3.4.2基本不等式的应用课件苏教版必修5
解：设 BC＝a m(a≥1.4)，CD＝b m.
连接 BD，则在△CDB 中，
题型 3 用基本不等式解应用题
[典例 3] 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．
(1)现有 36 m 长的材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[变式训练] 4.某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8 m，C 为 AB 的中点，B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5 m，∠BCD＝60°，已知 建筑支架的材料每米的价格一定，问：怎样设计 AB，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？
命题：函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数．
证明：设 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax11－x12＝ x11x2(x1－x2)(x1x2－a)．
题型 1 用基本不等式证明 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，且不全相等．若 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c. 分析：可以从左⇒右，也可以从右⇒左．注意“1”的适 时代换．
第3章 不等式
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy．
2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy， 可知周长有最小值，为__4___S__．
知识点 1 基本不等式及其注意问题
(1)a＋2 b是两个正数 a 与 b 的算术平均数， ab是两个 正数的几何平均数， ab≤a＋2 b表明两个正数 a 与 b 的几 何平均数不大于算术平均数．此性质可推广到三个及三 个以上的情况．注意熟悉和掌握下列结论：
连接 BD，则在△CDB 中，
题型 3 用基本不等式解应用题
[典例 3] 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．
(1)现有 36 m 长的材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[变式训练] 4.某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8 m，C 为 AB 的中点，B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5 m，∠BCD＝60°，已知 建筑支架的材料每米的价格一定，问：怎样设计 AB，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？
命题：函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数．
证明：设 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax11－x12＝ x11x2(x1－x2)(x1x2－a)．
题型 1 用基本不等式证明 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，且不全相等．若 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c. 分析：可以从左⇒右，也可以从右⇒左．注意“1”的适 时代换．
第3章 不等式
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy．
2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy， 可知周长有最小值，为__4___S__．
知识点 1 基本不等式及其注意问题
(1)a＋2 b是两个正数 a 与 b 的算术平均数， ab是两个 正数的几何平均数， ab≤a＋2 b表明两个正数 a 与 b 的几 何平均数不大于算术平均数．此性质可推广到三个及三 个以上的情况．注意熟悉和掌握下列结论：
【优质课件】苏教版必修5高二数学第3章《不等式》优秀课件.pptx
3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax ＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数 Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平 面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地， 当C≠0时，常取原点作为特殊点．
利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺 一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取 到最值，可以考虑用函数的单调性求解．
所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；
呈重点、现规律
1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等 式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和 运用不等式的八条性质．
4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应 的点往往是可行域的顶点． 5.运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各 项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三 相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
例 1 设 不 等 式 x2 － 2ax ＋ a ＋ 2≤0 的 解 集 为 M ， 如 果 M⊆[1,4]，求实数a的取值范围． 解 M⊆[1,4]有两种情况： 其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0， 下面分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)， (1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]； (2)当Δ＝0时，a＝－1或2； 当a＝－1时，M＝{－1} [1,4]； 当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．
高中数学 3.4.2基本不等式的应用课件 苏教版必修5
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题型2 用基本不等式求最值
例 2 a＞0，b＞0，a＋b＝4，求a＋1a2＋b＋b12的最小值．
分析：利用基本不等式求最小值．
栏
目
解析：∵a＋b＝4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab.
链
接
又 a2＋b2≥2ab，∴16－2ab≥2ab，即 ab≤4.
∴a＋1a2＋b＋b12≥a＋1a＋2b＋b12＝4＋2a4b2≥4＋2442＝225.
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典例解析
栏 目 链
接
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13
题型1 用基本不等式证明
例 1 若 a，b，c＞0，求证：21a＋21b＋21c≥a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a.
分析：由于式子是关于 a、b、c 对称的，若将21a与b＋1 c比较就破
栏 目
链
坏了对称性，得不出要证明的结论，因此去证明
接
41a＋41b＋41b＋41c＋41c＋41a≥a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a.
证明：∵x4＋y4≥2x2y2，两边同时加上 x4＋y4 得 2(x4＋y4)
≥(x2＋y2)2，①
又∵x2＋y2≥2xy，两边同时加上 x2＋y2 得
2(x2＋y2)≥(x＋y)2⇒x2＋y2≥（x＋2 y）2，②
由①②即得 x4＋y4≥12×212＝18，
∴x4＋y4≥81.
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栏 目 链 接
、≥10＋2 9xy·yx＝16.
当且仅当9xy＝yx且9x＋y1＝1 时，即 x＝12，y＝4 时取“＝”号．∴
当 x＝12，y＝4 时，x＋y 有最小值 16.
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21
方法二 ∵9x＋y1＝1，∴y＝x－x 9.∴x＋y＝x＋x－x 9＝x＋x－x－9＋9 9
题型2 用基本不等式求最值
例 2 a＞0，b＞0，a＋b＝4，求a＋1a2＋b＋b12的最小值．
分析：利用基本不等式求最小值．
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解析：∵a＋b＝4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab.
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又 a2＋b2≥2ab，∴16－2ab≥2ab，即 ab≤4.
∴a＋1a2＋b＋b12≥a＋1a＋2b＋b12＝4＋2a4b2≥4＋2442＝225.
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典例解析
栏 目 链
接
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题型1 用基本不等式证明
例 1 若 a，b，c＞0，求证：21a＋21b＋21c≥a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a.
分析：由于式子是关于 a、b、c 对称的，若将21a与b＋1 c比较就破
栏 目
链
坏了对称性，得不出要证明的结论，因此去证明
接
41a＋41b＋41b＋41c＋41c＋41a≥a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a.
证明：∵x4＋y4≥2x2y2，两边同时加上 x4＋y4 得 2(x4＋y4)
≥(x2＋y2)2，①
又∵x2＋y2≥2xy，两边同时加上 x2＋y2 得
2(x2＋y2)≥(x＋y)2⇒x2＋y2≥（x＋2 y）2，②
由①②即得 x4＋y4≥12×212＝18，
∴x4＋y4≥81.
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栏 目 链 接
、≥10＋2 9xy·yx＝16.
当且仅当9xy＝yx且9x＋y1＝1 时，即 x＝12，y＝4 时取“＝”号．∴
当 x＝12，y＝4 时，x＋y 有最小值 16.
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方法二 ∵9x＋y1＝1，∴y＝x－x 9.∴x＋y＝x＋x－x 9＝x＋x－x－9＋9 9
苏教版必修5高二数学3.4.2《基本不等式的应用》ppt课件
(2)设 0<x<23，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； 解 ∵0<x<23，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即
x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32.
∴函数 y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92.
第3章 不等式
内容 索引 Contents
Page
01 明目标知
重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
填要点·记疑点
1.用基本不等式求最值的结论 (1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当x＝y 时，积 xy 有最 大 值为s42. (2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当x＝y 时， 和 x＋y 有最 小 值为 2 p.
例3 过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别
交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.
解 设点 A(a,0)，B(0，b)(a，b>0)，则直线 l 的方程为ax＋by＝1. 由题意，点(1,2)在此直线上，所以1a＋2b＝1. 由基本不等式，得 1＝1a＋2b≥2 a2b⇒ab≥8. 于是，S△AOB＝21ab≥4，当且仅当1a＝2b，
而a＋abb2＝ba＋ab＋2≥4，所以－a＋abb2≤－4，
当堂测·查疑缺
1234
因此要使 k≥－a＋abb2恒成立，应有 k≥－4， 即实数 k 的最小值等于－4. 答案 －4
高中数学 第一部分 第三章 3.4 第二课时 基本不等式的应用课件 苏教版必修5
的正数，则 lgx＋lgy 的最大值是________． (2)(2011· 华南师大附中模拟)已知 x>0，y>0，且 x＋ 1 1 4y＝1，则x＋ y的最小值为________．
[思路点拨] 根据所给条件， 结合基本不等式可 求其最值．
[精解详析] (1)∵x>0，y>0 ∴4＝2x＋y≥2 2xy. 当且仅当 2x＝y＝2 时取等号． ∴xy≤2. ∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg 2.
第 三 章 不 等 式
第 二 课 时 3.4 基本不等式
ab ≤ a ＋b
2 ( a ≥0 ，b ≥0)
理解教 材新知 考点一 考点二 考点三
基 本 不 等 式 的 应 用
把握热 点考向
应用创 新演练
第二课他们比赛谁能更快地到学校，他们约定：同时从家里
出发，甲一半路程跑步，另一半路程步行，乙用一半
时间跑步，用另一半时间步行，并且甲、乙两人跑步 的速度一样快，步行的速度也一样快，
问题1：若甲、乙两人跑步的速度为v1，步行 的速度为v2，家距学校的距离为s，怎样表示他们 由家到学校的时间？
提示：设甲到学校的时间为 t1，乙到学校的时间为 sv1＋v2 s s t2，则 t1＝2v ＋2v ＝ 2v v 1 2 1 2 2s t2＝ v1＋v2
[一点通]
利用基本不等式求最值的关键是获得
定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当 的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本 不等式的条件．
4 1．(2012· 成都高二检测)设 x>0，则函数 y＝x＋ 的最小 x 值是__________．
解析：∵x>0， 4 ∴x＋x≥2 4 x· x＝4.
不等式的应用 江苏教育版-PPT课件
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2
例2.壁画最高点离地面14米，最低 离地面2米，若从离地面1.5米处观 此画，问离墙多远时，视角最大？
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例3.某种汽车购车时费用为10万元，每年的 保险、养路、汽油等费用共9千元，汽车的 年维修费逐年以等差数列递增，第一年为2 千元，第二年为4千元，第三年为6千元， ……问这种汽车使用几年后报废最合算？（ 即汽车的年平均费用为最低）。
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例7. 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件 是：
①建1米新墙的费用为a元；
②修1米旧墙的费用是a/4元；
③拆去1米旧墙用所得的材料建1米新墙的费用为a/2元，经讨论有两种方案：
A:利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房的一面边长；
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例4．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机 共3600台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付 运费400元。贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入 电视机的总价值（不含运费）成正比。若每批购入400台， 则每年需用去运输和保管总费用43600元。现在全年只有 24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排 每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由 。
用多少天应当报废？
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例6. 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在
此地段内的车距d正比于车速v（km/小时） 的平方与车身长S（m）的积，且最小车距不 得少于半个车身长。假定车身长均为S(m)， 且 车 速 为 50(km/h) 时 ， 车 距 恰 为 车 身 长 S 。 问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使 此地段的车流量Q最大。
不等式的应用 江苏教育版(PPT)3-3
例1.某市现有自市中心O通往正西和东 北方向的两条主要公路，为了解决该
市交通拥挤问题，市政府决定修建一
条环城公路，分别在通往正西和东北
方向的公路上选取A、B两点，使环 城公路在A、B间为直线段，要求AB 路段与市中心O的距离为10公里，且 使A、B间的距离|AB|最小，请你确 定A、B两点的最佳位置。（不要求 作近似计算）
没有颜色，呈透明状。根据玉米籽粒形态、硬度及不同用途，玉米分为普通玉米（硬粒
型、中间型、马齿型、硬偏马型、马偏硬型）和特种玉米（高赖氨酸玉米、高油玉米、甜玉米、爆裂玉米、糯玉米）两种。玉米形状和大小因品种不同有所 不同，一般玉米长8-mm，宽-mm，厚-mm，如果玉米颗粒之间差异太大，会使玉米在加工过程中难以清洗和破碎。 [] 分布范围 我国各地均有栽培。全世界 热带和温带地区广泛种植，为一重要谷物。 [] 品种类型 玉米的品种类型很多，按用途分，有粮用饲用品种、菜用品种（包括糯质型、甜质型、玉米笋型）、 加工品种（甜玉米、玉米笋）、爆粒型品种（爆米花专用品种）等。 [] 种植技术 以夏玉米为例，推行“一增四改”技术：根据品种要求合理增加种植密度； 改用耐密型品种进行种植；改用免耕精量直播技术，直播玉米密度适宜、群体整齐度好；改粗放用肥为测土配方施肥；改人工种植为玉米机械化作业。 [] 选 用优良品种 精选优质良种，一般选用具有高产潜力、耐密紧凑、大穗型的中晚熟品种
玉米淀粉制糖 ? 玉米淀粉酿酒 ? 应用于石油化工 ? 变性淀粉的研究 ? 抗性淀粉的研究 8 挑选指南 推荐菜品 历史文化 形态特征 玉米 玉米 一年生高大草本。 秆直立，通常不分枝，高-米，基部各节具气生支柱根。叶鞘具横脉；叶舌膜质，长约毫米；叶片扁平宽大，线状披针形，基部圆形呈耳状，无毛或具疵柔毛， 中脉粗壮，边缘微粗糙。顶生； 微商货源 ；雄性圆锥花序大型，主轴与总状花序轴及其腋间均被细柔毛；雄性小穗孪生，长达厘米， 小穗柄一长一短，分别长-毫米及-毫米，被细柔毛；两颖近等长，膜质，约具脉，被纤毛；外稃及内稃透明膜质，稍短于颖；花橙黄色；长约毫米。雌花序 被多数宽大的鞘状苞片所包藏；雌小穗孪生，成-纵行排列于粗壮之序轴上，两颖等长，宽大，无脉，具纤毛；外稃及内稃透明膜质，雌蕊具极长而细弱的线 形花柱。颖果球形或扁球形，成熟后露出颖片和稃片之外，其大小随生长条件不同产生差异，一般长-毫米，宽略过于其长，胚长为颖果的/-/。染色体n=，， 8 。花果期秋季。 [] 物理特性 玉米的物理性状由粒色、粒形、种皮光泽、粒长、粒宽、百粒重、粒径、籽粒 花 花(张) 均匀程度和硬实率等指标组成。玉米 籽粒颜色包括种皮、糊粉层（富含蛋白质，也被称为蛋白质层）以及胚乳三部分。在大多数情况下，玉米成熟籽粒胚乳的颜色是黄色或白色，种皮和糊粉层
市交通拥挤问题，市政府决定修建一
条环城公路，分别在通往正西和东北
方向的公路上选取A、B两点，使环 城公路在A、B间为直线段，要求AB 路段与市中心O的距离为10公里，且 使A、B间的距离|AB|最小，请你确 定A、B两点的最佳位置。（不要求 作近似计算）
没有颜色，呈透明状。根据玉米籽粒形态、硬度及不同用途，玉米分为普通玉米（硬粒
型、中间型、马齿型、硬偏马型、马偏硬型）和特种玉米（高赖氨酸玉米、高油玉米、甜玉米、爆裂玉米、糯玉米）两种。玉米形状和大小因品种不同有所 不同，一般玉米长8-mm，宽-mm，厚-mm，如果玉米颗粒之间差异太大，会使玉米在加工过程中难以清洗和破碎。 [] 分布范围 我国各地均有栽培。全世界 热带和温带地区广泛种植，为一重要谷物。 [] 品种类型 玉米的品种类型很多，按用途分，有粮用饲用品种、菜用品种（包括糯质型、甜质型、玉米笋型）、 加工品种（甜玉米、玉米笋）、爆粒型品种（爆米花专用品种）等。 [] 种植技术 以夏玉米为例，推行“一增四改”技术：根据品种要求合理增加种植密度； 改用耐密型品种进行种植；改用免耕精量直播技术，直播玉米密度适宜、群体整齐度好；改粗放用肥为测土配方施肥；改人工种植为玉米机械化作业。 [] 选 用优良品种 精选优质良种，一般选用具有高产潜力、耐密紧凑、大穗型的中晚熟品种
玉米淀粉制糖 ? 玉米淀粉酿酒 ? 应用于石油化工 ? 变性淀粉的研究 ? 抗性淀粉的研究 8 挑选指南 推荐菜品 历史文化 形态特征 玉米 玉米 一年生高大草本。 秆直立，通常不分枝，高-米，基部各节具气生支柱根。叶鞘具横脉；叶舌膜质，长约毫米；叶片扁平宽大，线状披针形，基部圆形呈耳状，无毛或具疵柔毛， 中脉粗壮，边缘微粗糙。顶生； 微商货源 ；雄性圆锥花序大型，主轴与总状花序轴及其腋间均被细柔毛；雄性小穗孪生，长达厘米， 小穗柄一长一短，分别长-毫米及-毫米，被细柔毛；两颖近等长，膜质，约具脉，被纤毛；外稃及内稃透明膜质，稍短于颖；花橙黄色；长约毫米。雌花序 被多数宽大的鞘状苞片所包藏；雌小穗孪生，成-纵行排列于粗壮之序轴上，两颖等长，宽大，无脉，具纤毛；外稃及内稃透明膜质，雌蕊具极长而细弱的线 形花柱。颖果球形或扁球形，成熟后露出颖片和稃片之外，其大小随生长条件不同产生差异，一般长-毫米，宽略过于其长，胚长为颖果的/-/。染色体n=，， 8 。花果期秋季。 [] 物理特性 玉米的物理性状由粒色、粒形、种皮光泽、粒长、粒宽、百粒重、粒径、籽粒 花 花(张) 均匀程度和硬实率等指标组成。玉米 籽粒颜色包括种皮、糊粉层（富含蛋白质，也被称为蛋白质层）以及胚乳三部分。在大多数情况下，玉米成熟籽粒胚乳的颜色是黄色或白色，种皮和糊粉层
高二数学不等式的应用 苏教版名师课件
———实际应用题
例1.某工厂建造一个无盖的 长方形 贮藏水池,其容积为4800m2 ,深度为
3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 如何设 计水池,才能使总造价最低 ,最低 造价是多少?
例2.如图, 一份印刷品的排版面积 (矩形)为A,它的两边都留有宽为 b 的空白, 如何选取纸张的尺寸 , 才能 使纸的用量最少 ?
（97理-22题)甲乙两地相距S千米，汽车从甲 地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小 时，已知汽车每小时的运输成本t（以元为 单位）由可变部分和固定部分组成：可变部 分与速度(千米/小时)的平方成正比，比例 系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定 义域；
A
bc
O
Ca
B
(2001年）设计一幅宣传画，要求画 面面积为4840cm2，画面的宽与高的 比为λ（ λ〈1），画面的上、下各留 8cm空白，左右各留5cm空白，怎样 确定画面的高与宽尺寸，能使宣传 画所用纸张面积最小
如果要求 [ 2 , 3]， 那么为何值时
34
能使宣传画所用的纸张面积最小？
（2)为了使全程运输成本最小,汽车应以 多大的速度行驶？
(1) 若正数a,b满足ab≥a+b+3, 则a+b的最小值是________
(2)x, y R,已知2x 2y 4,那么
••• 1 1 不小于 ______
2x 2y
(的3)值已域知是函[数9，f +(x∞))，x求2x实n1x数(xn的1) 值
例.甲乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶到 乙(地,速度不得超过100千米/小时,已知汽车每小时 的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组 成:可变部分与速度(千米/小时)的平方成正比，比 例 系数为1/100；固定部分为a元。(1)把全程运输成 本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并 指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本 最小，汽车应以多大的速度行驶？
例1.某工厂建造一个无盖的 长方形 贮藏水池,其容积为4800m2 ,深度为
3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 如何设 计水池,才能使总造价最低 ,最低 造价是多少?
例2.如图, 一份印刷品的排版面积 (矩形)为A,它的两边都留有宽为 b 的空白, 如何选取纸张的尺寸 , 才能 使纸的用量最少 ?
（97理-22题)甲乙两地相距S千米，汽车从甲 地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小 时，已知汽车每小时的运输成本t（以元为 单位）由可变部分和固定部分组成：可变部 分与速度(千米/小时)的平方成正比，比例 系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定 义域；
A
bc
O
Ca
B
(2001年）设计一幅宣传画，要求画 面面积为4840cm2，画面的宽与高的 比为λ（ λ〈1），画面的上、下各留 8cm空白，左右各留5cm空白，怎样 确定画面的高与宽尺寸，能使宣传 画所用纸张面积最小
如果要求 [ 2 , 3]， 那么为何值时
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能使宣传画所用的纸张面积最小？
（2)为了使全程运输成本最小,汽车应以 多大的速度行驶？
(1) 若正数a,b满足ab≥a+b+3, 则a+b的最小值是________
(2)x, y R,已知2x 2y 4,那么
••• 1 1 不小于 ______
2x 2y
(的3)值已域知是函[数9，f +(x∞))，x求2x实n1x数(xn的1) 值
例.甲乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶到 乙(地,速度不得超过100千米/小时,已知汽车每小时 的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组 成:可变部分与速度(千米/小时)的平方成正比，比 例 系数为1/100；固定部分为a元。(1)把全程运输成 本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并 指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本 最小，汽车应以多大的速度行驶？
高中数学 第3章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用课件 苏教版必修5
即 x=1 时,取“=”. 故 f(x)的最大值为-1.
一
二
三
2.若正实数 x,y 满足 +
4 ������
16 =1,则 ������
x+y 的最小值是
.
答案: 36
4 16 ∴x+y=1· (x+y)= + (x+y) ������ ������ 4������ 16������ 4������ 16������ =20+ + ≥20+2 · ������ ������ ������ ������ 4 16 解析: ∵ + =1, ������ ������
2
一
二
三
迁移与应用
1 1 2 2 4 (2)x<3,求 f(x)= +x 的最大值. ������-3 1 解: (1)∵0<x< ,∴1-2x>0. 2 2 1 1 2������+1-2������ y= · 2 x· (1-2x)≤ · 4 4 2 1 1 1 = × = . 4 4 16
1.(1)已知 0<x< ,求 y= x(1-2x)的最大值.
预习交流1 两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?
������2 有最大值为 . 4
提示: 不一定.如 ������ 2 + 2 + 为定值 1,但当 ������ 2 + 2 =
1 ������2 +2 1 ������2+2
1
������2 +2
中,虽然 ������ 2 + 2与
1
������2 +2
3.4.2 基本不等式的应用
高中数学 6.4基本不等式的应用配套课件 苏教版
∴ 1 1 ≥2 1 =2 1 = 1 ,
xy
xy 100 5
等号成立(chénglì)的条件是x=y=10.
答案：1
5
第八页，共40页。
(3)若x+2y=4,则2x+4y的最小值是______. 【解析(jiě xī)】2x+4y=2x2+x 2222yy ≥2 2x2y =2 =2 24 =8. 当且仅当2x=22y，x=2y=2时取“=”. 答案：8
第三十四页，共40页。
1.(2011·北京高考改编)某车间分批生产某种产品，每批的生 产准备(zhǔnbèi)费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的 8 生产准备(zhǔnbèi)费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数是 ____.
第十三页，共40页。
基本不等式的实际应用 【方法点睛】 基本不等式实际应用题的解法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收 (shuìshōu)、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中 提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量的值不满足定 义域时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围应用函 数的单调性求解．
第二十三页，共40页。
2.基本不等式在其他数学知识中的应用 以函数、方程、立体几何、解析几何(jiě xī jǐhé)、数列等知识为载体 考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，其解题的关键是正确利 用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的 使用条件.
第二十四页，共40页。
答案：(1)√ 2a(b2)√ ab
高中数学苏教版必修五《基本不等式的综合运用》课件
(２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当__x___y 时,xy有最 大 值是 p2 (简记:和定积最大)
4
若函数f(x)的定义域为D，则当 x D时有： f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_i_n___M_____ f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_a_x____M____
易求得 当t
3 即 x 0 时，函数的最小值为
4 3 1. 3
方法提炼：应用基本不等式时在前两个条件满足
后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解.
1.函数
f
x
x
4 x
的值域是_____， ____4__ 4，
2.若 x 0
x2
1 x2
___
2 （用不等号连接）
1
3.已知 0 x 1 ，函数 y x1 3x的最大值是 __1__2_
已知 x, y 0,且
1 x
1 y
1
，求
x 2y 的最小值。
分析：本题在于奇妙构造基本不等式求最值
的基本情势。但如果本题选择在条件中应用
基本不等式，然后在结论中再次应用基本不
等式的解法时，等号成立的条件不一定会同
时满足。
典型例题一
解：
x
2y
1 x
1 y
x
2y
2y x
x y
3
又 x, y 0, 2y x 2 2y x 2 2
苏教版 高中数学
基本不等式 的综合应用
1.应用基本不等式时要注意的几个问题 2.利用基本不等式求函数的最值问题 3.利用基本不等式解决恒成立问题
（1）基基本本不不等等式式__a__2_b____a_b__.
4
若函数f(x)的定义域为D，则当 x D时有： f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_i_n___M_____ f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_a_x____M____
易求得 当t
3 即 x 0 时，函数的最小值为
4 3 1. 3
方法提炼：应用基本不等式时在前两个条件满足
后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解.
1.函数
f
x
x
4 x
的值域是_____， ____4__ 4，
2.若 x 0
x2
1 x2
___
2 （用不等号连接）
1
3.已知 0 x 1 ，函数 y x1 3x的最大值是 __1__2_
已知 x, y 0,且
1 x
1 y
1
，求
x 2y 的最小值。
分析：本题在于奇妙构造基本不等式求最值
的基本情势。但如果本题选择在条件中应用
基本不等式，然后在结论中再次应用基本不
等式的解法时，等号成立的条件不一定会同
时满足。
典型例题一
解：
x
2y
1 x
1 y
x
2y
2y x
x y
3
又 x, y 0, 2y x 2 2y x 2 2
苏教版 高中数学
基本不等式 的综合应用
1.应用基本不等式时要注意的几个问题 2.利用基本不等式求函数的最值问题 3.利用基本不等式解决恒成立问题
（1）基基本本不不等等式式__a__2_b____a_b__.
高中数学 基本不等式的应用课件 苏教必修5
3
利用 基本 不等 式， 整体 解决
3 .已 知 x ,y ,z 为 正 实 数 ,满 足 x y 2 z 0 ,求 y 2 的 最 小 值 . x z
解 ： 因 为 x, y,z为 正 实 数
x y 2z 0
x 2z y
y 2 x 2 z 2
xz
xz
x2 4 xz 4 z2 xz
习题练习
1 .求 函 数 yx2x x1 4x 1的 最 小 值 变 为 .求 y x 2x x 1 4 x 1 的 最 大 值 呢 ？
若改为x ≥ 4呢
2.求函数 y 6 x2 1 的最大值 x2 4
解： y6
x21
6
x21
x24 (x21)3
∵ x21 3 2 3 x21
x
（3）求
y x 1 x
(x 4)
的值域
解： （3）
y x1 x
在4, 上单调递增，
值域为
17 4
,
不能取等号时
要利用函数单 调性
练习. （1）求 yx12x0x12 的最大值
(2)已知x＞ 5 , 求函数 y= 4x2 1 的最
值
4
4x5
二y ax2 bx c 类型mx n 函数 求最值
.
xy
4.设x 5,则 2x2 的最小值为
.
x2
5 .已 知 x 0 ,y 0 ,x y x y 3 求xy和x+y的取值
范围
课堂小结
3 2
2
变式训练
当 点 (x ,y)在 直 线 x 3 y 2 0 上 移 动 时 ， 求 y 3 x 2 7 y 1 的 最 小 值 .
解：y 3x 27 y 1 3x 33y 1 2 3x 33y 1 2 3x3y 1 231 7 当 且 仅 当3x =33 y即 x 3 y时 取 得 等 号 此 时 x 1, y 1 最 小 值 为7
利用 基本 不等 式， 整体 解决
3 .已 知 x ,y ,z 为 正 实 数 ,满 足 x y 2 z 0 ,求 y 2 的 最 小 值 . x z
解 ： 因 为 x, y,z为 正 实 数
x y 2z 0
x 2z y
y 2 x 2 z 2
xz
xz
x2 4 xz 4 z2 xz
习题练习
1 .求 函 数 yx2x x1 4x 1的 最 小 值 变 为 .求 y x 2x x 1 4 x 1 的 最 大 值 呢 ？
若改为x ≥ 4呢
2.求函数 y 6 x2 1 的最大值 x2 4
解： y6
x21
6
x21
x24 (x21)3
∵ x21 3 2 3 x21
x
（3）求
y x 1 x
(x 4)
的值域
解： （3）
y x1 x
在4, 上单调递增，
值域为
17 4
,
不能取等号时
要利用函数单 调性
练习. （1）求 yx12x0x12 的最大值
(2)已知x＞ 5 , 求函数 y= 4x2 1 的最
值
4
4x5
二y ax2 bx c 类型mx n 函数 求最值
.
xy
4.设x 5,则 2x2 的最小值为
.
x2
5 .已 知 x 0 ,y 0 ,x y x y 3 求xy和x+y的取值
范围
课堂小结
3 2
2
变式训练
当 点 (x ,y)在 直 线 x 3 y 2 0 上 移 动 时 ， 求 y 3 x 2 7 y 1 的 最 小 值 .
解：y 3x 27 y 1 3x 33y 1 2 3x 33y 1 2 3x3y 1 231 7 当 且 仅 当3x =33 y即 x 3 y时 取 得 等 号 此 时 x 1, y 1 最 小 值 为7
苏教版高中数学必修5《基本不等式的应用》教学课件1
值为____________
❖ 4.已知为正数x, y ，且x 2y 1 ，则 1 1 的最小
值为__________
xy
答案：
❖ 1. x 1 1
❖ 2. x 3 2
5
❖ 3. 6
❖ 4. 3 2 2
例1 用长为4a的铁丝围成一个矩形,怎样才能
使 所 围 矩 形 的 面 积 最 大.
解 设矩形长为 x 0 x 2a,则宽为2a x,矩形
面积为 S x2a x,且 x 0,2a x 0.
由基本不等式, 得
x2a
x
x
2a
2
x
a.
上式当且仅当 x 2a x ,即 x a时,取""号.由此
可知,当 x a时, S x2a x有最大值 a2 .
答 将铁丝围成正方形时面积最大,最大面积为a2.
为
4800 3x
m,
即
1600 x
m.
y
150
x
1600
2120
3
x
1600
x
x
150 1600 720 x 1600 . x
因为 x 1600 2 1600 80 (当 x 40时,取""号 ), x
所以 y 150 1600 720 80 297600 元.
答 当水池设计成底面边长为40 m的正方形时,总
A
O
1
x
因此, AOB 的面积最小时,直线l的方程为
x 2
y 4
1,即2x
y
4
0.
另解：
由题知，直线 l 的斜率一定存在。设 l 的方程为
y 2 k(x 1)(k 0) 令 x 0 ，则 y k 2
苏教版高二数学选修4-5 不等式的应用 课件(21张)
解 :(1)∵0<x<1,∴-lo g2x>0,-lo5g2 ������>0,
∴(-log2x)+
-5
log2������
≥2
(-log2������)·
-
5 log2
������
=2
5,
即-
log2
������
+
5 log2
������
≥2
5,∴log2x+lo5g2������≤-2
5,
当且仅当 log2x=lo5g2������,即 x=2 5时取“=”,
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
反思利用不等式解决实际问题时,首先要认真审题,分析题意,建立合理 的不等式模型,最后通过基本不等式解题.
-11-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
∴2=2������ + 3������≥2 ���6���������,即
xy≥6
当且仅当 2
������
=
3 ������
,即������
=
2,������
= 3 时取“
=
”号
.
∴xy 的最小值为 6.
答 案 :6
-3-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
§5 不等式的应用
-1-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
苏教版高二数学不等式的应用
希望的样子活下去，职业家庭哪一个不是顺共有的规则行运？几人可率性而为？从渴望爱情欲望鲜活的少年，变成扭曲压抑的中年，再到麻木分裂的老年，人的 一生还有别的出路？ 365玩球 关山难越，谁悲失路之人？ 2、 火烧的云，天边散淡。归鸟衔走的太阳映一汪盈盈湖中。 夜，已临。孤清的音，丝丝柔柔，在静谧草蔓，星河深处，反复漾，直漾天际。流光点点，时间的长河回环那曾经的一缕深情，月璧影沉，一灯，一影，还有一个梦…… 宗次郎的月霞草第一次听。在虾米的音曲里相遇。 月柔静，霞低眉，草蔓漾……被熏染的晚辉没有悲怆，与孤光清冷的月晕静静淡淡。如梁遇春先生的迟起。 毛姆在《月亮和六便士》里，让他的主人于庸常的物质生活之上，遇了一个迷人的精神异域，满地都是六便士，独独地只有他，抬首见了月亮。 我愿是月，为你，再圆满一次。蒋勋的愿实现了吗？他是真幸运！ 这个世界的顶空，一直有一颗月亮，它不耀眼，却散发宁静而平和的光。 女作家MarcelineLoridan-Ivens也有一天突然地发现，她对安娜说：在我50岁的时候，有一天下楼后发现周围的男人不再看我，不再把我当作一个约会对象。那一天她觉得自己终于自由了，真正成为 自己。
高中数学 基本不等式的应用课件 苏教版必修5
2 1 (1)原式=( x y )( x y) 3
1 1 1 1 2y x 3 2 （ 2） x 2 y ( x 2 y )( ) (3 ) 2 x y 2 x y 2
x 2y 3Biblioteka 2 2 y x变式训练当点( x, y)在直线x 3 y 2 0上移动时，求 y 3x 27 y 1的最小值.
若改为x ≥ 4呢
2.求函数
6 x2 1 y 的最大值 2 x 4
6 x 1
2
6 x2 1 6 x2 1 解： y 2 2 x 4 ( x 1) 3
3 x2 1
∵
x2 1
3 x2 1
2 3
y
6 2 3
2
3
3 x2 1 即x 2 2, x 2 时取得最大值
消元
【当堂检测】
4 1 1.函数y 2 x . x 的最小值为 2x 1 2 2.已知2 x 3 y 12 x 0, y 0 , 则xy的最大值为 1 1 3.已知x, y为正数, 且x 2 y 1, 则 的最小值为 x y 2x2 4.设x 5, 则 的最小值为 x2 .
当且仅当 号
5 x 1 5 2 55 x1
5 x1 即x 5 1 时取“=” x1
即当 x 5 1时,函数的最小值为
2 5 5
x2 x 4 1.求函数y . y x 1的最小值 变为求 x x 1
习题练习
x 1 x 1的最大值呢？ 2 x4
3 当且仅当tan x 时“ ”成立， 故最小值为 3. 3
• 三 二元函数的条件最值
已知ax+by=m 常值代换
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审题——建模——求解——评价
3）注重分类讨论、换元、化归等数 学思想方法在解题中的运用
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
不等式的应用体现在整个中学数学中， 如集合问题，方程（组）的解的讨论， 函数的定义域，值域，单调性，以及 三角，解几，数列，复数，立几中的 最值等
2020/11/24
的值 2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
例.甲乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶 到(乙地,速度不得超过100千米/小时,已知汽车 每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和 固定部分组成:可变部分与速度(千米/小时)的 平方成正比，比例系数为1/100；固定部分为a 元。(1)把全程运输成本y（元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定 义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应 以多大的速度行驶？
比为λ（ λ〈1），画面的上、下各留
8cm空白，左右各留5cm空白，怎样
确定画面的高与宽尺寸，能使宣传
画所用纸张面积最小
如果要求 [ 2 , 3]， 那么为何值时
34
能使宣传画所用的纸张面积最小？
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
1）利用基本不等式求最值的条件为 “一正，二定，三相等” 2）解决实际问题注意：
AB=x，求ADP 的最大面积及相应
的x值。
12-x
2020/11/24
x 江苏省东x台中学高一数学备课组
例2、若直角三角形的内切圆 半径为1，求其面积的最小值
A
bc
O
Ca
2020/11/24
B
江苏省东台中学高一数学备课组
(2001年）设计一幅宣传画，要求画
面面积为4840cm2，画面的宽与高的
例2.如图, 一份印刷品的排版面积 (矩形)为A,它的两边都留有宽为 b 的空白, 如何选取纸张的尺寸 , 才能 使纸的用量最少 ?
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
例3.(1)如图,在足球比赛中,AB表示甲方球 门,乙方边锋带球沿直线EO向甲方球门靠 近，假设乙方边锋在点C射门,则ACB称 为命中角。设EOAB，OA=a，OB=b(a>b>0) 问CO为何值y 时命中角最大？
A B
O
C
Ex
读题——建模——求解——评价
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
(2)已知 : tan x 3tan y(0 y x )
•• 求u x y的最值
2
例4.(1)求周长为12的直角三角形 •• 面积的最大值
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
(2) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的 周长为24，把它关于AC对折起来， AB折过去以后，交DC于点P，设
———实际应用题
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
例1.某工厂建造一个无盖的 长方形 贮藏水池,其容积为4800m2 ,深度为
3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 如何设 计水池,才能使总造价最低 ,最低 造价是多少?
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
审题——建模 ——求解 ——评价
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
函数
图象
f (x) x p ( p 0) x
性质
2020/11/24
定义域 值域 单调性 奇偶性 渐近线
江苏省东台中学高一数学备课组
小结： 质疑： 作业：
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
江苏省东台中学高一数学备课组
（97理-22题)甲乙两地相距S千米，汽车从甲
地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小
时，已知汽车每小时的运输成本t（以元为
ห้องสมุดไป่ตู้
单位）由可变部分和固定部分组成：可变部
分与速度(千米/小时)的平方成正比，比例
系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度
v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定
义域；
（2)为了使全程运输成本最小,汽车应以
多大的速度行驶？
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
(1) 若正数a,b满足ab≥a+b+3,
则a+b的最小值是________
(2)x, y R,已知2x 2y 4,那么
••• 1 1 不小于 ______ 2x 2y
(的3)值已域知是函[数9，f +(x∞) )，x求2x实n1x数(xn1)
3）注重分类讨论、换元、化归等数 学思想方法在解题中的运用
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
不等式的应用体现在整个中学数学中， 如集合问题，方程（组）的解的讨论， 函数的定义域，值域，单调性，以及 三角，解几，数列，复数，立几中的 最值等
2020/11/24
的值 2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
例.甲乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶 到(乙地,速度不得超过100千米/小时,已知汽车 每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和 固定部分组成:可变部分与速度(千米/小时)的 平方成正比，比例系数为1/100；固定部分为a 元。(1)把全程运输成本y（元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定 义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应 以多大的速度行驶？
比为λ（ λ〈1），画面的上、下各留
8cm空白，左右各留5cm空白，怎样
确定画面的高与宽尺寸，能使宣传
画所用纸张面积最小
如果要求 [ 2 , 3]， 那么为何值时
34
能使宣传画所用的纸张面积最小？
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
1）利用基本不等式求最值的条件为 “一正，二定，三相等” 2）解决实际问题注意：
AB=x，求ADP 的最大面积及相应
的x值。
12-x
2020/11/24
x 江苏省东x台中学高一数学备课组
例2、若直角三角形的内切圆 半径为1，求其面积的最小值
A
bc
O
Ca
2020/11/24
B
江苏省东台中学高一数学备课组
(2001年）设计一幅宣传画，要求画
面面积为4840cm2，画面的宽与高的
例2.如图, 一份印刷品的排版面积 (矩形)为A,它的两边都留有宽为 b 的空白, 如何选取纸张的尺寸 , 才能 使纸的用量最少 ?
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
例3.(1)如图,在足球比赛中,AB表示甲方球 门,乙方边锋带球沿直线EO向甲方球门靠 近，假设乙方边锋在点C射门,则ACB称 为命中角。设EOAB，OA=a，OB=b(a>b>0) 问CO为何值y 时命中角最大？
A B
O
C
Ex
读题——建模——求解——评价
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
(2)已知 : tan x 3tan y(0 y x )
•• 求u x y的最值
2
例4.(1)求周长为12的直角三角形 •• 面积的最大值
2020/11/24
江苏省东台中学高一数学备课组
(2) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的 周长为24，把它关于AC对折起来， AB折过去以后，交DC于点P，设
———实际应用题
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例1.某工厂建造一个无盖的 长方形 贮藏水池,其容积为4800m2 ,深度为
3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 如何设 计水池,才能使总造价最低 ,最低 造价是多少?
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审题——建模 ——求解 ——评价
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函数
图象
f (x) x p ( p 0) x
性质
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定义域 值域 单调性 奇偶性 渐近线
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小结： 质疑： 作业：
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（97理-22题)甲乙两地相距S千米，汽车从甲
地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小
时，已知汽车每小时的运输成本t（以元为
ห้องสมุดไป่ตู้
单位）由可变部分和固定部分组成：可变部
分与速度(千米/小时)的平方成正比，比例
系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度
v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定
义域；
（2)为了使全程运输成本最小,汽车应以
多大的速度行驶？
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(1) 若正数a,b满足ab≥a+b+3,
则a+b的最小值是________
(2)x, y R,已知2x 2y 4,那么
••• 1 1 不小于 ______ 2x 2y
(的3)值已域知是函[数9，f +(x∞) )，x求2x实n1x数(xn1)