第一章 量子力学基础.

微观粒子的自旋性质可以用自旋角动量量子数s表征: s为半整数的粒子称为费米子(fermions) , 如电子、质 子、中子等; s为整数的粒子称为玻色子(bosons) , 如光子 、α粒子、π介子等. 电子的自旋角动量量子数s为1/2, 相应的自旋磁量子数 ms有正、负1/2两个值.
Pauli不相容原理：在同一原子或分子轨道上最多 只能容纳两个电子,这两个电子的自旋状态必须相反.
四、量子力学处理微观体系的一般步骤：
① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Hamilton 算符和Schrödinger方程；
② 解Schrödinger方程，并根据边界条件及归一化条件求出 Ψn和En的具体表示形式； ③ 绘出Ψn和|Ψn|2的图形，讨论其分布特点； ④ 求出Ψn各个对应状态的各种力学量的数值，了解体系的性 质。
公设2
微观体系的每个可测物理量都对应着一个线性厄米算符.
算符(Operator) 对某一函数进行一种运算或一种操作或一种变换的数
学符号。 例如：∫dx; ∑; sin; d/dx; log等
一般情况下，一个算符作用于一个函数的结果是得到 另一个函数.
线性算符： 若算符Â对任意函数f(x)和g(x)满足： Â[f(x) + g(x)] = Âf(x) + Âg(x) 则算符Â称为线性算符。 例如：∫dx; ∑; d/dx; d2/dx2
力学量的平均值
若任一力学量A： Â≠a （ a为常数），则说明该力学量 没有确定值（本征值），但可求其平均值。
A Aˆ d d
若已归一化，则：
A Aˆd
公 设 5 (Pauli原理)
微观体系的完全波函数， 在任意两粒子交换空间坐标也 交换自旋坐标时，对于玻色子 体系是对称的，而对于费米子 体系是反对称的。
dx 2
的本征函数。若是，求出本征值。
d2 (ex ) 1 ex dx 2
ex是算符的本征函数，本征值为1
d 2 (sin x) sin x sinx是算符的本征函数，本征值为-1 dx 2
d2 (2cos x) 2cos x dx 2
2cosx是算符的本征函数，本征值为-1
d2 (x3 ) 6x dx 2
1.3 一维势箱中粒子的薛定谔方程及其解
一维无限深势阱中粒子是指: 一个质量为m的粒子被置于阱外 势能无穷大、阱内势能为零 （即无限深）的阱中，沿x方向 运动. 对于某些实际问题，例如 金属内的自由电子或共轭分子 的π 电子，无限深势阱中的粒 子模型可以作为一种近似模型.
一维势箱
V＝0 0＜x＜l（Ⅱ区） V＝∞ x≤0，x≥l（Ⅰ 、Ⅲ区）， (x)＝0
在量子力学中，最重要的一种本征方程是能量本征方程，
即定态Schrödinger方程(能量算符是Hamilton算符):
Ĥ =E
2
( 2 V ) E
2m
只有参数E取某些特定值时, 该方程才有满足自然条件的非零解
. 参数E的这些取值就是Hamilton算符的本征值，相应的ψ是
Hamilton算符的属于该本征值的本征函数.
三、能级公式的意义：
En

n2h2 8ml 2
(n
1, 2,3......)
受束缚的粒子的能量必须是量子化的，即边界条件迫使
能量量子化。（一维势箱的量子化是解方程自然得到的，
而非像旧量子论人为附加）
相邻两能级差
n=1——基态——最低能量，称为零点能——表明运动的 永恒性
对于给定的n，l越大，En越小 离域效应：粒子活动范围越大，能量越低的效应。例如丁 二烯的共轭体系能量低。
思考：如何求解？
本征值与本征函数
求解Schrödinger方程结果如下：
En

n2h2 8ml 2
n x
2 sin n x , (0 x l)
ll
n 1, 2,3,
二、讨 论
（1）不同态时的波函数和能量. （2）波函数Ψ (x)和几率密度︱Ψ (x)︱2图. （3）说明： 波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. 波函数或几率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点 或节面，量子数为n时，有n-1个节点（面），节点数越多， 能级越高. 没有经典运动轨道，只有几率分布 Ψ(x)——一个量子数n
∫ 1*Â1dx ＝∫exp(-ix)(id/dx)exp(ix)dx＝∫exp[-ix](-exp[ix])dx＝-x ∫ 1(Â1)*dx ＝ ∫exp(ix)[(id/dx)exp(ix)]*dx＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x
所以Â是线性厄米算符
部分可观测的力学量对应的算符
该粒子在阱外永不出现,可以直 接写出其零解; 只有在阱内才需要建 立Schrödinger方程并求解:
Schrödinger方程：

h2
8 2m
d2 dx2

(
x)

E
(
x)
即: d 2 (x) 8 2mE (x) 0
dx2
h2
此方程为二阶常系数线性齐次方程，相当于：y〞＋qy＝0
力学量
算符
位置x，时间t
xˆ x,tˆ t
动量的x轴分量px
pˆ
＝
x

i
x
角动量的z轴分量
Mˆ z

i
x
y

y
x

力学量 势能 V
动能 T=p2/2m 总能量 E=T+V
算符
Vˆ V
Tˆ


2 2m

2 x 2

2 y 2

2 z 2
若厄米算符Â具有本征值，则其一定是实数
对一个微观体系，厄米算符给出的本征函数组1 2 3…..形成一个正交归一的函数组。
波函数的正交归一化条件
源自文库
i
j d



1 0
i j i j
归一条件 正交条件
例3 下列函数ex ，sinx，2cosx，x3中，哪几个是算符 d 2
厄米算符（Hermite）： 若算符Â 满足∫1*Â1d＝∫1(Â1 )*d或∫1*Â2 d＝ ∫2(Â1 )*d，则算符Â称为厄米算符，又称为自共轭算符或自轭 算符。
线性厄米算符： 证明：Â＝id/dx 是线性厄米算符 取函数1＝exp(ix)，1*＝exp(-ix)，则：


2 2 2m
Hˆ 2 2 Vˆ 2m
公设3
若某一力学量A的算符Â作用于某一状态函数后，等于 某一常数a乘以，即Â＝a，那么对所描述的这个微观 体系的状态，其力学量A具有确定的数值a，a称为力学量算 符Â的本征值，称为Â的本征态或本征函数，Â＝a称为 Â的本征方程。
x3不是算符的本征函数
公设4
态叠加原理: 若Ψ1、Ψ2、……Ψn都是微观体系的可能
状态，则它们的线性组合也是该体系的可能状态.
n
c11 c2 2 c3 3 cn n ci i
式中ci为任意常数， ci的大小反映了i对的贡献i。1
简并本征态的线性组合仍是该体系的本征态，且本征值不变； 非简并本征态的线性组合也仍是该体系的可能状态，但一般不再 是本征态，而是非本征态.